空间向量在立体几何中的应用新

空间向量在立体几何中的应用空间向量是高中数学中的重要内容之一，是处理空间线线、线面、面面位置关系和夹角的重要工具，是高考考查的重要内容之一.运用向量方法研究立体几何问题思路简单，模式固定，避免了几何法中作辅助线的问题，从而降低了立体几何问题的难度.本文将空间向量在立体几何中的应用的重要考点和解题方法作以解析.【考点及要求】1.理解直线的方向向量与平面法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3.能用向量方法证明证明直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究集合问题中的应用.一、知识梳理1、空间向量的有关概念特别要理解自由向量、共线向量、单位向量、向量的夹角等概念，注意零向量的特殊性。2、空间向量的运算（1）形的运算加法---------平行四边形法则、三角形法则（ACBCAB）。减法---------三角形法则(BAPBPA)。数乘--------a的方向与模、三点共线、向量共线。数量积--------向量的夹角、投影的概念、运算性质（垂直的条件、模长公式、夹角公式）。（2）数的运算-------坐标运算。3、两个重要的定理（1）向量共面定理已知a、b不共线，则①p、a、b共面的充要条件是存在唯一实数组x,y，使p=xa+yb。②设bMBaMApMP,,，则四点P,M,A,B共面的充要条件是存在唯一实数组x,y,使MByMAxMP。③对空间任意一点O，四点P,M,A,B（M,A,B三点不共线）共面的充要条件是存在唯一实数组x,y,z使OBzOAyOMxOP,且x+y+z=1.（2）空间向量基本定理设a,b,c不共面，则对空间任一向量p，存在唯一实数组x,y,z，使p=xa+yb+zc.①三个向量只要不共面，就可以作基底，表示出空间中的任意向量。②培养转化与化归（统一）的思想意识，善于在立体图形中选择一组基底来表示其它向量。③空间向量基本定理的运用过程在于选择一条路径（封闭的空间多边形），综合运用向量的加、减、数乘运算，实现从未知到已知的转化。④空间向量基底的选择应具备“模可知，两两夹角可知”的资格，才能为应用向量解决问题提供基础。⑤空间向量基本定理是建立空间直角坐标系的理论基础。4、空间直角坐标系①善于在立体图形中建立右手系。②准确熟练的确定相关点的坐标，从而确定向量的坐标。③熟练的进行向量的坐标运算（加法、减法、数乘向量、数量积、平行与垂直的条件、模长公式、夹角公式、两点间距离公式）。5、用向量刻画空间直线和平面（1）用方向向量刻画直线：在直线上取一个非零向量即为该直线的方向向量。（2）用法向量刻画平面：垂直于平面的直线的方向向量即为该平面的法向量。通常用待定法求出平面的一个法向量。①在形的运算背景下，若a，b，c为选定的基向量，则可设n=xa+yb+zc为平面的一个法向量。②在坐标运算背景下，可设n=（x，y，z）为平面的一个法向量。③对①及②，由n垂直于平面内的两个不共线向量m1，m2，得n·m1=0，n·m2=0，建立含有x，y，z的方程组，不防取定一个值，求出另两个值，就得到了一个法向量。二、方法概括用向量解决立体几何问题主要集中在四个方面：平行、垂直、夹角、距离。其实质是传统逻辑推理（几何法）转化为算法化（代数法），所以必须深刻理解向量解决立体几何问题的理论基础，并掌握向量解题的程序；通过练习，提高运算能力，才能驾轻就熟。以下用a，b分别表示直线a,b的方向向量，用1n，2n分别表示平面，的法向量。1、平行：（1）线线平行：a∥ba∥bb=a（2）线面平行：a∥a⊥1na·1n=0（3）面面平行：∥1n∥2n1n=2n2、垂直：（1）线线垂直：a⊥ba⊥ba·b=0（2）线面垂直：a⊥a∥1na=1n（3）面面垂直：⊥1n⊥2n1n·2n=03、夹角：{1220,,,,,,）线线角（，，babababa{21122121,0,,,,,,,2nananana）线面角（（3）面面角:观察二面角为锐角还是钝角，从而决定=1n,2n还是=1n,2n4、距离：（1）点线距：已知直线a和a外一点P，A是直线a上一点，则点P到直线a的距离是22aaPAPAd（2）点面距：已知平面和外一点P，A是内一点，则点P到平面的距离是11nnPAd（3）线线距、线面距、面面距可以转化为（1）或（2）。三、实际应用1、培养用向量解决立体几何问题的意识，理科的立体几何这道解答题的模式多年未变，要让同学们树立用空间向量的方法解决问题的意识，特别是建系的意识，并在今后的练习（考试）中实践。2、思考方向：（1）传统的作图、证明和计算；(2)不宜建立坐标系的时候，选择基向量，利用空间向量基本定理解题；(3)建立坐标系，通过坐标运算解题。3、注意几何法和代数法的综合使用。用向量解题，重视的是算法，不必在图形上下功夫，强调了结果，但运算过程可能繁琐，也易出错。有时在平行、垂直的证明上不如用几何法更简洁，所以，要注意随机应变，可以多种方法混用。【考点归纳分析】考点1.利用空间向量证明空间垂直问题利用空间向量证明空间线线、线面、面面垂直问题是高考考查的重点内容，考查形式灵活多样，常与探索性问题、平行问题、空间角问题结合，考查形式可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，题目容易，是高考中的重要得分点.例1(2010辽宁理19））已知三棱锥P－ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=12AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.证明：CM⊥SN；审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图，则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,12），N（12,0,0），S（1,12,0）111(1,1,),(,,0)222CMSN,因为110022CMSN，所以CM⊥SN.【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定（证明）问题，常用向量法，即通过证明所证直线的方向向量的数量积为0证明两直线垂直.例2(2010天津理19)在长方体1111ABCDABCD中，E、F分别是棱BC,1CC上的点，CF=AB=2CE,1::ABADAA=1:2:4.证明AF平面1AED审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设1AB,依题意得(0,2,0)D,(1,2,1)F,1(0,0,4)A,31,,02E已知(1,2,1)AF,131,,42EA,11,,02ED于是AF·1EA=0，AF·ED=0.因此，1AFEA,AFED,又1EAEDE所以AF平面1AED【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法，先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理即可.例3（2010年山东文）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，//PDMA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且2ADPDMA.求证：平面EFG平面PDC.审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.解析：以A为原点，向量DA,AB,AM分别为x轴、y轴、z轴的正方向，如图建立坐标系，设AM=1，则AD=AB=PD=2,则B(0,2,0),C(－2,2,0),D(－2,0,0),P(－2,0,2),M(0,0,1),则E(0,1,12),G(－1,1,1),F(－2,1,1)，∴EG=(-1,0,12),GF=(－1,0,0),设平面EFG的法向量m=（x，y，z），则EGm=12xz=0且GFm=x=0，取y=1，则x=z=0，∴m=（0，1,0）,易证面PDC的法向量为DA=(2,0,0),∵DAm=200100=0,∴m⊥DA,∴平面EFG平面PDC【点评】对于易建立空间坐标系的面面垂直问题，常向量法，即先建立坐标系，求出两个平面的法向量，通过证明这两个平面的法向量垂直，即得面面垂直.考点2.利用空间向量处理空间平行关系空间线线、线面、面面平行关系问题是高考考查的另一个重点内容，考查的形式灵活多样，常与探索性问题、垂直问题、空间角问题结合，可以是小题，也可以是解答题的一个小题，题目的难度一般不大，是高考中的得分点之一.例4（2010湖南理18）在正方体1111ABCDABCD，E是棱1DD的中点。在棱11CD上是否存在一点F，使1BF∥平面1ABE?证明你的结论。审题要津：本题坐标系易建立，可用向量法求解.解析：以A为坐标原点，如图建立坐标系，设正方形的棱长为2，则B(2,0,0),E(0,2,1),1A(0,0,2),1B(2,0,2)，∴BE=(－2,2,1),1BA=（－2，0，2），设面1BEA的法向量为m=（x，y，z），则BEm=22xyz=0且1BAm=22xz=0，取x=1，则z=－1，y=32，∴m=（1，32，－1）,假设在棱11CD上存在一点F，使1BF∥平面1ABE，设F(0x，2，2)（0≤0x≤2）,则BF=（02x，2，2），则BFm=031(2)2(1)22x=0，解得0x=1，∴当F为11CD中点时，1BF∥平面1ABE.【点评】对于易建立坐标系的线面平行问题的向量解法，有两种思路：（1）用共面向量定理，证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来，即这三个向量共线，根据共面向量概念和直线在平面外，可得线面平行；（2）求出平面法向量，然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可.对于探索性问题，通常先假设成立，设出相关点的坐标，利用相关知识，列出关于坐标的方程，若方程有解，则存在，否则不存在.注意，（1）设点的坐标时，利用点在某线段上，设出点分线段所成的比，用比表示坐标可以减少未知量，简化计算;(2)注意点的坐标的范围.例5在三棱柱111ABCABC中，侧棱垂直于底面，在底面ABC中ABC=090,D是BC上一点，且1AB∥面1ACD，1D为11BC的中点，求证：面11ABD∥面1ACD.审题要津：本题的坐标系容易建立，可用向量法.解析：以B点为原点，如图建立坐标系，设AB=a，BC=2b，1BB=c，则A（a,0,0），1C(0，2b，c)，1B(0,0,c)，1A(a，0，c)，∴1D(0，b，c)，设D(0，0y，0)（0≤0y≤2b），∴AD=(－a，0y，0)，1AC=(－a，2b，c)，1BA=(a，0，c)，1BD=（0，b，c），设面1ACD的法向量为m=(1x，1y，1z)，则ADm=101axyy=0且1ACm=1112axbycz=0，取1y=a，则1x=0y，1z=02ayabc，则m=（0y，a，02ayabc），又∵1AB∥面1ACD，∴1BAm=002ayabaycc=0，解得0y=b，∴m=（b，a，abc），设面11ABD的法向量为n=(2x,2y,2z),则1BAn=22axcz=0且1BDn=22bycz=0，取2z=1，则2x=ca，2y=cb，则n=(ca，cb，1)，∴n=cabm，∴m∥n，∴面11ABD∥面1ACD.【点评】对面面平行问题的向量方解法有两种思路，（1）利用向量证明一个面内两条相交直线分别与另一个平面平行，根据面面判定定理即得；（2）求出两个平面的法向量，证明这两个法向量平行，则这两个面就平行.考点3利用空间向量处理异面直线夹角、线面角、二面角