不定积分课件

第四章不定积分微分学:()(?)Fx积分学:(?)()fx互逆问题设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.2112.yx已知曲线方程，求过点，的切线方程svtst已知变速直线运动方程,求瞬时速度.svtst已知瞬时速度,求变速直线运动方程.积分学问题：微分学问题：二、基本积分表第一节不定积分的概念和性质一、原函数与不定积分的概念三、不定积分的性质cosx1(0),xx，一、原函数与不定积分的概念sincos.xx是的一个原函数sinxlnx定义1（原函数）如果在区间I内,即,xI都有)()(xfxF或dxxfxdF)()()(xF)(xf那么函数就称为dxxf)(或I在区间内原函数.)(xF的导函数为(),fx可导函数是在区间内xlnx1),0(的一个原函数.原函数存在定理：即连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？例sincosxxxCxcossin（C为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？)(xfI如果函数在区间内连续，I(),Fx那么在区间内存在可导函数使Ix都有()().Fxfx关于原函数的说明：（1）若，则对于任意常数C，)()(xfxF（2）若和都是的原函数，)(xF)(xG)(xf则CxGxF)()(（C为任意常数）证（2）)()()()(xGxFxGxF0)()(xfxfCxGxF)()(（C为任意常数）有无穷多个它们之间相差常数CxF)()(xf都是的原函数.CxFdxxf)()(被积表达式任意常数积分号被积函数定义2（不定积分）积分变量在区间I内，函数的带有任意常数项的原函数，称为在区间I内的不定积分,)(xf)(xf记为dxxf)(原函数例1求.5dxx解,656xx.665Cxdxx解例2求.112dxx,11arctan2xx.arctan112Cxdxx例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.解设曲线方程为),(xfy根据题意知,2xdxdy,22Cxxdx,)(2Cxxf由曲线通过点（1，2）,1C所求曲线方程为.12xy)(xfx2即是的一个原函数.不定积分的几何意义:()dfxx的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.yxo0x的原函数的图形称为的积分曲线.由不定积分的定义，可知),()(xfdxxfdxd,)(])([dxxfdxxfd,)()(CxFdxxF.)()(CxFxdF结论：微分运算与求不定积分的运算“互逆”.微分运算与求不定积分的运算的关系xx11.11Cxdxx启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.)1(二、基本积分表基本积分表(1)kdxkxC(k是常数););1(1)2(1Cxdxx(3)ln;dxxCx说明：,0x,lnCxxdx])[ln(,0xx,1)(1xxx,)ln(Cxxdx,||lnCxxdxdxx211)4(;arctanCxdxx211)5(;arcsinCxxdxcos)6(;sinCxxdxsin)7(;cosCxxdx2cos)8(xdx2sec;tanCxxdx2sin)9(xdx2csc;cotCxxdxxtansec)10(;secCxxdxxcotcsc)11(;cscCxdxex)12(;Cexdxax)13(;lnCaax例4求积分.2dxxx解dxxx2dxx25Cx125125.7227Cx根据积分公式Cxdxx111.(3cos)xexdx2.2xxedx(2)xedx(2)ln(2)xeCe(2)ln21xeC3cosxedxxdxsinxexCdxxgxf)]()([)1(;)()(dxxgdxxf证()()fxdxgxdx()()fxdxgxdx).()(xgxf等式成立.（可推广到有限多个函数之和的情况）三、不定积分的性质线性性质dxxkf)()2(.)(dxxfk(0k为常数）例5求积分解.)1213(22dxxxdxxx)1213(22dxxdxx22112113xarctan3xarcsin2C例6求积分解.)1(122dxxxxxdxxxxx)1(122dxxxxx)1()1(22dxxx1112dxxdxx1112arctanln.xxC例7求积分解.)1(21222dxxxxdxxxx)1(21222dxxxxx)1(12222dxxdxx22111.arctan1Cxx例8求积分解.2cos11dxxdxx2cos11dxx1cos2112dxx2cos121.tan21Cx说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.例9xdx2tan)1(dxx2sin)2(2dxxx2cos2sin1(3)22dxx)1(sec2dxxdx2secCxxtandxx)cos1(211(sin)2xxCdxx2)2sin(1xdx2csc4Cxcot4解,sinsec2xxdxdydxxxysinsec2,costanCxx,5)0(y,6C所求曲线方程为.6costanxxy)(xfy))(,(xfx2secsin,xx(0,5),例10已知一曲线在点处的切线斜率为且此曲线与y轴的交点为求此曲线的方程.5.基本积分表(1)4.不定积分的性质（线性性）1.原函数的概念：)()(xfxF2.不定积分的概念：CxFdxxf)()(3.求微分与求积分的互逆关系小结6.利用积分公式求积分思考题()ln().fxdxxxCfxx已知，求思考题解答()lnfxxxCx因是的原函数，()=ln1.fxxx从而，()ln=ln1,fxxxCxx故作业习题4-11.(6),(13)---(26);2.3.4习题4-21.一、填空题：1、一个已知的函数，有______个原函数，其中任意两个的差是一个______；2、)(xf的________称为)(xf的不定积分；3、把)(xf的一个原函数)(xF的图形叫做函数)(xf的________，它的方程是)(xFy，这样不定积dxxf)(在几何上就表示________，它的方程是CxFy)(；4、由)()('xfxF可知，在积分曲线族CxFy)()(是任意常数C上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是______的；5、若)(xf在某区间上______，则在该区间上)(xf的原函数一定存在；练习题6、dxxx______________________；7、xxdx2_______________________；8、dxxx)23(2_________________；9、dxxx)1)(1(3_____________；10、dxxx2)1(=____________________.二、求下列不定积分：1、dxxx2212、dxxxx325323、dxx2cos24、dxxxx22sincos2cos5、dxxxx)11(26、xdxxxx2222sec1sin三、一曲线通过点)3,(2e斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程.，且在任一点处的切线的一、1、无穷多,常数；2、全体原函数；3、积分曲线,积分曲线族；4、平行；5、连续；6、Cx2552；7、Cx2332；8、Cxxx223323；9、Cxxxx2325332523、10、Cxxx252352342.练习题答案二、1、Cxxarctan；2、Cxx3ln2ln)32(52；3、Cxx2sin；Cxx)tan(cot.4；5、Cxx427)7(4；6、Cxarcxcottan.三、Cxyln.