高二数学合情推理测试题

高二数学合情推理人教实验版（B）【本讲教育信息】一.教学内容：合情推理二.本周学习目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比的方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用，提高学生学习数学的兴趣.三.考点分析1、推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做前提；一部分是由已知判断推出的新判断，叫做结论。2、前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理。归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。3、由某类事物的部分对象具有某些特征（或性质），推出该类事物的全部对象都具有这些特征（或性质）的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，叫做归纳推理（简称归纳）.归纳推理是由特殊到一般、部分到整体的推理；归纳推理的基础是观察，分析；归纳推理的作用是发现新事实，得出新结论；要注意的是归纳推理的结论不一定成立。注：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同特征；（2）从已知的相同特征中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.4、由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫做类比推理（简称类比）.类比推理是由特殊到特殊的推理，类比推理是以旧的知识为基础，推测新的结果，具有发现的功能，类比推理的结论不一定成立。注：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类对象之间的类似特征；（2）用一类事物的特征去推测另一类事物的特征，得出一个明确命题（猜想）.【典型例题】例1、数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后探求面数F、顶点数V和棱数E之间的关系.凸多面体面数（F）顶点数（V）棱数（E）四棱柱6812三棱锥446八面体8612三棱柱569四棱锥558尖顶塔9916猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系式为：F＋V－E＝2例2、通过计算可得下列等式：112122212223221323422……12)1(22nnn将以上各式分别相加得：nnn)321(21)1(22即：2)1(321nnn类比上述求法：请你求出2222321n的值。解：113131223312323232331333334233……133)1(233nnnn将以上各式分别相加得：nnnn)321(3)321(31)1(222233所以：]2131)1[(3132132222nnnnn)12)(1(61nnn例3、在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以)(nf表示第n堆的乒乓球总数，则)3(f；)(nf（答案用n表示）分析：解决本题的关键之一是找出相邻两项的关系，即下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数；其次是求出第一层的通项公式。解：f（1）＝1，观察图象可知f（2）＝4，f（3）＝10，f（4）＝20，下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数，而第一层的个数满足1，3，6，10，……，通项公式是2)1(nn，所以f（n）＝f（n－1）＋2)1(nn，所以有：f（2）－f（1）＝2)12(2f（3）－f（2）＝2)13(3f（4）－f（3）＝2)14(4……………………………………f（n）－f（n－1）＝2)1(nn以上各式相加得：f（n）＝f（1）[phone]nn＝2)4321()4321(22222nn＝22)1(6)12)(1(nnnnn＝6)2)(1(nnn所以应该填：10；6)2)(1(nnn点评：求f（n）的通项公式时运用累差法思想求解。可见高考题多数依据课本知识、思想或方法的设计题目。解决问题的关键是找到相邻两项的关系。例4、半径为r的圆的面积2)(rrS，周长rrC2)(，若将r看作),0(上的变量，则rr2)'(2，①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作),0(上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________.解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立，,34)(3RRV24)(RrS.答案：①)'34(3R.42R②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。点评：主要考查类比意识，考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比。例5、在平面上有n条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，问这些直线把平面最多分成多少部分？解析：设n条直线分平面为nS部分，先试验观察特例有如下结果：n123456…nS247111622…n与nS之间的关系发现如下规律：nS－).3,2(1nnSn这是因为在n－1条直线后添加第n条直线被原n－1条直线截得的n段中的任何一段都将它所在的原平面一分为二，相应地增加n部分，所以nS＝nSn1，即nS－.1nSn从而2S－21S，3S－32S，4S－43S，…，nS－.1nSn将上面各式相加有nS－nS321，所以nS＝nS321＝2＋2＋3＋…＋n＝1＋（1＋2＋…＋n）＝1＋).1(21nn【注意】nS也可由如下观察发现，由上表知：111S，2112S，32113S，4S＝1＋1＋2＋3＋4，依此类推，便可猜想到：nS＝1＋2＋3＋…＋n＝1＋).1(21nn点评：运用归纳推理需要考查部分对象的情形，从而归纳猜想出一般规律，这样往往有时计算量大，易出偏差，且内部潜在的规律性有时难于看出来，就用“递推法”取代“经验归纳法”转向考查问题每递进一步所反映的规律，即探求递推关系，最后用初始值及递推关系来寻找一般规律。【模拟试题】一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1.数列2,5,11,20,,47,x…中的x等于（）A.28B.32C.33D.272.观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是()A.42,41,123;B.13,39,123;C.24,23,123;D.28,27,123.3.一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●有()个A.12B.13C.14D.154.下面使用类比推理正确的是（）A.“若33ab，则ab”类推出“若00ab，则ab”B.“若()abcacbc”类推出“()abcacbc”C.“若()abcacbc”类推出“ababccc（c≠0）”D.“nnaabn（b）”类推出“nnaabn（b）”5.设)()(,sin)('010xfxfxxf，'21()(),,fxfx'1()()nnfxfx，n∈N，则2007()fxA.sinxB.－sinxC.cosxD.－cosx6.在十进制中01232004410010010210，那么在5进制中数码2004折合成十进制为（）A.29B.254C.602D.2004二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）7.从222576543,3432,11中得出的一般性结论是_____________新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆8.若数列na中，12341,35,7911,13151719,...aaaa则10____a新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆9.观察（1）110tan60tan60tan20tan20tan10tan；（2）15tan75tan75tan10tan10tan5tan。通过观察上述两等式的规律，则一般性的命题为_____________新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆10.若数列na的通项公式)()1(12Nnnan，记)1()1)(1()(21naaanf，试通过计算)3(),2(),1(fff的值，推测出.________________)(nf三、解答题（本大题共4题，共50分）11.已知：23150sin90sin30sin22223125sin65sin5sin222通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明。12.自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用nx表示某鱼群在第n年年初的总量，Nn，且1x＞0。不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与nx成正比，死亡量与2nx成正比，这些比例系数依次为正常数cba,,。（Ⅰ）求1nx与nx的关系式；（Ⅱ）猜测：当且仅当1x，cba,,满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）13.在DEF中有余弦定理：DFEEFDFEFDFDEcos2222.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-111CBA的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.14.已知数列3021,,,aaa，其中1021,,,aaa是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,aaa是公差为d的等差数列；302120,,,aaa是公差为2d的等差数列（0d）.（1）若4020a，求d；（2）试写出30a关于d的关系式，并求30a的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,aaa是公差为3d的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？【试题答案】1.B解：523,1156,20119,推出2012,32xx2.A3.C4.C5.D6.B7.2*1...212...32(21),nnnnnnnN注意左边共有21n项8.1000前10项共使用了1234...1055个奇数，10a由第46个到第55个奇数的和组成，即1010(91109)(2461)(2471)...(2551)10002a9.若,,都不是90，且90，则tantantantantantan110.2()22nfnn222111()(1)(1)[1]23(1)fnn111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233111324322...223341122nnnnnnnn11.解：一般性的命题为2223sin(60)sinsin(60)2