(精心整理)高中数学三角函数专题(重要知识点和经典方法大合集)

1专题复习——三角函数（一）知识梳理1、角度制与弧度制的互化10.01745180180157.30radradrad2、扇形公式22(11=22180(=360lRRlRnRlnnR①弧长弧度制为弧度)②扇形面积S①弧长角度制为角度)②扇形面积S3、同角三角函数恒等式2222222sin1cossincos1cos1sin(sintancos1cos1tan(tansin1tan①其中“”由所在象限确定）②③推论其中“”由所在象限确定）4、诱导公式sin(2)sinsin()sincos(2)coscos()costan(2)tantan()tansin()sinsin()sincos()coscos()costan()tantan()tanskkk公式一公式二公式三公式四公式五in()cossin()cos22cos()sincos()sin2233sin()cossin()cos2233cos()sincos()sin22公式六推论1推论225、差（和）角公式cos()coscossinsincos()coscossinsinsin()sincoscossinsin()sincoscossintantantan()1tantantantantan()1tantan余余正正号相反正余余正号相同6、二倍角公式（倍角公式）22222221sin22sincossincossin22cos2cossin1cos2cos212sinsin21cos2cos22cos1cos22tantan21tan7、正弦定理及推论2(sinsinsin2sin,2sin,2sinsin,sin,sin222::sin:sin:sinsinsinsin,,sinsinsinabcRRABCABCaRAbRBcRCabcABCRRRabcABCaAaAbBbBcCcC①为外接圆的半径）②③④⑤8、余弦定理及推论2222222222222222222coscos22coscos22coscos2bcaabcbcAAbcacbbacacBBacabccababCCab9、三角形面积公式1(21()(2111=sinsinsin222SahaSrabcrABCSabCacBbcA为底，h为高）为内切圆的半径）10、求最小正周期的公式sin()2=cos()tan()=yAxkTyAxkyAxkT最小正周期为的最小正周期为311、正弦函数y=sinxmaxmin111+2,2,22(2)3+2,2,.222()1;2(3)2()1.2(4)((5)ysinRkkkZkkkZxkkZyxkkZykkZkx（）定义域：，值域：，在单调递增；单调性在单调递减当且仅当=时，最值当且仅当=-时，周期性：周期为2且0),最小正周期为2.奇偶性：,;(6)2.RxkkZkkZ为上的奇函数.①为轴对称图形，对称轴为=对称性②为中心对称图形，对称中心为（,0),12、余弦函数y=cosxmaxmin111+2,2,(2)2,2,.2()1;(3)2()1.(4)((5)ycos,(6)RkkkZkkkZxkkZyxkkZykkZkxRxkk（）定义域：，值域：，在单调递增；单调性在单调递减当且仅当=时，最值当且仅当=时，周期性：周期为2且0),最小正周期为2.奇偶性：为上的偶函数.①为轴对称图形，对称轴为=对称性;+.2ZkkZ②为中心对称图形，对称中心为（,0),413、正切函数y=tanx1|,,22-+,),.22(3)(0.(4)ytan(5),0),.2xxkkZRkkkZkkZkxkkZ（）定义域：值域：（）单调性：在开区间（单调递增周期性：周期为且），最小正周期为奇偶性：为奇函数.①不是轴对称图形；对称性②是中心对称图形，对称中心为(14、简谐运动sin()yAx2=1(0,0,0,)2xAxT①振幅：A②周期：T③频率：f=其中④相位：x+⑤初相：=0时的相位2222sincossin()(tan)0)sincoscos()(tan)baxbxabxaaaaxbxabxb①其中15、三角恒等变换之辅助角公式（其中②其中辅助角公式的证明如下：证明：asinx+bcosx=22ab(22aabsinx+22babcosx),①令22aab=cos,22bab=sin,则asinx+bcosx=22ab(sinxcos+cosxsin)=22absin(x+)(其中tan=ba)5②令22aab=sin,22bab=cos,则asinx+bcosx=22ab(sinxsin+cosxcos)=22abcos(x-),(其中tan=ab)注：其中的大小可以由sin、cos的符号确定的象限,再由tan的值求出；或由tan=ba和(a,b)所在的象限来确定.例：化简3sin2cos2yxx.法一：逆用差（和）角公式313sin2cos22(sin2cos2)2(sin2coscos2sin)2sin(2)22666yxxxxxxx法二：应用辅助角公式3sin2cos22sin(2)6yxxx(其中13tan363)（二）考点剖析考点一：正、余弦定理，三角形面积公式的应用例1:在△ABC中，C＝2B，ABAC＝43.(1)求cosB；(2)若BC＝3，求S△ABC.解：(1)由C＝2B和正弦定理得sinC＝2sinBcosB＝2·ACABsinC·cosB∴cosB＝AB2AC＝23(2)设AC＝3x，则AB＝4x.由余弦定理得(3x)2＝(4x)2＋32－2×4x×3cosB，即9x2＝`16x2＋9－16x∴7x2－16x＋9＝0解得x＝1或x＝97当x＝1时，AC＝3，AB＝4∴S△ABC＝12BA×BC×sinB＝12×4×3×53＝25.当x＝97时，AC＝277，AB＝367∴S△ABC＝12BA×BC×sinB＝12×367×3×53＝1875.考点二：利用正、余弦定理判断三角形的形状例2:在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．解：(1)2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC6由正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA12coscos2bcAbcA又0A23A.(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC又sinB＋sinC＝1sinB＝sinC＝12又0,022BCB＝C△ABC是等腰三角形．考点三：三角恒等变换之辅助角公式：22sincossin()(tan)baxbxabxa其中例3：已知函数2()2sincos2cosfxxxx，xR（1）求f(x)的最小正周期及最大值；（2）求函数f(x)的单调递增区间；（3）若0,2x，求函数f(x)的值域.解：2()2sincos2cosfxxxxsin2cos21xx2sin(2)14x（1）f(x)的最小正周期为22T，最大值为max()21fx.（2）由222,242kxkkZ得3,88kxkk函数f(x)的单调递增区间为3,,88kkkZ（3）02x52444x2sin(2)124x02sin(2)1214x即0()21fx函数f(x)的值域为0,21即时训练：已知函数22(sincos)23cos3yxxx，xR（1）求函数f(x)的最小正周期、最小值及单调递减区间；（2）当02x时，求函数f(x)的值域.7【高考地位】三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.这也是解决三角函数问题的前提和出发点.在高考中常以选择题、填空题出现，其试题难度考查不大.【方法点评】方法一切割化弦使用情景：一般三角求值类型解题模板：第一步利用同角三角函数的基本关系sintancos，将题设中的切化成弦的形式；第二步计算出正弦与余弦之间的关系；第三步结合三角恒等变换可得所求结果.例1已知1tan()2，则sincos2sincos=（）A．41B．21C．41D．21【答案】C【解析】试题分析：21tan，将原式上下同时除以cos，即411tan21tancossin2cossin，故选C.考点：同角三角函数基本关系学*科网【变式演练1】已知2)tan(，则2cos2cos1（）A．3B.52C.25D.3【答案】C【解析】[来源:Zxxk.Com]考点：诱导公式，同角间的三角函数关系，二倍角公式.方法二统一配凑使用情景：一类特殊三角求值类型8解题模板：第一步观察已知条件中的角和所求的角之间的联系；第二步利用合理地拆角，结合两角和（或差）的正弦（或余弦）公式将所求的三角函数值转化为已知条件中的三角函数值；第三步利用三角恒等变换即可得出所求结果.例2已知,31tan,71tan则)2tan(【答案】1【解析】试题分析：212tan3tan,tan231tan4，13tantan274tan21131tantan2174考点：两角和的正切公式.方法三公式活用例3下列式子结果为3的是（）①tan25tan353tan25tan35；②2sin35cos25cos35cos65；③1tan151tan15；④2tan61tan6.A.①②B.③C.①②③D.②③④【