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第一章习题答案1.设总量函数为A(t)=t2+2t+3。试计算累积函数a(t)和第n个时段的利息In。解:把t=0代入得A(0)=3于是:a(t)=A(t)A(0)=t2+2t+33In=A(n)−A(n−1)=(n2+2n+3)−((n−1)2+2(n−1)+3))=2n+12.对以下两种情况计算从t时刻到n(tn)时刻的利息:(1)Ir(0rn);(2)Ir=2r(0rn).解:(1)I=A(n)−A(t)=In+In¡1+・・・+It+1=n(n+1)2−t(t+1)2(2)I=A(n)−A(t)=Σnk=t+1Ik=Σnk=t+1Ik=2n+1−2t+13.已知累积函数的形式为:a(t)=at2+b。若0时刻投入的100元累积到3时刻为172元，试计算：5时刻投入的100元在10时刻的终值。第1页解:由题意得a(0)=1,a(3)=A(3)A(0)=1.72⇒a=0.08,b=1∴A(5)=100A(10)=A(0)・a(10)=A(5)・a(10)a(5)=100×3=300.4.分别对以下两种总量函数计算i5和i10:(1)A(t)=100+5t;(2)A(t)=100(1+0.1)t.解：(1)i5=A(5)−A(4)A(4)=5120≈4.17%i10=A(10)−A(9)A(9)=5145≈3.45%(2)i5=A(5)−A(4)A(4)=100(1+0.1)5−100(1+0.1)4100(1+0.1)4=10%i10=A(10)−A(9)A(9)=100(1+0.1)10−100(1+0.1)9100(1+0.1)9=10%第2页5.设A(4)=1000,in=0.01n.试计算A(7)。解:A(7)=A(4)(1+i5)(1+i6)(1+i7)=1000×1.05×1.06×1.07=1190.916.试计算500元经过两年半的累积达到615元的对应年单利率？另外，500元以单利率7.8%累积多少时间可以达到630元？解:设年单利率为i500(1+2.5i)=615解得i=9.2%设500元需要累积t年500(1+t×7.8%)=630解得t=3年4个月7.已知单利率为4%，问：经过多少时间它对应的实利率可以达到2.5%？解:设经过t年后，年利率达到2.5%1+4%×t=(1+2.5%)tt≈36.3678.已知：(1+i)5=X,(1+i)2=Y.求(1+i)11.解:(1+i)11=(1+i)5+2£3=XY39.已知600元投资两年将产生利息264元（复利方式），问：2000元以同样的实利率投资3年的终值。第3页解:设实利率为i600[(1+i)2−1]=264解得i=20%∴A(3)=2000(1+i)3=3456元10.已知：第n年底的一个货币单位与第2年底的一个货币单位的现值之和为一个货币单位。计算(1+i)2n.解:设实利率为i1(1+i)n+1(1+i)2n=1解得(1+i)¡n=√5−12所以(1+i)2n=(√5−12)¡2=3+√5211.已知：500元经过30年的投资将增为4000元，计算：分别在第20、40和60年底投资10,000元的现值之和。解:由500×(1+i)30=4000⇒(1+i)30=8于是PV=10000(1+i)20+10000(1+i)40+10000(1+i)60=1000×(8¡23+8¡43+8¡2)=3281.2512.以同样的实利率，1元经过a年增为2元，2元经过b年增为3元，3元经过c年增为15元。若已知6元经过n年增为10元。试用a,b和c表示n。第4页解:(1+i)a=2(1)(1+i)b=32(2)(1+i)c=5(3)(1+i)n=53(4)(4)⇒n・ln(1+i)=ln5−ln3(3)⇒ln5=c×ln(1+i)(1)×(2)⇒ln3=(a+b)・ln(1+i)故n=c−(a+b)13.已知资本A在一年内产生的利息量为336，产生的贴现量为300。计算A。解:A・i=336A・d=300i−d=i・d⇒A=280014.分别在单利率10%和单贴现率10%的条件下，计算d5。解:(1)d5=a(5)−a(4)a(5)=10%1+5×10%=6.67%第5页(2)a¡1(t)=1−0.1t⇒a(t)=11−0.1t⇒d5=a(5)−a(4)a(5)=10.5−10.610.5=16.67%15.试用i(3)表示d(4)，用d(12)表示i(6)。解:由(1+i(3)3)3=(1−d(4)4)(¡4)⇒d(4)=4・[1−(1+i(3)3)¡34]由(1+i(6)6)6=(1−d(12)12)(¡12)⇒i(6)=6・[(1−d(12)12)¡2−1]16.在以下两种情况下计算100元在两年底的终值：季结算名利率6%；每四年结算一次的名贴现率为6%。解:(1)终值为100×(1+i(4)4)4£2=112.65元(2)终值为100×[(1−4d(14))14]¡2=114.71元17.已知:i(m)=0.1844144和d(m)=0.1802608。计算m。解:利用1d(m)−1i(m)=1m⇒m=818.基金A以单利率10%累积，基金B以单贴现率5%累积。计算两个基金的利息力相等的时刻。第6页解:aA(t)=1+0.1t⇒δA(t)=a0A(t)aA(t)=0.11+0.1ta¡1A(t)=1−0.05t⇒δB(t)=−(a¡1B(t))0a¡1B(t)=0.051−0.05t由δA(t)=δB(t)得t=519.一年期投资的累积函数为二次多项式，前半年的半年名利率为5%，全年的实利率为7%，计算δ0.5。解:依题意，累积函数为a(t)=at2+bt+1a(0.5)=0.25a+0.5b+1=1.025a(1)=a+b+1=1.07⇒a=0.04b=0.03于是δ0.5=a0(0.5)a(0.5)=0.06820.已知：帐户A的累积函数为:1+t2,帐户B的累积函数为:1+2t+t2。计算帐户A的利息力超过帐户B的利息力的时刻。解:依题意，δA(t)=2t1+t2,δB(t)=21+t由δA(t)δB(t)⇒2t1+t221+t⇒t121．已知季结算名贴现率为8%，分别对以下两种情况计算25个月底的5000元在当前的现值：全部采用复贴现；在最后的不足年份内采用单贴现。解：d(4)=8%，设复利下月实贴现率为d，单利下实利率为d0。全部采用复利：(1−d)3=1−8%2第7页PV=5000(1−d)25=4225.25前两年用复利：1−3d0=1−8%2PV=5000(1−d)24(1−d0)=4225.4622．为了在第4年底收益2000元、10年底收益5000元，当前选择这样的投资：前两年每年初投入2000元、第3年初再投入一部分。已知季结算名利率6%，计算第3年初投入的金额。(原来的答案有误)解：i(4)=6%，则i=(1+6%4)4−1=6.14%设第3年初投入X,以第3年初为比较日，列价值方程2000(1+i)2+2000(1+i)+X=2000v2+5000v8解得X=504.67元23．在一定的利率下，下面两种付款方式等价：1〕第5年底支付200元，第10年底支付500元；2〕第5年底一次性支付400.94元。另外，以同样的利率现在投资100元再加上第5年底投资120元，这些投资在第10年底的终值为P。试计算P。解：对两种付款方式，以第5年为比较日，列价值方程：200+500v5=400.94解得v5=0.40188所以P=100(1+i)10+120(1+i)5=917.76224．经过多少时间1000元以利率6%累积的终值是利率4%累积终值的两倍？解：1000(1+6%)t=2×1000(1+4%)t解得：t=36年25．已知年利率为8%，且第n年底和2n年底投入100元的现值之和为100元，计算n。第8页解：列价值方程为100vn+100v2n=100解得n=6.2526．基金A以月换算名利率12%累积；基金B以利息力δt=t6累积，初始时刻两基金本金相同，计算两基金累积额相同的下一个时刻。解：δt=16t，得基金B的积累函数为aB(t)=exp(∫t0δsds)=exp(t212)欲使aA(t)=aB(t)则(1+112i(12))12t=exp(t212)解得t=1.427.计算1000元在第15年底的终值为3000元的半年换算名利率。解：1000(1+i)15=3000则i(2)=((1+i)12−1)×2=7.46%28．已知现金流：当前投入300元、第1年底投入200元和第2年底投入100元，在第2年底的终值为700元。计算实利率。解：列价值方程为300(1+i)2+200(1+i)+100=700解得i=11.96%29．已知货币的价值以利息力δt=kt积累，在十年内增长了一倍，计算k。(原来的答案有误)解：δt=kt则积累函数为a(t)=exp∫t0ksds=exp(k2t2)由a(10)=2得e50k=2解得k=0.0139第9页30．已知一个货币单位的本金以实利率i累积到第三年底的终值再加上第3年底的一个货币单位的资本以实贴现率i贴现的的现值之和为2.0096，计算i。解：(1+i)3+(1−i)3=2.0096解得i=0.0431.现有实利率为的投资项目。证明：一个货币单位的本金在第二个计息期的利息收入与第一个计息期的利息收入之差为。试给出这个结论的实际背景解释。解：一个货币单位在第一个计息期内的利息收入j，第二个计息期内的利息收入j+j2,故差为j2,即第一期利息产生的利息。32.某杂志社提供下面两种预定杂志的方式：A）现在付款15元，6个月后付款13.65元B〕现在一次性付款28元。如果两种方式无差异，计算隐含的年实利率。(将原题中的16元改成13.65元，这样结果更加符合实际)解：设半年实利率为i0，则有：15(1+i0)+13.65=28(1+i0)解得:i0=0.05故：i=(1+i0)2−1=0.102533.甲在1997年元旦借给乙1000元，要求乙按下面方式偿还：分别于1998年和1999年元旦偿还100元，于2000年元旦偿还1000元。在1998年元旦（正常还款后）甲因急需资金，将剩余的偿还以960元的价格转让给丙。如果甲乙合约的年利率为，甲丙合约的年利率为，比较和的大小。解：价值方程：正常:1000=100(1+j)¡1+100(1+j)¡2+1000(1+j)¡3转让:960=100(1+k)¡1+1000(1+k)¡2解得：j=6.98%,k=7.4%从而:jk34.如果常数利息力增加一倍，计算等价的年利率和年贴现率增加的倍数。第10页解：和δ等价的年利率i=eδ−1,年利率变化：e2δ−eδeδ−1=eδ和δ等价的年贴现率1−e¡δ=d,年贴现率变化：e¡δ−e¡2δ1−e¡δ=e¡δ35．证明：limd!0δ−dδ2=limi!0i−δδ2=12证：limd!0δ−dδ2=limδ!0δ−1+e¡δδ2=limδ!01−e¡δ2δ=limδ!0e¡δ2=12limi!0i−δδ2=limδ!0eδ−δ−1δ2=limδ!0eδ−12δ=limδ!0eδ2=1236.某厂家对零售商提供两种折扣：付现款可低于零售价格30％；6个月后付款，可低于零售价格25％。如果两种方式等价，计算对应的年利率。解:设货款为S,半年实利率为i0,则有：0.7S(1+i0)=0.75S解得：1+i0=1.0714故i=(1+i0)2−1=14.80%37．令0t1，用以下三种方法计算时刻1的1元在时刻的价值：1)在(t,1)内单利计算；2）复利计算；3）单利方式：先计算它在0时刻的价值然后累积到时刻t。在相同的利率水平下试对以上三个结果比较大小。解：1)单利方式：X1(1+(1−t)i)=12)复利方式：X2(1+i)1¡t=13)单利方式：X3=(1+ti)1+i由Taylor展开易证：(1+i)1¡t1+(1−t)i(1+i)t1+it故X1X