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第二篇知识专题透视考情报告,函数、导数与不等式是历年高考的重点和热点,在高考中常以“三小一大”的形式呈现,命题角度多样,形式多变.本知识板块的高考命题有如下特点:高考对函数的考查:(1)以分段函数、二次函数、指数函数与对数函数为载体,考查函数的定义域、最值、值域、奇偶性、单调性;(2)利用图象研究函数的性质、方程及不等式的解,综合性强;(3)以基本初等函数为依托,考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理及函数的应用,数形结合是高考考查函数零点或方程的根的基本方式.高考对不等式的考查:(1)利用不等式的性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点,主要以选择题、填空题为主;(2)在解答题中,特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时,常利用不等式进行求解,难度较大.高考对导数的考查:(1)以指数、对数式为载体,考查函数单调性的求法,以及考查函数极值、最值的求法,综合考查与范围有关的问题;(2)在压轴题中,以含指数、对数函数为载体,函数零点问题、与方程的根相关的问题及函数图象的交点问题是高考命题的热点;(3)函数与不等式的交汇是高考压轴题的考查热点,常以含指数、对数函数为载体,考查不等式的证明、比较大小、范围以及不等式的恒成立与能成立等问题.一、函数的图象及性质1.函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素,是一个整体,研究函数问题时必须“定义域优先”.(2)对于函数的图象要会画图、识图和用图,画函数图象有两种基本方法:一是描点法;二是图象变换法.其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.(3)有关函数图象对称性的常用结论:①若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称;②若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x=𝑎+𝑏2对称;③若函数f(x)满足f(x)=2b-f(2a-x),则该函数图象关于点(a,b)中心对称.(4)在研究函数的性质(特别是单调性、值域、零点)时,要注意结合其图象进行研究.2.函数的性质(1)单调性(ⅰ)单调性定义的等价形式:设x1,x2∈[a,b],那么(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0⇔𝑓(𝑥1)-f(𝑥2)𝑥1-𝑥20⇔f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0⇔𝑓(𝑥1)-f(𝑥2)𝑥1-𝑥20⇔f(x)在[a,b]上是减函数.(ⅱ)单调性的常见判定方法:①定义法;②图象法;③复合函数的单调性判定方法(同增异减);④导数法.(ⅲ)函数的单调性可用来比较大小,求函数的最值,解不等式和证明方程根的唯一性.(2)奇偶性(ⅰ)奇偶性的定义:f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0;f(x)为偶函数⇔f(x)=f(-x)=f(|x|)⇔f(x)-f(-x)=0.(ⅱ)奇偶性的性质及常用结论:①若f(x)是奇函数,且0在其定义域内,则f(0)=0.②f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称;f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称.③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性.④若f(x+a)为奇函数,则f(x)的图象关于点(a,0)中心对称;若f(x+a)为偶函数,则f(x)的图象关于直线x=a对称.(3)周期性的常用结论(ⅰ)f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=±1𝑓(𝑥)恒成立,则函数y=f(x)的周期为2|a|.(ⅱ)若函数y=f(x)的图象有相邻的两条对称轴x=a,x=b(a≠b),则函数y=f(x)必是周期函数,且一个周期为T=2|a-b|;若函数y=f(x)的图象有相邻的两个对称中心点A(a,0),B(b,0)(a≠b),则函数y=f(x)必是周期函数,且一个周期为T=2|a-b|;若函数y=f(x)的图象有相邻的一个对称中心点A(a,0)和一条对称轴x=b(a≠b),则函数y=f(x)必是周期函数,且一个周期为T=4|a-b|.3.求函数值域的常用方法(1)直接法;(2)配方法;(3)基本不等式法;(4)单调性法;(5)求导法;(6)分离变量法.注意:(1)解决函数问题容易忽视函数的定义域或求错函数的定义域,如求函数f(x)=1𝑥ln𝑥的定义域时,只考虑x0,忽视lnx≠0这一限制条件.(2)函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质,而函数的奇偶性及周期性都是函数在定义域上的整体性质,只有当函数的定义域关于原点对称时,才能研究这个函数的奇偶性.(3)若函数f(x)在定义域上(或某一区间上)是增函数,则f(x1)f(x2)⇔x1x2,利用这个等价关系可以去掉抽象函数的符号,(4)三招破解指数函数、对数函数、幂函数值的大小比较①底数相同,指数不同的幂,用指数函数的单调性进行比较;②底数相同,真数不同的对数值,用对数函数的单调性进行比较;③底数不同、指数也不同或底数不同、真数也不同的两个数,常引入中间量或结合图象比较大小.(5)三种画函数图象的基本思想方法①通过函数图象变换,利用已知函数图象画图;②对函数解析式进行恒等变换,转化为已知方程对应的曲线;③通过研究函数的性质,明确函数图象的位置和形状.二、函数与方程、函数模型的应用1.函数与方程(1)函数的零点:对于函数f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫作函数f(x)的零点.(2)函数的零点与方程的根的关系:函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.(3)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理求解;③数形结合,利用两个函数图象的交点求解.(4)二分法求函数零点的近似值及方程的近似解.2.函数模型及其应用(1)解决函数模型的实际应用题,首先考虑题目考查的函数模型,并要注意定义域.其解题的一般程序:读题(文字语言)⇒建模(数学语言)⇒求解(数学应用)⇒反馈(检验作答).(2)与函数有关的应用题,经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题,也可涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题.解答这类问题的关键是建立相关函数解析式,然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.注意:研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点,归根结底还是研究函数的图象,如单调性、值域、与x轴的交点等.三、不等式1.简单分式不等式的解法(1)𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)0(0)⇔f(x)g(x)0(0);(2)𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.2.解一元二次不等式(1)解一元二次不等式的基本思路:先化为一般形式ax2+bx+c0(或0)(a0),再求相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集.(2)解含有参数的一元二次不等式时,要注意对参数的取值进行讨论:①对二次项系数与0的大小关系进行讨论;②在转化为标准形式的一元二次不等式后,对判别式与0的大小关系进行讨论;③当判别式大于0,但两个根的大小关系不确定时,对两个根的大小关系进行讨论;④讨论根与定义域的关系.(3)两个常用结论:①ax2+bx+c0(a≠0)恒成立的条件是𝑎0,𝛥0;②ax2+bx+c0(a≠0)恒成立的条件是𝑎0,𝛥0.3.利用基本不等式求最值已知x,y都为正实数,(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2𝑃(x+y≥2𝑥𝑦=2𝑃).4.二元一次不等式(组)和简单的线性规划问题(1)线性规划问题的有关概念:线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等.(2)解不含实际背景的线性规划最优解问题的一般步骤:①画出可行域;②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点;③求出目标函数的最大值或最小值.5.不等式(1)不等式的证明:不等式的证明要注意和不等式的性质结合起来,常用的方法有比较法、作差法、作商法(要注意讨论分母)、分析法、综合法、反证法,还要结合放缩和换元的技巧.(2)不等式的恒成立、能成立问题:①f(x)g(x)对一切x∈[a,b]恒成立⇔[a,b]是f(x)g(x)的解集的子集⇔[f(x)-g(x)]min0(x∈[a,b]);②f(x)g(x)对x∈[a,b]能成立⇔[a,b]与f(x)g(x)的解集的交集不是空集⇔[f(x)-g(x)]max0(x∈[a,b]);③对∀x1,x2∈[a,b]使f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min;④对∀x1∈[a,b],∃x2∈[a,b]使f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min.注意:1.解含有参数的不等式的难点在于对参数的恰当分类,关键是找到对参数进行讨论的原因,确定好分类标准.2.多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错.因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,也是检验转换是否有误的一种方法.3.解决线性规划问题先要画出可行域,再注意目标函数表示的几何意义,通过数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意画图一定要准确,整点问题要验证解决.四、导数及其应用1.导数的几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k=f'(x0),故曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).求曲线的切线时,要分清是“在某点处的切线”还是“过某点的切线”.2.导数的四则运算法则(1)[μ(x)±v(x)]'=μ'(x)±v'(x);(2)[μ(x)·v(x)]'=μ'(x)v(x)+μ(x)v'(x);(3)[𝜇(𝑥)𝑣(𝑥)]'=𝜇'(𝑥)𝑣(𝑥)-𝜇(𝑥)𝑣'(𝑥)𝑣2(x)(v(x)≠0).3.复合函数求导法则:复合函数y=f(g(x))的导数和y=f(u),u=g(x)的导数之间的关系为y'x=f'(u)g'(x).4.导数与函数单调性的关系(1)函数单调性的判定方法:设函数y=f(x)在某个区间内可导,若f'(x)0,则y=f(x)在该区间上为增函数;若f'(x)0,则y=f(x)在该区间上为减函数.(2)函数单调性问题包括:①求函数的单调区间,常常通过求导,转化为解方程或不等式,常用到分类讨论思想;②利用单调性证明不等式或比较大小,常用构造函数法.5.极值的判别方法(1)当函数f(x)在点x0附近连续,且f'(x0)=0时,如果在x0附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,那么f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,那么f(x0)是极小值.也就是说x0是极值点的充分条件是点x0两侧导数异号,而不是f'(x0)=0.(2)函数不可导的点也可能是函数的极值点,而且极值是一个局部概念,极值的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小.6.函数的最值在闭区间上连续的函数,一定有最大(小)值,其最大(小)值是区间的端点处的函数值或在这个区间内函数的所有极大(小)值中的最大(小)者;开区间内的函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值一定是函数的最值.7.利用定积分求曲边梯形的面积由直线x=a,x=b(ab),x轴及一条曲线y=f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形的面积S=𝑓𝑏𝑎(x)d𝑥.(1)微积分基本定理:一般来说,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F'(x)=f(x),那么𝑓𝑏𝑎(x)d𝑥=𝐹(𝑏)-𝐹(𝑎).(2)定积分的性质:①𝑘𝑏𝑎(x)d𝑥=𝑘𝑓𝑏𝑎(x)d𝑥;②𝑏𝑎𝑓1(x)±𝑓2(x)]d𝑥=𝑏𝑎𝑓1(x)d𝑥±𝑏�