生活中的优化问题举例(一)

例1不等式法例2开门见山例2解答小结及练习与作业生活中的优化问题举例(一)例1练习变式思考生活中的优化问题举例(一)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．导数是求函数最值的强有力工具,所以利用导数能解决一些生活中的优化问题．思考课本第101页例1.答:当版心高为16,dm宽为8dm时,海报四周空白面积最小.例1.学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为2128dm,上、下两边各空2dm.左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸,才能使四周空白的面积最小？解:设版心的高为xdm,则版心的宽为128dmx,此时四周空白的面积128()(4)(2)128Sxxx51228xx(0)xx21128x∴2512()2,Sxx令2512()20,Sxx解得1616()x或舍当(0,16)x时,()0,Sx当(16,)x时,()0,Sx∴函数()Sx在(0,16)上递减,在(16,+)上递增.∴16x是函数()Sx的极小值点,也是最小值点.512228xx≥725122,16(0),xxxSx当且仅当即时取最小值128168y此时解法二:用基本不等式法求最值.同上得()Sx512()28(0)Sxxxx答:当版心高为16,dm宽为8dm时,海报四周空白面积最小.当(2,6)r时,'()0fr例2.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？[背景知识]某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是20.8r分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米.已知每出售1ml的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.问题:(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解:由于瓶子的半径为rcm，所以每瓶饮料的利润是324()0.20.83yfrrr320.8(),3rr06r≤2()0.8(2)0frrr令当=2r时,()=0fr当(0,2)r时,'()0fr;当(2,6)r时,()0fr解:由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是324()0.20.83yfrrr320.8(),3rr06r≤2()0.8(2)0frrr令当=2r时,()=0fr当(0,2)r时,()0fr;当半径2r时,()fr它表示()fr单调递增,即半径越大,利润越高；当半径2r时,()fr它表示()fr单调递减,即半径越大,利润越低；答:半径为2cm时,利润最小,这时(2)0f.表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值.半径为6cm时，利润最大.答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省奎屯王新敞新疆∵()SR只有一个极值，所以它是最小值奎屯王新敞新疆方法小结:优化问题用函数表示数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案建立数学模型解决数学模型作答利用导数解决优化问题的基本思路:练习(课本104P习题A组第3题)圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？分析:“所用材料最省”用什么量来刻划?表面积设半径为R,则高为h表面积写成R的函数,问题就转化求函数最值问题Rh解:设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积222SRhR从而22VhRR.由2VRh,得2VhR,则22()2R2VSRRR=222VRR令22()40VSRRR,解得32VR，作业:1041PA提示:2SRh+22R222SRhRV(R)=2222SRRR=2311(2)22SRRSRR令'()VR=026SR226222RRhRhR．变式题:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使饮料罐的容积最大?Rh作业:1041PA