节点导纳矩阵计算

1第一章导纳矩阵的计算简介1.1变压器的∏型等值电路在电力系统潮流计算中，往往要计算节点导纳矩阵，而我们计算节点导纳矩阵采用节点电压法来实现，如在变压器构成的电力系统中，需要将变压器模型转变成变压器∏型等值电路（见图1-1），在利用电路知识列节点电压方程，从而导出所需的导纳矩阵。图1-1双绕组变压器的∏型等值电路（i，j为节点）而在电力系统潮流计算中一般采用标幺值进行计算，标幺值公式如下：有名值（任意单位）标幺值基准值（与有名值同单位）如果采用标么值计算，元件参数都应归算到同一基准值时得标么值，才能在同一个等值电路上分析和计算。所以，变压器转变成∏型等值电路时，我们采用标幺值计算，使所求参数为变压器变比k的函数。而在一个已经归算好的电力系统网中，若改变变压器的分接头来进行调压，这时变压器的等值电路参数也会相应得改变，此时采用∏型等值电路进行折算就显得较为方便。下面是变压器的∏型等值电路分析过程：如不计励磁支路的影响，双绕组变压器可用其阻抗与一个理想变压器串联的电路表示，如图所示。理想变压器只有一个参数，那就是变比k=12UU。现以变压器阻抗按实际变比归算到低压侧的情况为例，推导出双绕组变压器的∏型等值电路。流入和流出理想变压器的功率相等：K:1TYijij2(1)TkYk(1)TkYkTYk2....1212/kUIUI(1U、2U分别为变压器高、低绕组的实际电压）（1-1）..12/kII（1-2）联立（1-1）、（1-2）两个公式解得：.....1212122TkkZkkTTTYUYUUUIZ（1-3）....11222TkZkTTTYUUUIYUZ（1-4）根据《电路原理》节点1、2的节点电流方程具有如下形式：...1121112...2122122IYUYUIYUYU（1-5）将式（1-3）、（1-4）与式（1-5）比较得(1-6):211T12T21T12TYY/kYY/kYY/kYY(1-6)因此可以的得到各支路导纳为1212T2121T2101112TTT2202221TTTYyY/kYyY/k1kyYyY/kY/kYkk1yYyYY/kYk（1-7）31.2节点电压方程在电路中我们已经学过利用节点电压方程来求解某几条支路的电流，现以下图1-2-1与图1-2-2为例推导节点电压方程组。图1-2-1节点电压法为例图1-2-2用电流源代替电压源为例图1-2-1表示了一个具有两个电源和你一个等值负荷的系统。1e、2e为电源电势，1y、2y为电源的内部导纳，3y为负荷的等值导纳，4y、5y、6y为各支路的导纳。如果以地为电压参考点，设节点1、2、3的电压为，根据基尔霍夫电流KCL法对节点1、2、3列节点电流方程得式（1-8）：11121131112162152322431532330yVyVVyVVyyVyVVyVVyyVVyVVyVee（1-8）上式中左端为节点1、2、3流出的电流，右端为注入个节点的电流。由上式可以得到一个等效的等值电路图1-2-2。图1-2-2中利用了电流源代替的电压源。在图1-2-2中可知的式（1-9）：..111..222IyIyee（1-9）4为等值电流源向网络注入的电流。将与式（1-8）联立得式（1-10）：....1111221331....2112222332....3113223333YVYVYVIYVYVYVIYVYVYVI(1-10）上式中111462225633346,,YyyyYyyyYyyy称为节点1、2、3的自导纳，122161331423325,,YYyYYyYYy称为相应节点之间的互导纳。因此，在一般情况下，在电力网络中有n个节点，则可以按式（1-10）的形式列出n个节点方程式，也可用矩阵的形式表示IYV。其中.1.2....nIIII.1.2....nVVVV分别为节点注入电流列向量及节点电压列向量；111212122212.....................nnnnnnYYYYYYYYYY为节点导纳矩阵，其中对角元素iiY为节点i的自导纳，非对角线ijY为节点i与节点j之间的互导纳。51.3节点导纳矩阵节点导纳矩阵既可根据自导纳和互导纳的定义直接求取，也可根据电路知识中找出改网络的关联矩阵，在节点电压方程的矩阵形式进行求解。本章节我们主要讨论的是直接求解导纳矩阵。根据节点电压方程章节我们知道，在利用电子数字计算机计算电力系统运行情况是，多采用IYV形式的节点方程式。其中阶数等于电力网络的节点数。从而可以得到n个节点时的节点导纳矩阵方程组（1-11）如下：....11112211....211222232....11223.........................nnnnnnnnYVYVYVIYVYVYVIYVYVYVI(1-11）由此可以得到n个节点导纳矩阵：111212122212...............nnnnnnYYYYYYYYYY它反映了网络的参数及接线情况，因此导纳矩阵可以看成是对电力网络电气特性的一种数学抽象。由导纳短阵所联系的节点方程式是电力网络广泛应用的一种数学模型。通过上面的讨论，可以看出节点导纳矩阵的有以下特点：（1）导纳矩阵的元素很容易根据网络接线图和支路参数直观地求得，形成节点导纳矩阵的程序比较简单。（2）导纳矩阵为对称矩阵。由网络的互易特性易知ijjiYY。6（3）导纳矩阵是稀疏矩阵。它的对角线元素一般不为零，但在非对角线元素中则存在不少零元素。在电力系统的接线图中，一般每个节点与平均不超过3~4个其他节点有直接的支路连接。因此，在导纳矩阵的非对角线元素中每行仅有3~4个非零元素，其余的都是零元素，而且网络的规模越大，这种现象越显著。导纳矩阵的对称性和稀疏性对于应用计算机求解电力系统问题有很大的影响。如果能充分地利用这两个特点，如在程序设计中储存导纳矩阵的对角元素和上三角元素（或下三角元素），排除零元素的储存和运算，就可以大大地节省储存单元和提高计算速度。节点导纳矩阵的形式可归纳如下：（1）导纳矩阵的阶数等于电力网络的节点数。（2）导纳矩阵各行非对角元素中非零元素的个数等于对应节点所连得不接地支路数。（3）导纳矩阵各对角元素，即节点的自导纳等于相应节点之间的支路导纳之和。（4）导纳矩阵非对角元素，即节点之间的互导纳等于相应节点之间的支路导纳的负值。而在电力系统中进行潮流计算时，往往要计算不同接线下的运行状况，例如改变变压器主抽头时，潮流分布也随之变化，以及改变其他设备参数进行计算潮流分布，此时就需要导出变化时的导纳矩阵就需要对所设计的程序进行参数设定，而不需要重复上述步骤去导出所求的导纳矩阵。71.4节点导纳矩阵的修改在电力系统计算中，往往要计算不同接线下的运行状况，例如，某电力线路或变压器投入前后的状况，以及某些元件参数变更前后的运行状况。由于改变一个支路的参数或它的投入、退出状况只影响该支路两端节点的自导纳和它们之间的互导纳，可不必重新形成与新运行状况相对应的节点导纳矩阵，仅需要对原有的矩阵作某些修改。先讨论网络中含有非标准变比K的变压器支路时导纳矩阵元素的修改。当节点p，q间接有变压器支路时（见图1-4-1），当然可以用∏型等值电路，然后按照上述原则形成导纳矩阵。但在实际应用程序中，往往直接计算变压器支路对导纳矩阵的影响。根据图1-4-1可以写出节点p，q的自导纳和节点间的互导纳增量分别如下：节点p的自导纳改变量：111ppkYkzkzz（1-12）节点q的自导纳改变量：22111qqkYkzkzkz（1-13）增加节点p，q间的互导纳：1pqqpYYkz（1-14）在电力系统中，假定接线改变前的导纳矩阵元素为(0)ijY，接线改变后则应修改为(0)ijijijYYY。现就几种典型的接线方式变化，说明修改量ijY的计算方法。（1）从网络的原有节点i引出一条导纳为ijy的支路，同时增加一个节点j。由于节点数加1，导纳矩阵将增加一行一列。新增的对角线元素jjijYy。新增的非对角线元素中，只有ijjiijYYy，其余的元素都为零。矩阵的原有部分，只图1-4-1PqZ1:kPq1kzk21kzkkz8有节点i的自导纳应增加iiijYy。（2）在网络的原有节点i，j之间增加一条导纳为ijy的支路。由于只增加支路不增加节点，故导纳矩阵的阶次不便。因而只要对与节点i，j有关的元素分别增添以下的修改增量即可，其余的元素都不必修改：,iijjijijjiijYYyYYy（1-15）（3）在网络的原有节点i，j之间切除一条导纳为ijy的支路。这种情况可以当作是在节点i，j间增加一条导纳为ijy的支路来处理。因此，导纳矩阵中有关元素的修正增量为：,iijjijijjiijYYyYYy（1-16）（4）原网络节点i，j之间的导纳由ijy改为'ijy。这种情况可以当作首先在节点i，j间切除一条导纳为ijy的支路，然后再在节点i，j间追加导纳为'ijy的支路，根据式（1-15）、（1-16）不难求出导纳矩阵相关元素的修正量。其他的网络变更情况，可以仿照上述方法进行处理，或者直接根据导纳矩阵元素的物理意义，导出相应的修正公式。应该指出，如果增加或切除的支路是变压器支路，则以上相关元素的修改应按式（1-12）、（1-13）、（1-14）进行。91.5导纳矩阵在潮流计算中的应用导纳矩阵在潮流计算中的应用起到重要的作用，前面我们介绍了根据系统网络的接线盒参数形成节点导纳矩阵的方法。尽管形成节点导纳矩阵的原理是简单的，但如果采用手算的方法，即使节点数不多的系统也仍然有相当大的工作量。因此只有应用计算机才能快速而准确地完成这些计算任务。本章节我们介绍形成系统节点导纳矩阵的实用程序。为了形成节点导纳矩阵，必须知道电力系统的接线图。从前面的讨论知道，网络接线由节点及连接两个节点的支路确定。实际上，只有输入了各支路两端的节点号，就相当输入了系统的接线图。在计算潮流分布时，我们必须先导出该网络的导纳矩阵，而进行潮流计算时解非线性的节点电压方程的有关方法中，高斯-塞德尔迭代法和牛顿-拉夫逊迭代法是计算机潮流计算中常用的基本方法。这两种方法既可用以解线性方程组，也课用以解非线性方程组。高斯-塞德尔迭代法由于其简单而在早期的潮流计算程序中得以采用。但其后就逐渐被牛顿型算法所取代。目前这种方法多半与牛顿型算法配合使用以弥补后者的不足。牛顿-拉夫逊法的收敛性较好，但对初值的要求比较严格，是当前广泛采用的计算机潮流算法。运用计算机进行潮流计算，一般要完成以下几个步骤：建立数学模型、确立计算方法、制定计算机流程并编制程序、上机计算及对计算结果进行分析。因此我们可以知道导纳矩阵在潮流计算中是很重要的。本节只是对导纳矩阵在潮流分布的计算机算法一些简单的描述，我们将在下一章对其进行详细讲解。10第二章导纳矩阵的计算机算法2.1MATLAB软件的基本功能在进行电力系统潮流计算，应用计算机算法进行求解节点导纳矩阵时候，我们要用到MATLAB的知识，所以应当对MATLAB的基本指令有所了解，下面是MATLAB的一些基本功能：进入MATLAB之后，会看到一个MATLABCommandWindow，称为命令窗，它是最主要的窗口，既是键入命令也是显示计算结果的地方。另外还有一个编程窗，专门用来编辑应用程序。还有一个主窗口，用来记录已使用过的历史命令和