1.1.3导数的几何意义

【课标要求】1．了解导数的概念；理解导数的几何意义．2．会求导数．3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．【核心扫描】1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程．(重点)2．准确理解在某点处与过某点的切线方程．(易混点)自学导引1．切线：如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1，2，3，4，…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．显然割线PPn的斜率是kn＝f（xn）－f（x0）xn－x0，当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率．PQoxyy=f(x)割线切线T我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.2．几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的，也就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率k＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝f′(x0)．相应地，切线方程为．斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)1．对导数几何意义的理解(1)以前学过的切线的定义是与封闭曲线只有一个交点的直线叫做曲线的切线，而此处切线的定义是曲线割线的交点，趋近于另一个交点的极限位置，是从极限的角度定义切线的．(2)与曲线有且只有一个交点的直线不一定是曲线的切线．反之，曲线的切线与曲线的交点个数可能不只一个．如y＝1与y＝sinx有无数个交点，但y＝1却是y＝sinx的切线．(3)若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．(4)显然f′(x0)0，切线的倾斜角为锐角；f′(x0)0，切线倾斜角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行或重合．2．利用导数的几何意义求曲线上某点的切线方程的步骤第一步：求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；第二步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．注意：若在点(x0，f(x0))处切线l的倾斜角为π2，此时切线平行于y轴，导数不存在，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得切线方程为x＝x0.3．求切点的坐标设切点坐标为(x0，y0)，根据导数的几何意义，求出切线的斜率，然后利用两直线平行，垂直等条件求出切点的坐标．4．求切线的倾斜角求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)，由导数的几何意义，得f′(x0)＝k＝tanα，(其中α为曲线f(x)在(x0，f(x0)处的切线的倾斜角)进而求出α.特别地，若f(x)在x0处的导数不存在，而f(x)在x0处的切线存在，则此切线的倾斜角为90°.例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点x=1处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx.2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000DDDDDDDDDDxxxxxxxfxxfkxxx解因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出该点的坐标;②利用该点切线的斜率等于函数在该点的导数;③利用点斜式求切线方程.题型一曲线的切线方程求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程，即点P的坐标既适合曲线方程，又适合切线方程，若点P处的切线斜率为f′(x0)，则点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)；如果曲线y＝f(x)在点P处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可由切线定义确定切线方程为x＝x0.练习:如图已知曲线,求:(1)在点P处的切线的斜率;(2)在点P处的切线方程.)38,2(313Pxy上一点yx-2-112-2-11234OP313yx.])(33[lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxxDDDDDDDDDDDDDD解：.42|22xy即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.题型二求切点坐标【例3】拋物线y＝x2在点P处的切线与直线4x－y＋2＝0平行，求P点的坐标及切线方程．审题指导解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时同时注意解析几何知识的应用．如直线的倾斜角与斜率的关系，平行、垂直等．【解题流程】设切点坐标P（x0，y0）→求导函数y′＝f′（x）→由斜率k＝4，求x0→求P点坐标（x0，y0）→求切线方程[规范解答]设P点坐标为(x0，y0)，y′＝ΔyΔx＝（x＋Δx）2－x2Δx(2分)＝2x·Δx＋（Δx）2Δx＝(2x＋Δx)＝2x.(4分)∴y′|x＝x0＝2x0，(6分)又由切线与直线4x－y＋2＝0平行，∴2x0＝4，∴x0＝2，(8分)∵P(2，y0)在拋物线y＝x2上，∴y0＝4，∴点P的坐标为(2，4)，(10分)∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0(12分)【题后反思】解答此类问题的步骤为：(1)先设切点坐标(x0，y0)；(2)求导数f′(x)；(3)求切线的斜率f′(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标．(6)得到切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)误区警示【示例】过曲线y＝x3上点(1，1)的切线方程是________．[错解]因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，所以ΔyΔx＝（Δx）3＋3（Δx）2＋3ΔxΔx＝(Δx)2＋3Δx＋3，ΔyΔx＝3，即f′(1)＝3.所以所求切线的方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.求切线方程时，一定要注意是求过某一点的切线方程还是求在某点处的切线方程．前者可能会有多个结果，而后者通常只有一个结果．例如，如图所示的图像，l1，l2，l3都是过点P的切线，其中l3是在点P处的切线．过曲线上一点的切线和在某一点处的切线是两个不同的概念．[正解]设切线与曲线的切点为(x0，x30)，则ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝（Δx）3＋3x0（Δx）2＋3x20ΔxΔx＝(Δx)2＋3x0Δx＋3x20.ΔyΔx＝3x20，即f′(x0)＝3x20.故切线方程为y－x30＝3x20(x－x0)，而该切线过点(1，1)，所以1－x30＝3x20(1－x0)，解得x0＝1或x0＝－12，所以切线方程为y－1＝3(x－1)或y＋18＝34x＋12，即3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.布置作业P10-11习题1.1A组6题，B组3题