2.2.3向量数乘运算及其几何意义

特点：共起点，连终点，方向指向被减向量1.向量加法三角形法则:aABbCabaAbBOCab特点:首尾相接，连首尾特点:同一起点,对角线babBaABAabO2.向量加法平行四边形法则:3.向量减法三角形法则:思考：已知非零向量,作出和,你能说明它们的几何意义吗？aaaa()()()aaaaBACOaaaNMQPaaaOCOAABBCaaaPNPQQMMNaaa（）（）（）3a-记作3a记作一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，aa||||||;aa（1）（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。aa0aa0特别的，当时，00.a一.向量数乘的定义它的长度和方向规定如下：课本P90,ex.2～3练一练:a3(2)a3(2)a6a=abab22ab2a2b2()22abab326222,()()(),,,(),aaaababab(1)根据定义求作向量和　为非零向量并进行比较，看看它们有何关系？(2)已知向量求作向量和并进行比较，看看它们有何关系？探究设为实数，那么,(1)()();(2)();(3)().aaaaaabab特别的，我们有()()(),().aaaabab向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有ab，1212().abab12,,结合律分配律分配律运算律：仍是向量例1.计算：34322332();()();()().(1)(2)(3)aababaabcabc13412()()aa　原式233225()ababab　原式解:二.例题讲解3233252()abcabcabc　原式2263)3(342);3()2(2)4()0.abcabcxaxaxabx计算:(1)（　　（2）已知　　求141269126abcabc解：（）原式13a233244440xaxaxab（）由已知得：34xab340xab即　练习:?,),0()1(位置关系如何则若baaab?),0(//)2(是否成立则若abaab//ba成立课本P90,ex.5练一练:思考：向量共线定理0.),(,ababa向量与共线当且仅唯一一个当有实数使思考:1)为什么要是非零向量?a2)可以是零向量吗?bab即与共线ba(0)a（重点）课本P90,ex.4练一练:例2.如图，已知任意两个向量，试作ab、2,3.OBabOCab,OAab你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？abab2b3bABCO解:2-()3-()2ABOBOAababbACOCOAababb2ACAB,,ABC故三点共线,且有公共点Ａ证明三点共线的方法:小结:AB=λBC且有公共点ＢA,B,C三点共线121212122362348:eeABeeBCeeCDeeAB已知两个非零向量和不共线，如果，，，求证、、D三点共线.例3.如图：已知，，试判断与是否共线．ABAD3BCDE3ACAEABDECBCAB33BCAB3AC3∴与共线．AEACDEADAE解：ABCMabD,,,,,,.ABCDMABaADbabMAMBMCMD例4.如图,的两条对角线相交与点且用表示和111222MCACab1111()2222MDMBDBabab1111()2222MAACabab　1111()2222MBDBabab:.ABCDACABADabDBABADab解在中()如图所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量CD　　11221122Ａ．BCBA　　　　　Ｂ．BCBA　C．BCBA　　　　　Ｄ．BCBA练习:ADCBA3334220()A.ba(a),a,bB.mab,nab,m//nC.a,bab.D.abcabc1.下列各式叙述不正确的是为非零向量则共线则若共线,则存在唯一的实数使得,则练习:C1321123333ABCDABD=2DB,CD=CA+C,()A.B.C.-D.-AB2.在三角形中,已知是边上一点,若则A33.,,,,,()....oABCDABCabcODAabcBabcCabcDabc已知一点到平行四边形的个顶点的向量分别为则向量等于B4.,,.2.ABCDEFADBCABDCEF如图在任意四边形中、分别是、的中点求证：AEBDFC1212124.eeeeekek6.设，是两个不共线的向量，而和2共线，求实数的值12124eeeke解：　和2　向量共线12124,()ekeee存在实2　使得　数8k　　24k0()aa5.求已知向量的单位向量.12124ekeee即2小结一、①实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减.实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量.②若，则可能有，也可能有.0a00a三、定理的应用：1.证明向量共线2.证明三点共线:AB=λBC且有公共点Ｂ3.证明两直线平行:AB=λCDAB与CD不在同一直线上直线AB∥直线CDA,B,C三点共线AB∥CD二、①的定义及运算律a②向量共线定理(0)aba向量与共线ab1.阅读教材P87～90；2.教材P91ex.2.2A组9、10、12、13和B组3；3.完成教辅相关部分.课后作业向量数乘习题课思考1：如图，设点M为△ABC的重心，D为BC的中点，那么向量与，与分别有什么关系？BDuuurBCuuurADuuurDMuuuurABCDM对于任意一个三角形：三角形的高的交点叫三角形的中线的交点叫三角形的角平分线的交点叫三角形的中垂线的交点叫唉！心真多！你可别心多烂了肺哈！三角形的外角平分线的交点是既然是“旁人的心”，就少管！记忆法：①垂者高也，垂心；②重（中），谐音，重心；③内切圆的圆心，内心；④外接圆的圆心，外心垂心；重心；内心；外心。旁心。思考1：如图，设点M为△ABC的重心，D为BC的中点，那么向量与，与分别有什么关系？BDuuurBCuuurADuuurDMuuuurABCDM12BDBC=uuuruuur3ADDM=-uuuruuuur三角形重心性质定理：三角形的重心把中线分成两部分，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍1.,1.,,3.DABCBCBDBCABaACbAD是中边上一点且设则1.,1.,,3.DABCBCBDBCABaACbAD是中边上一点且设则1(2)3ab.MPMNQPNQ2..ABACBDCD.DCADAB.ADODOA.MPMNQPNQ2..ABACBDCD.DCADAB0.ADODOA.MPMNQPNQ2..ABACBDCD.DCADAB00.ADODOA.MPMNQPNQ2..ABACBDCD.DCADAB00.ADODOACB.MPMNQPNQ2..ABACBDCD.DCADAB00.ADODOACB013.,,//,4,,,,12345ABCADABDEBCACEABCNABaACbAEBCDEDBEN在中且与边相交于点的中线AM与DE相交于点设则（）；（）；（）；（）；（）67.DNAN；（）；（）4.,,.ABCDEFGHABBCCDDAEFHG已知四边形点、、、分别是、、、的中点求证：HGACEBDF115.,,.331:.3AMABANACMNBC如图求证BACNM1.教材P91ex.2.2剩余部分；2.完成教辅相关部分；3.预习教材P93～99.课后作业