高一数学数列部分经典习题及答案

...数列一．数列的概念：（1）已知*2()156nnanNn，则在数列{}na的最大项为__（答：125）；（2）数列}{na的通项为1bnanan，其中ba,均为正数，则na与1na的大小关系为__（答：na1na）；（3）已知数列{}na中，2nann，且{}na是递增数列，求实数的取值范围（答：3）；二．等差数列的有关概念：1．等差数列的判断方法：定义法1(nnaadd为常数）或11(2)nnnnaaaan。设{}na是等差数列，求证：以bn=naaan21*nN为通项公式的数列{}nb为等差数列。2．等差数列的通项：1(1)naand或()nmaanmd。(1)等差数列{}na中，1030a，2050a，则通项na（答：210n）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833d）3．等差数列的前n和：1()2nnnaaS，1(1)2nnnSnad。（1）数列{}na中，*11(2,)2nnaannN，32na，前n项和152nS，求1a，n（答：13a，10n）；（2）已知数列{}na的前n项和212nSnn，求数列{||}na的前n项和nT（答：2*2*12(6,)1272(6,)nnnnnNTnnnnN）.三．等差数列的性质：1．当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且率为公差d；前n和211(1)()222nnnddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0.2．若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。3．当mnpq时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa.（1）等差数列{}na中，12318,3,1nnnnSaaaS，则n＝____（答：27）（2）在等差数列na中，10110,0aa，且1110||aa，nS是其前n项和，则..A、1210,SSS都小于0，1112,SS都大于0B、1219,SSS都小于0，2021,SS都大于0C、125,SSS都小于0，67,SS都大于0D、1220,SSS都小于0，2122,SS都大于0（答：B）4．若{}na、{}nb是等差数列，则{}nka、{}nnkapb(k、p是非零常数)、*{}(,)pnqapqN、232,,nnnnnSSSSS，…也成等差数列，而{}naa成等比数列；若{}na是等比数列，且0na，则{lg}na是等差数列.等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。（答：225）5．在等差数列{}na中，当项数为偶数2n时，SSnd偶奇－；项数为奇数21n时，SSa奇偶中，21(21)nSna中（这里a中即na）；:(1):奇偶SSkk。如（1）在等差数列中，S11＝22，则6a＝______（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列{}na中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.6．若等差数列{}na、{}nb的前n和分别为nA、nB，且()nnAfnB，则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB.如设{na}与{nb}是两个等差数列，它们的前n项和分别为nS和nT，若3413nnTSnn，求nnba（答：6287nn）7．“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组000011nnnnaaaa或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。（1）等差数列{}na中，125a，917SS，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，（2）若{}na是等差数列，首项10,a200320040aa，200320040aa，则使前n项和0nS成立的最大正整数n是（答：4006）8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究nmab.四．等比数列的有关概念：1．等比数列的判断方法：定义法1(nnaqqa为常数），其中0,0nqa或11nnnnaaaa(2)n。（1）一个等比数列{na}共有21n项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1na为____（答：56）；..（2）数列{}na中，nS=41na+1(2n)且1a=1，若nnnaab21，求证：数列｛nb｝是等比数列。2．等比数列的通项：11nnaaq或nmnmaaq。设等比数列{}na中，166naa，21128naa，前n项和nS＝126，求n和公比q.（答：6n，12q或2）3．等比数列的前n和：当1q时，1nSna；当1q时，1(1)1nnaqSq11naaqq。如（1）等比数列中，q＝2，S99=77，求9963aaa（答：44）特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分1q和1q两种情形讨论求解。4．提醒：（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、q、n、na及nS，其中1a、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，22,,,,aaaaqaqqq…（公比为q）；但偶数个数成等比时，不能设为…33,,,aqaqqaqa，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）5.等比数列的性质：（1）当mnpq时，则有mnpqaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa.（1）在等比数列{}na中，3847124,512aaaa，公比q是整数，则10a=___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列{}na中，若569aa，则3132310logloglogaaa（答：10）。(2)若{}na是等比数列，则{||}na、*{}(,)pnqapqN、{}nka成等比数列；若{}{}nnab、成等比数列，则{}nnab、{}nnab成等比数列；若{}na是等比数列，且公比1q，则数列232,,nnnnnSSSSS，…也是等比数列。当1q，且n为偶数时，数列232,,nnnnnSSSSS，…是常数数列0，它不是等比数列.（1）已知0a且1a，设数列{}nx满足1log1logananxx(*)nN，且12100100xxx，则101102200xxx答：100100a）；..（2）在等比数列}{na中，nS为其前n项和，若140,1330101030SSSS，求20S的值（答：40）(3)若10,1aq，则{}na为递增数列；若10,1aq,则{}na为递减数列；若10,01aq，则{}na为递减数列；若10,01aq,则{}na为递增数列；若0q，则{}na为摆动数列；若1q，则{}na为常数列.(4)当1q时，baqqaqqaSnnn1111，这里0ab，但0,0ab，这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据nS，判断数列{}na是否为等比数列。若{}na是等比数列，且3nnSr，则r＝（答：－1）(5)mnmnmnnmSSqSSqS.如设等比数列}{na的公比为q，前n项和为nS，若12,,nnnSSS成等差数列，则q的值为_____（答：－2）(6)在等比数列{}na中，当项数为偶数2n时，SqS偶奇；项数为奇数21n时，1SaqS奇偶.(7)如果数列{}na既成等差数列又成等比数列，那么数列{}na是非零常数数列，故常数数列{}na仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。设数列na的前n项和为nS（Nn），关于数列na有下列三个命题：①若)(1Nnaann，则na既是等差数列又是等比数列；②若RbanbnaSn、2，则na是等差数列；③若nnS11，则na是等比数列。这些命题中，真命题的序号是（答：②③）五.数列的通项的求法：⑴公式法：⑵已知nS（即12()naaafn）求na，用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn。①已知{}na的前n项和满足2log(1)1nSn，求na（答：3,12,2nnnan）；②数列{}na满足12211125222nnaaan，求na（答：114,12,2nnnan）⑶已知12()naaafn求na，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)nfnfnanfn。如数列}{na中，,11a对所有的2n都有2321naaaan，则53aa______（答：6116）..⑷若1()nnaafn求na用累加法：11221()()()nnnnnaaaaaaa1a(2)n。如已知数列{}na满足11a，nnaann111(2)n，则na=_______（答：121nan）⑸已知1()nnafna求na，用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaa(2)n。如已知数列}{na中，21a，前n项和nS，若nnanS2，求na（答：4(1)nann）⑹已知递推关系求na，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如1nnakab、1nnnakab（,kb为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求na。①已知111,32nnaaa，求na（答：1231nna）；②已知111,32nnnaaa，求na（答：11532nnna）；（2）形如11nnnaakab的递推数列都可以用倒数法求通项。①已知1111,31nnnaaaa，求na（答：132nan）；②已知数列满足1a=1，11nnnnaaaa，求na（答：21nan）注意：（1）用1nnnSSa求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n，当1n时，11Sa）；（2）一般地当已知条件中含有na与nS的混合关系时，常需运用关系式1nnnSSa，先将已知条件转化为只含na或nS的关系式，然后再求解。如数列{}na满足11154,3nnnaSSa，求na（答：14,134,2nnnan）六.数列求和的常用方法：1．公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：1123(1)2nnn，222112(1)(21)6nnnn，33332(1)123[]2nnn.如（1）等比数列{}na的前n项和Sｎ＝2ｎ－１，则2232221naaa