第八讲-向量范数及其性质

第八讲向量范数及其性质一、向量范数的概念及lp范数1、向量序列的极限(){}kx2(1)(1)(1)(1)1(,,),nx2(2)(2)(2)(2)1(,,),nx()()()(2)1(,,),kkkknx21(,,),nx()limkkxx或()()kxxk12n一、向量范数的概念及lp范数例1、分别讨论向量序列()12sinkkxkk，1()2(1)1(1)kkkkyk(1,2,)k的敛散性。一、向量范数的概念及lp范数设向量级数()1kkx，其部分和为()()1kkiiyx，如果向量序列(){}ky有极限，则称此级数有极限，且(){}ky的极限就是此级数的极限；反之，称此级数发散。一、向量范数的概念及lp范数例2、令()121kkxk，讨论向量级数()1kkx的敛散性。一、向量范数的概念及lp范数向量序列(){}kx收敛到向量x向量序列()()()()1122{}{(,,,)}kkkknnxx收敛到零向量。()limkkxx向量()kxx的欧氏长度()()2()211()()kkknnxx收敛于0。一、向量范数的概念及lp范数2、向量范数的定义定义1：设V是数域K上的线性空间，且Vx，对应一个实数x，满足以下3个条件：(1)非负性：当0x时，0x；当0x时，0x(2)正齐次性：,,axaxaKxV(3)三角不等式：,,xyxyxyV则称x为V上向量x的范数，简称向量范数。一、向量范数的概念及lp范数3、性质(1)xyxy；xyxy。(2)向量范数是连续函数。一、向量范数的概念及lp范数4、Cn上几种常见的范数11(,,),(,,)nnnxyC，1)-范数：maxiix；2)1-范数：11niix；3)2-范数：221(,)niixxx；一、向量范数的概念及lp范数4)p-范数或pl范数：1,ppR，11npippix有时依次称12,,xxx为12,,lll范数。一、向量范数的概念及lp范数例3、设(2,0,14,12)xii，21i，求x，1x，2x，px。max{2,0,14,12}12xii1201412217121417xii2241712165x1(21712)pppppx解：一、向量范数的概念及lp范数例4、在2R中，将向量12(,)x表示成平面上直角坐标系中的点，分别画出下列等式11x，21x，1x决定的x全体所对应的几何图形。一、向量范数的概念及lp范数5、一般线性空间上的向量范数例5、设A是任意一个n阶对称正定矩阵，列向量nxR，则函数12()TAxxAx是一种向量范数，称为加权范数或椭圆范数。一、向量范数的概念及lp范数例6、在线性空间[,]Cab上，由pl范数类推，可定义1()()baftftdt；1()(),1bpppaftftdtp；,()max()tabftft，可验证均满足范数定义的三个条件。一、向量范数的概念及lp范数例7、给定线性空间nV的基12,,nxxx，设nxV在该基下的坐标向量为12(,,,)Tnx，则ppxx，1p满足范数定义的三个条件，它是nV上的范数，也称为x的p范数。思考题：设矩阵mxnSC列满秩，给定mC上的一种向量范数，证明,nSxSxxC是nC的向量范数。二、线性空间Vn上向量范数的等价性Th1、设x和x为有限线性空间V的任意两种向量范数（它们不限于p范数），则存在两个与向量x无关的正常数1c和2c，使下面不等式成立12,cxxcxxV。Th2、nC中的向量序列()()()()12(,,,)kkkknx，1,2,k收敛到向量12(,,)nx的充要条件是对任一种范数，序列(){}kxx收敛于零。二、线性空间Vn上向量范数的等价性