高等数学各章总结

第一章函数一、知识结构：二、例题：判断题1.设arcsinyu,22ux,可以复合成一个函数2arcsin2xy；2.函数1lglgyx的定义域是1x且10x；3.函数2xye在(0,)内无界；4.函数211yx在(0,)内无界；5.21()cosxfxx是奇函数；6.()fxx与2()()gxx是相同函数；7.函数xye是奇函数；8.yx与2yx是同一函数；9.函数31yxx是奇函数；10.函数1arcsin2xy的定义域是(1,3)；11.yx与2xyx不是同一个函数；函数集合函数关系实数集（区间）集合的运算（交、并、补）实数集（区间）函数的表示基本初等函数，初等函数复合函数分段函数反函数函数的性质单调性奇偶性周期性有界性经济学常用函数建立函数关系（应用问题）12.函数cosyxx是偶函数.填空题1.设23,,tan,uyuvvx则复合函数为()yfx=_________；2.设xxf1)(,xxg1)(,则)]([xgf=_______；3.复合函数2(sin)xye是由________,________,_______函数复合而成的；4.已知11()1fxx,则(2)f__________；5.141yxx,其定义域为__________；6.设函数2()1xfxx,则(1)f=__________；7.考虑奇偶性,函数2ln(1)yxx为___________函数；8.函数2xye的反函数是,它的图象与2xye的图象关于________对称.选择题1.函数32xxy的定义域是()(A)(2,)(B)[2,](C)(,3)(3,)(D)[2,3)(3,)2.函数22)1(xxy在区间(0,1)内()(A)单调增加(B)单调减少(C)不增不减(D)有增有减3.下列函数中，是奇函数的是()(A)42yxx(B)2yxx(C)22xxy(D)22xxy4.已知函数20()10axbxfxxx，则(0)f的值为()(A)ab(B)ba(C)1(D)2第二章极限与连续一、知识结构：二、例题：判断题1.函数在点0x处有极限，则函数在0x点必连续；2.0x时,x与sinx是等价无穷小量；3.若00(0)(0)fxfx，则)(xf必在0x点连续；4.当0x时，2sinxx与x相比是高阶无穷小；5.函数221yx在(,)内是单调的函数；6.设)(xf在点0x处连续，则00(0)(0)fxfx；7.函数21sin,0()0,0xxfxxx在0x点连续；8.1x是函数122xxy的间断点；9.()sinfxx是一个无穷小量；10.当0x时，x与)1ln(2x是等价的无穷小量；11.若)(lim0xfxx存在，则)(xf在0x处有定义；12.若x与y是同一过程下两个无穷大量，则xy在该过程下是无穷小量；极限连续极限连续极限的定义极限的性质数列极限连续的定义一点处的连续开区间上连续闭区间上连续闭区间连续函数的性质有界性最值性介值性零点定理极限的计算函数极限唯一性有界性保号性四则运算法则夹逼准则无穷小性质及等价无穷小代换两个重要极限连续函数的计算连续函数的四则运算连续函数的复合无穷小与无穷大及关系由连续性求极限初等函数的连续性间断点及类型13.22xy是一个复合函数；14.21sinlim0xxxx；15.11,0,,0,,0,481数列收敛2；16.函数1sinyxx在0x点连续；17.0x是函数ln(2)xyx的间断点；18.以零为极限的变量是无穷小量；填空题1.sinlimxxx_______；2.xxxxsinlim=_______；3.函数922xxy在_______处间断；4.1253lim22nnnn=_______；5.当0x时，1cosx是比x______阶的无穷小量；6.当0x时，若sin2x与ax是等价无穷小量，则a______；7.0()limsinxxxxx__________；8.设sin2,0(),0xxfxxax连续，则a_________；9.0limhxhxh___________；10.2lim(1)xxx________；11.0ln(13)limsin3xxx_________；12.设21,0()0,0xexfxx在0x处________（是、否）连续；13.当0x时，42x与93x是______（同阶、等价）无穷小量.选择题1.当0x时，xy1sin为()(A)无穷小量(B)无穷大量(C)有界变量但不是无穷小量(D)无界变量2.1x时，下列变量中为无穷大量的是()(A)113x(B)112xx(C)x1(D)112xx3.已知函数22,()1,1,fxxx11001xxx，则1lim()xfx和0lim()xfx()(A)都存在(B)都不存在(C)第一个存在，第二个不存在(D)第一个不存在，第二个存在4.函数()12xfx11xx的连续区间是()(A)(,1)(B)(1,)(C)(,1)(1,)(D)(,)5.设232,0()2,0xxfxxx，则0lim()xfx()(A)2(B)0(C)1(D)27.函数1,0()1,0xfxx，在0x处()(A)左连续(B)右连续(C)连续(D)左、右皆不连续8.02lim5arcsinxxx()(A)0(B)不存在(C)25(D)19.()fx在点0xx处有定义，是()fx在0xx处连续的()(A)必要条件(B)充分条件(C)充分必要条件(D)无关条件10.下列极限存在的有()(A)2(1)limxxxx(B)01lim21xx(C)10limxxe(D)21limxxx计算与应用题1.设)(xf在点2x处连续，且232,2,()2,2xxxfxxax，求a.2.求极限:(1)20cos1lim2xxx.(2)121lim()21xxxx.(3)3721lim5xxxx.(4)xxx10)41(lim.(5)30(1cos)tanlimxxxx.(6)2111lim()222nn.(7)22lim(1)nnn.(8)lim()1xxxx.(9)3813lim2xxx.(10)3131lim()11xxx3.求极限:(1)32202limxxxx.(2)2202limxxxx.(3)34205limxxxxx.(4)3352011lim20125xxxx.(5)35112113114lim2012115xxxx.(6)53112113114lim2012115xxxx.(7)01limsinxxx.(8)1limsinxxx.(9)01limsinxxx.(10)11limsinxxx第三章导数与微分一、知识结构：二、例题：判断题1.若函数)(xf在0x点可导，则00()[()]fxfx；2.若)(xf在0x处可导，则)(lim0xfxx一定存在；3.函数xxf)(在其定义域内可导；4.若)(xf在[,]ab上连续，则)(xf在(,)ab内一定可导；5.()(),()fxfxyeyefx已知则；6.函数22,1()ln,014xxfxxx在1x点可导；7.若(),nfxx则()(0)!nfn；8.2d()2axbax；9.若()fx在0x点不可导，则()fx在0x不连续；10.函数()fxxx在点0x处不可导.填空题1.2()ln1fxx，则(0)f_________；导数微分导数微分导数的定义左导数微分的计算基本微分公式微分形式不变性微分在近似计算中的应用导数的计算极限的计算右导数基本公式导数四则运算隐函数导数（对数求导，参数方程求导）反函数求导可微的定义可微、可导及连续的关系可微的几何意义复合函数求导导数的几何意义，切线方程高阶导数可导与连续的关系2.曲线3yx在点(1,1)处的切线方程是________；3.设lnexeyxexe，则y=______；4.sin(1)xye，dy_______；5.设222exyx，则y=________；6.设exyn，则()ny=________；7.曲线xexy在点(0,1)的处的切线方程是_______；8.若)(xu与)(xv在x处可导，则])()([xvxu=_________；9.()xx=_______；10.设)(xf在0x处可导，且Axf)(0，则hhxfhxfh)3()2(lim000用A的代数式表示为_______；11.导数的几何意义为________________________；12.曲线1yx在(1,1)处的切线方程是___________；13.曲线31yx在(1,0)处的切线方程是___________；14.函数32sin(1)yxx的微分dy__________；15.曲线2yx在点(0,0)处切线方程是_________；16.dyy的近似值是_________；17.nyx(n是正整数)的n阶导数是________.选择题1.设)(xf在点0x处可导，则下列命题中正确的是()(A)000()()limxxfxfxxx存在(B)000()()limxxfxfxxx不存在(C)00()()limxxfxfxx存在(D)00()()limxfxfxx不存在2.设)(xf在点0x处可导且0001lim(2)()4xxfxxfx，则0()fx等于()(A)4(B)–4(C)2(D)–23.设21,10()1,02xxfxx，则)(xf在点x=0处()(A)可导(B)连续但不可导(C)不连续(D)无定义4.设()yfx可导，则(2)()fxhfx=()(A)()()fxhoh(B)2()()fxhoh(C)()()fxhoh(D)2()()fxhoh5.设(0)0f，且0()limxfxx存在，则0()limxfxx＝()(A)()fx(B)(0)f(C)(0)f(D)1(0)2f6.函数)(xfey，则y()(A))(xfe(B))()(xfexf(C)2)()]('[xfexf(D))}()]('{[2)(xfxfexf7.函数xxxf)1()(的导数为()(A)xxx)1((B)1)1(xx(C)xxxln(D))]1ln(1[)1(xxxxx8.函数)(xf在0xx处连续，是)(xf在0x处可导的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件9.已知lnyxx，则(10)y()(A)91x(B)91x(C)98!x(D)98!x10.函数xxxf)(在0x处()(A)连续但不可导(B)连续且可导(C)极限存在但不连续(D)不连续也不可导11.函数1,0()1,0xfxx，在0x处()(A)左连续(B)右连续(C)连续(D)左、右皆不连续12.设xxyee，则y()(A)xxee(B)xxee(C)xxee(D)xxee13.函数0,0()1,0xfxxx，在点0x不连续是因为()(A)(00)(0)ff(B)(