第9章 多采样率的系统

数字信号处理EnjoyScience实际应用时，各种数字系统或产品的采样率往往是根据对象而定的、是不一样的、是多样化的，而且系统之间经常需要相互交换信号和处理对方的信号；但是，在处理数字信号时，信号的采样率和系统的采样率必须相同。现实中我们希望一种通讯网络能够有效地传输各种采样率的数据，希望一种存储媒介能够尽可能多地保存信息，希望一种播放器能够正确地发出各种制式的信号。第9章多采样率的系统数字信号处理EnjoyScience9.1多采样率的概念多采样率是指数字信号处理系统中存在多种采样频率的情况，简称多速率，它是面对不同的应用选择不同的采样率的策略，目的是降低数字信号处理器的成本。多采样率技术主要解决多速率信号处理的问题，它的宗旨是尽量让一种速率的数字系统能够处理多种速率的信号。如何提高多速率信号的处理效率呢？答案是：改变数字信号的采样率，使数字信号主动地适应加工处它的数字系统。多采样率的应用非常广泛，在现代的数字信号处理应用中，要求系统能够处理不同采样率的信号。这种有多种采样率的系统叫做多速率系统。数字信号处理EnjoyScience9.2整数倍降低采样率在数字域中降低采样率的方法是对原序列x(n)重新采样，也就是对x(n)按固定的间隔或距离提取样本，形成一个新的序列y(m)，这种做法叫做抽取，也叫下采样。例如时序间隔D=2的抽取，)()()(是正整数抽取的间隔DDmxmy(9.1)图9.1数字信号处理EnjoyScience9.2.1抽取前后的频谱抽取的概念很像模拟信号的采样概念。（1）从数字域的角度观看根据z变换的定义(4.31)，抽取的序列y(m)的z变换为了得到Y(z)和X(z)之间的关系，引入一个临时序列))(9.1()())(()()(根据抽取的关系的采样率是设mmymmzDmxfmyzmyzY))()(()(0),2,,0()()(xfnxnwnDDnnxnw的采样率的采样率等于其它(9.5)(9.6)数字信号处理EnjoyScience这么一来，x(n)、w(n)和y(m)三个序列的关系就是将这个关系应用到公式(9.5)，得到它是Y(z)通向X(z)的桥梁。剩下的任务是找到W(z)和X(z)的关系。为了建立w(n)和x(n)的采样关系，我们制作一个周期是D的脉冲序列，即)()()()(是正整数DDmxDmwmy))31.4(z()()))(9.6())(()/()()(/1/1变换的定义根据利用公式和变量代换DnnDmmzWznwDnmnDmzDmwzY(9.7)(9.8)数字信号处理EnjoyScience根据离散傅里叶级数的定义(3.79)，这个周期脉冲序列可以表示为让脉冲序列s(n)与被抽取序列x(n)相乘，就得到w(n)和x(n)的采样关系)()()(它将发挥采样的作用iDinns10210210211))()()78.3(()(1)(DkknDjDnknDjDkknDjeDenskSekSDns，系数参考定义(9.9)(9.10)(9.11))()()(nsnxnw数字信号处理EnjoyScience它是一种等间隔的数字采样关系。利用这个关系(9.11)和公式(9.10)，临时序列w(n)的z变换是将它代入公式(9.8)，就可以得到X(z)和Y(z)的关系)z)(()(1]))(([1])([1)(]1)([)()()(102102102102变换的定义的依据交换累加顺序nxzeXDzenxDzenxDzeDnxznsnxzWDkkDjDknnkDjDknnknDjnnDkknDjnn102/1)(1)(DkkDjDezXDzY(9.12)(9.13)数字信号处理EnjoyScience只要将z=ejω代入上式，就可以得到抽取的频谱关系借鉴X(ejω)=X(ω)的关系，还能将抽取的频谱关系(9.14)变为简单的形式该式说明：按照时序间隔D对x(n)抽取后得到序列y(m)，它的频谱Y(ω)是D个X(ω)变形后相加的结果。102102/)(1)(1)(DkDkjDkkDjDjjeXDeeXDeY))(()2(1)(10DffmyDkXDYxyDk的采样率(9.14)(9.15)数字信号处理EnjoyScience（2）从模拟域的角度观看考虑用两种周期的脉冲函数(4.4)对模拟信号xa(t)进行理想采样(4.5)。根据公式(4.9)计算第一种采样信号xs1(t)的频谱，得到同理，第二种采样信号xs2(t)的频谱是高采样率fs1和低采样率fs2的关系是fs2=fs1/D。iiXTtxX)(1)]([CTFT)(s1as1s1s1jjXTtxX)(1)]([CTFT)(s2as2s2s2(9.16)(9.17)数字信号处理EnjoyScience为了获得两种采样信号xs1(t)和xs2(t)之间的频谱关系，设j=Di+k，k=0、1、…、D-1，并将这个关系代入xs2(t)的频谱(9.17)，得到它显示两种采样率的信号xs1(t)和xs2(t)的频谱关系。10s2s1s1s210s1s2as1s2s1s2s110s2s2as210s2as2s2)(1))16.9((]})[(1{)(])[(1)()]([1)(DkDkiDkiiDkkXDDTTikXTTTDiDkXTkDiXTX和公式利用利用交换累加顺序(9.18)数字信号处理EnjoyScience无论是从数字域的角度还是从模拟域的角度观察抽取，它们的结论(9.15)和(9.18)都是低采样率频谱是高采样率频谱位移的组合。9.2.2防止抽取的失真完整的抽取器由数字低通滤波器和抽取器组成，为了避免在抽取时发生混叠失真，在抽取前必须用数字低通滤波器对被抽取的序列x(n)进行滤波。低通滤波器的理想频率特性是图9.8数字信号处理EnjoyScience截止频率ωD的选择要求尽可能多地保留有用的低频成分和防止高频成分混叠失真。截止频率ωD的选取可参考抽取的频谱关系该式显示：抽取序列y(m)的频谱Y(ω)是D个X(ω)的频谱扩展并且移位的组合。当频谱扩展D倍时，X(ω)在主值区间[-π,π)的ω=π/D~π成分将进入ω=π~Dπ的范围。这些进入其它周期的成分都会引起混叠失真，必须在抽取前将它们消除掉。)()2(1)(10是正整数DDkXDYDk)/()||(0)||(1)(DDDD是截止频率时当时当DH(9.21)(9.22)数字信号处理EnjoyScience抽取滤波器就是完成这项任务的，它应该保护被抽取信号的ω=0~π/D低频成分，同时消除那些会引起混叠失真的ω=π/D~π高频成分。所以，抽取滤波器截止频率的最佳选择是ωD=π/D。当然，选择ωDπ/D也能防止抽取的混叠失真，但是，这么做会失掉更多的原序列高频成分。让我们观看几种抽取的频谱移位组合。当D=1时，k=0，X(ω/D)=X(ω)，没有X(ω)移位。当D=2时，k=0和1，X(ω/D)=X(ω/2)，有一个X(ω/2)向右移动2π；这时抽取序列的频谱是X(ω/2)和X[(ω-2π)/2]的组合，移位的频谱正好填补X(ω)扩展2倍造成的相邻频谱的2π长度的空白区；由于x(n)抽取前经过截止频率ωD=π/2的低通滤波，所以两个频谱相加时没有混叠失真。数字信号处理EnjoyScience当D=2时，两个扩展频谱合成的新频谱还是周期频谱。图9.10数字信号处理EnjoyScience为了保证滤波后的信号不失真，抗折叠滤波器应该采用FIR线性相位滤波器。如果抽取滤波器按照卷积公式处理信号x(n)，就能得到输出信号w(n)。不过其效率并不高，因为抽取时只需要w(n)的D分之一样本。你可比较下面两种方法的区别)()()()()()(10是滤波器的长度NinxihnxnhnwNi(9.24)数字信号处理EnjoyScience抽取滤波器按照卷积公式处理信号x(n)并不是好事。因为抽取时只需要w(n)的D分之一样本。以N点长的FIR抽取滤波器为例，)()()()()()(10是滤波器的长度NinxihnxnhnwNi(9.24)图9.14图9.15数字信号处理EnjoyScience左图表示先滤波后抽取的方法。这种方法的滤波器工作在高速率fx的状态，每输入一个x(n)样本，抽取滤波器都要计算N次乘法，而该滤波器每输出D个w(n)样本中只有一个样本获得应用。右图表示混合抽取的方法。将抽取操作放在乘法运算之前，就能让乘法器工作在低速率fy的状态，即每输入D个x(n)样本，抽取器后面的乘法器才做一次乘法运算。相比之下，混合抽取法的计算量约为先滤波后抽取的方法的计算量的1/D倍。数字信号处理EnjoyScience9.2.3抽取的用途抽取的主要用途是减轻数字产品对模拟前置滤波器的苛刻要求。因为按采样定理所说的，以奈奎斯特速率fs=2fa的名义采样一个模拟信号时，需要一个过渡带陡峭的模拟前置滤波器，将输入信号的频谱限制在有用成分的最高频率fa内。如果应用过采样和抽取相结合的先进技术，模拟前置滤波器的苛刻过渡带就可以得到缓解。过采样就是采样率fx大于有用信号最高频率fa两倍的采样。这种先进技术的原理如图9.16所示，首先用简单的模拟前置滤波器粗略地排除无用的高频成分，然后对这种模拟信号xa(t)以很高的速率fx=Dfs进行采样，得到的离散时间信号x(n)再经过D倍的抽取，数字信号处理EnjoyScience变成低速率fy的数字信号y(m)。过采样的前置滤波器的频谱H(f)情况如图9.17所示，它的过渡带f=fpass~fstop可以很宽，图9.16图9.17数字信号处理EnjoyScience9.3整数倍提高采样率采样率的提高是由内插来完成的。内插是指在毗邻的的低采样率样本之间插入额外的样本，插入的样本数值是经过FIR滤波器计算得到的。事物的变化总是有过程的，按照这个规律，内插滤波器的工作似乎应该是平滑内插0值的序列w(m)，合理的平滑内插值似乎是它们前后两个样本的平均值。让我们从频谱的角度来看这些问题。图9.20数字信号处理EnjoyScience9.3.1内插前后的频谱根据图9.20推理，等间隔I倍内插的过程是：首先，在x(n)的样本之间等间隔地插入I-1个0值样本；然后，对w(m)进行低通滤波，使w(m)的跳跃波形变得光滑自然。根据z变换的定义知道，低速率的序列x(n)的z变换是如果按照内插倍数I对序列x(n)的样本均匀地插入0值，则上采样器的输出序列))(()()(xnnfnxznxzX的速率等于))(()(0),2,,0()/()(xwIffmwmIImImxmw的采样率其它整数(9.35)(9.36)数字信号处理EnjoyScience按照z变换的定义(4.31)，高速率序列w(m)的z变换是将z=ejω代入上式，就可以知道I倍上采样器的输入输出的数字频谱关系，这说明简单内插的序列w(m)的频谱是原序列x(n)频谱的I倍压缩。)())(9.35)(())(()())(9.36()()()(InnInnInnImmzXzXznxznxznIwzmwzW的定义利用利用公式)()(jIjeXeW(9.37)(9.38)数字信号处理EnjoyScience例题9.3假设序列x(n)的频谱是X(ω)，如图9.21所示，请你画出内插倍数I=2的内插0值的序列w(m)的频谱W(ω)，并分析X(ω)和W(ω)的区别