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第八部分选修4系列专题21坐标系与参数方程(选修4—4)第八部分专题21坐标系与参数方程(选修4—4)-3-能力目标解读热点考题诠释高考对极坐标、参数方程的考查以选择题或填空题形式出现.(1)重点考查极坐标、参数方程与普通方程的互化;同时考查直线与曲线的位置关系等;(2)从点与直线、直线与圆的位置关系等不同角度考查,研究求距离、最值、轨迹等常见问题;(3)极坐标方程与参数方程的综合应用,主要是以直线、圆和圆锥曲线的参数方程为背景,转化为普通方程,从而进一步判断位置关系.第八部分专题21坐标系与参数方程(选修4—4)41.(2014安徽高考,理4)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程是𝑥=𝑡+1,𝑦=𝑡-3(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,则直线l被圆C截得的弦长为()A.14B.214C.2D.22命题定位:本题主要考查直线的参数方程、直线参数方程与普遍方程的互化及两点间距离等,对基本运算能力及问题的转化能力有一定要求,体现化归与转化的思想方法.-4-能力目标解读热点考题诠释1234答案解析解析关闭由题意得直线l的方程为x-y-4=0,圆C的方程为(x-2)2+y2=4.则圆心到直线的距离d=2,故弦长=2𝑟2-𝑑2=22.答案解析关闭D5第八部分专题21坐标系与参数方程(选修4—4)-5-能力目标解读热点考题诠释1234答案解析解析关闭ρsin𝜃-π6=ρsin𝜃cosπ6-sinπ6cos𝜃=1,因为在极坐标系中ρcosθ=x,ρsinθ=y,所以直线可化为x-3y+2=0.同理点2,π6可化为(3,1),所以点到直线距离为d=|3-3+2|3+1=1.答案解析关闭12.(2014陕西高考,理15)在极坐标系中,点2,π6到直线ρsin𝜃-π6=1的距离是.命题定位:本题主要考查极坐标方程、极坐标方程与普通方程的互化、点到直线的距离公式等,对基本运算能力及问题的转化能力有一定要求,体现化归与转化的思想方法.5第八部分专题21坐标系与参数方程(选修4—4)-6-能力目标解读热点考题诠释1234答案解析解析关闭由ρsin2θ=cosθ可得ρ2sin2θ=ρcosθ,因此y2=x,即曲线C1的直角坐标方程为y2=x;由ρsinθ=1可得曲线C2的直角坐标方程为y=1.解方程组𝑦2=x,𝑦=1,可得𝑥=1,𝑦=1,所以两曲线交点的直角坐标为(1,1).答案解析关闭(1,1)3.(2014广东高考,理14)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为.命题定位:本题主要考查极坐标方程、极坐标方程与普通方程的互化、两曲线的交点等知识,对基本运算能力及问题的转化能力有一定要求.5第八部分专题21坐标系与参数方程(选修4—4)4.(2014重庆高考,理15)已知直线l的参数方程为𝑥=2+𝑡,𝑦=3+𝑡(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cosθ=0(ρ≥0,0≤θ2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=.命题定位:本题主要考查参数方程与直角坐标方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及两曲线的交点等知识,体现数形结合及转化与化归思想.-7-能力目标解读热点考题诠释1234答案解析解析关闭直线l的普通方程为y=x+1,曲线C的直角坐标方程为y2=4x,联立两方程,得𝑦=𝑥+1,𝑦2=4x,解得𝑥=1,𝑦=2.所以公共点为(1,2).所以公共点的极径为ρ=22+1=5.答案解析关闭55第八部分专题21坐标系与参数方程(选修4—4)5.(2014湖北高考,理16)已知曲线C1的参数方程是𝑥=𝑡,𝑦=3𝑡3(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为.命题定位:本题主要考查参数方程与直角坐标方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及两曲线的交点等知识,体现化归与转化的思想.-8-能力目标解读热点考题诠释1234答案解析解析关闭由曲线C1的参数方程𝑥=𝑡,𝑦=3𝑡3,得y=33x(x≥0),①曲线C2的极坐标方程为ρ=2,可得方程x2+y2=4,②由①②联立解得𝑥=3,𝑦=1,故C1与C2交点的直角坐标为(3,1).答案解析关闭(3,1)5第八部分专题21坐标系与参数方程(选修4—4)-9-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三能力突破点一极坐标方程与普通方程的互化思考:如何进行极坐标方程与普通方程的互化?提示:建立平面直角坐标系,以坐标原点为极点,以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,则直角坐标(x,y)与极坐标(ρ,θ)满足x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2,tanθ=𝑦𝑥.第八部分专题21坐标系与参数方程(选修4—4)10-10-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三【例1】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A的极坐标为2,π4,直线的极坐标方程为ρcos𝜃-π4=a,且点A在直线上.则a=,直线的直角坐标方程为.分析推理由点A的极坐标2,π4在直线上,可求出a,再利用极坐标与直角坐标的互化公式可得.第八部分专题21坐标系与参数方程(选修4—4)-11-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三解析:由点A2,π4在直线ρcos𝜃-π4=a上,可得a=2.所以直线的方程可化为ρcosθ+ρsinθ=2.从而直线的直角坐标方程为x+y-2=0.答案：2x+y-2=0第八部分专题21坐标系与参数方程(选修4—4)-12-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三点评:直角坐标和极坐标的互化,把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两坐标轴中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2,tanθ=𝑦𝑥,在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一.第八部分专题21坐标系与参数方程(选修4—4)-13-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三答案答案关闭D1.(2014安徽六校联考)在极坐标系中,点2,π3到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为()A.2B.4+π29C.1+π29D.3第八部分专题21坐标系与参数方程(选修4—4)-14-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三能力突破点二参数方程与普通方程的互化思考:参数方程化为普通方程的方法是什么?提示:将参数方程化为直角坐标方程的过程就是消去参数,常用方法有代入消参法、加减消参法、三角恒等式消参法等.第八部分专题21坐标系与参数方程(选修4—4)-15-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练【例2】(1)参数方程𝑥=3+cos𝜃,𝑦=2-sin𝜃(θ为参数)化成普通方程为;(2)参数方程𝑥=1+12t,𝑦=5+32t(t为参数)化成普通方程为.分析推理(1)利用sin2θ+cos2θ=1加减消参;(2)利用代入消参法.第八部分专题21坐标系与参数方程(选修4—4)-16-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练解析:(1)∵sin2θ+cos2θ=1,而cos𝜃=𝑥-3,sin𝜃=2-𝑦,∴(x-3)2+(y-2)2=1.(2)由𝑥=1+12t,𝑦=5+32t①②(t为参数),由①,得t=2x-2,代入②,得3x-y+5-3=0.答案：(1)(x-3)2+(y-2)2=1(2)3x-y+5-3=0第八部分专题21坐标系与参数方程(选修4—4)-17-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练点评:参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的方法:(1)代入法,首先利用方程求出参数,然后代入消去参数.(2)三角法,利用三角恒等式消去参数.(3)整体消元法,根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去参数.在将参数方程化为普通方程时,注意变量x,y的取值范围.第八部分专题21坐标系与参数方程(选修4—4)2.已知直线l的参数方程为𝑥=-4+4𝑡,𝑦=-1-2𝑡(t为参数),在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,圆C的方程为ρ=22cos𝜃+π4,则圆心C到直线l的距离为()A.2B.3C.2D.5-18-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练答案解析解析关闭直线l的参数方程𝑥=-4+4𝑡,𝑦=-1-2𝑡可化为普通方程为x+2y+6=0,圆C的极坐标方程ρ=22cos𝜃+π4可化为直角坐标系下的方程为(x-1)2+(y+1)2=2,该圆的圆心(1,-1)到直线x+2y+6=0的距离为d=|1-2+6|5=5.答案解析关闭D第八部分专题21坐标系与参数方程(选修4—4)-19-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三参数方程的应用思考1:直线参数方程𝑥=𝑥0+at,𝑦=𝑦0+bt(t为参数)中,参数t的几何意义.提示:直线参数方程𝑥=𝑥0+at,𝑦=𝑦0+bt(t为参数)中,满足a2+b2=1时,t表示点(x0,y0)到(x,y)的有向线段.思考2:如何利用直线参数方程中参数的几何意义,求直线与圆锥曲线相交时的弦长问题?提示:将直线的参数方程代入圆锥曲线的普通方程中,得到关于t的一元二次方程,则交点对应的参数为t1,t2,此时弦长l=|t1-t2|,再利用根与系数的关系求解.第八部分专题21坐标系与参数方程(选修4—4)-20-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练【例3】在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建坐标系,已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为𝑥=-2+22t,𝑦=-4+22t(t是参数),直线l与曲线C分别交于M,N两点.(1)曲线C的直角坐标方程为,直线l的普通方程为;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,a=.分析推理找出直线与曲线的交点M,N对应的参数t1,t2,利用参数的几何意义求解.第八部分专题21坐标系与参数方程(选修4—4)-21-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练解析:(1)曲线C的直角坐标方程为C:y2=2ax,直线l的普通方程为x-y-2=0.(2)将直线的参数表达式代入抛物线得12t2-(42+2a)t+16+4a=0,则t1+t2=82+22a,t1t2=32+8a.①因为|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|,由题意知|t1-t2|2=|t1t2|,则(t1+t2)2=5t1t2,②联立①②,解得a=1.答案：(1)y2=2axx-y-2=0(2)1第八部分专题21坐标系与参数方程(选修4—4)-22-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练点评:在直线的参数方程𝑥=𝑥0+at,𝑦=𝑦0+bt(t为参数)中,若满足a2+b2=1时,注意参数t的几何意义的应用.第八部分专题21坐标系与参数方程(选修4—4)3.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为𝑥=𝑡cos𝛼,𝑦=1+𝑡sin𝛼(t为参数,0≤απ).以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴