2017年南通市数学学科基地命题高考模拟试卷(7)(含详解)

第1页，共13页2017年高考模拟试卷(7)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合A={2，3，5}，B={|13xx≤≤}，则AB=▲．2．若复数z满足(1i)2iz(i为虚数单位)，则z=▲．3．如图是某班8位学生诗朗诵比赛成绩的茎叶图，那么这8位学生成绩的平均分为▲．4．如右图所示的流程图的运行结果是▲．5．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2214yxa的一条准线的方程为3x，则实数a的值是▲．6．将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则恰有两个盒子各有1个球的概率为▲．7．已知一个正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为▲．8．已知奇函数()fx在(,)上为单调减函数，则不等式(lg)(1)0fxf的解集为▲．9．已知各项均为正数的数列{}na满足2nnaqa（1q，*nN），若213aa，且233445aaaaaa，，成等差数列，则q的值为▲．10．如图，在扇形AOB中，4OA，120AOB°，P为弧AB上的一点，OP与AB相交于点C，若8OPOA，则OCAP的值为▲．11．定义在区间π02，上的函数5cos2yx的图象与2sinyx的图象的交点横坐标为0x，则0tanx的值为▲．12．已知定义在R上的函数2480()(2)0xxxfxfxx，≥，，，则方程6()1log(1)fxx的实数解的个数为▲．13．在平面直角坐标系xOy中，已知动直线1ykxk与曲线21xyx交于AB，两点，平面上的动点()Pmn，满足42PAPB≤，则22mn的最大值为▲．14．若对于2xyR，，，不等式e+e2(1)xyxyaxa≤恒成立，则实数a的取值范围是▲．5680122689（第3题）开始结束S输出YN2a61aS，SSa2aa（第4题）（第10题）AOBPC第2页，共13页二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC中，内角ABC，，的对边分别为abc，，，已知2cosbcaB．（1）求证：2AB；（2）若△ABC的面积214Sa，求角A的大小．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO中点.（1）若PD//平面ACE，求证：E为PB的中点；（2）若AB＝2PC，求证：CG⊥平面PBD.17．（本小题满分14分）如图是一“T”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m，东西向渠宽2m（从拐角处，即图中AB，处开始）．假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）．（1）在水平面内，过点A的一条直线与水渠的内壁交于PQ，两点，且与水渠的一边的夹角为π02，将线段PQ的长度l表示为的函数；（2）若从南面漂来一根长为7m的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由．（第17题）4m2mABP东2mQ北（第16题）ABCDPOEG第3页，共13页18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：22221xyab（a＞b＞0）的左顶点为A，且A到右准线的距离为6，点P、Q是椭圆C上的两个动点．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，当P、O、Q共线时，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，求证：AMAN为定值；（3）设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，当k1•k2=﹣1时，证明直线PQ经过定点R．19．（本小题满分16分）已知函数3()2lnfxaxxx，aR．（1）若曲线()yfx在1x处的切线方程为yb，求ab的值；（2）在（1）的条件下，求函数()fx零点的个数；（3）若不等式()2()1fxxa≥对任意(01]x，都成立，求a的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{}na，{}nb满足：对于任意正整数n，当n≥2时，22121nnnaban．（1）若(1)nnb，求222213511aaaa的值；（2）若1nb，12a，且数列{}na的各项均为正数．①求数列{}na的通项公式；②是否存在*kN，且2k≥，使得212219kkaa为数列{}na中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.第4页，共13页(第22题)ABCDFEABFCDE（第21A题）第II卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A,B,C,D四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．答．.A.（选修4-1；几何证明选讲）如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，BCBD，BA的延长线交CD的延长线于点E．求证：AE是四边形ABCD的外角DAF的平分线．B．（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵21abM，其中ab，均为实数，若点(31)A，在矩阵M的变换作用下得到点(35)B，，求矩阵M的特征值．C．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，若直线321xtyt，（t为参数）与圆55cos35sinxy，（为参数）相交于AB，两点，求AB的长度．D．（选修4-5：不等式选讲）已知关于x的不等式20xaxb的解集为(12)，，其中ab，R，求函数()(1)3(1)4fxaxbx的最大值．【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知//ABCD，ADCD，12ABADCD．（1）求直线EC与平面BDF所成角的正弦值；（2）线段EC上是否存在点P，使得二面角FBDP的余弦值为13？若存在，求出EPEC的值；若不存在，说明理由．23．已知函数2()ln(1)2xfxxx．（1）解关于x的不等式()0fx；（2）请用数学归纳法证明：当3nnN，≥时，231lnnini．第5页，共13页Oxy31162017年高考模拟试卷(7)参考答案一、填空题1．{2，3}2．1i3．904．245．12.由双曲线2214yxa的一条准线的方程为3x，则34aa，所以12a．6．23.所有的基本事件的总数为339，“恰有两个盒子各有1个球”的对立事件是“甲、乙两个不同的球在同一个盒子”，有3种可能，所以“恰有两个盒子各有1个球”的概率为32193．7．233.由条件，易知正四棱锥的高为3，底面边长为2，所以体积为233．8．1010，.由条件，不等式(lg)(1)0fxf即为(lg)(1)fxf，所以lg1x，解得1010x．9．3.由条件，234534()()2()aaaaaa，所以2312(1)()2()qaaqaa，所以11(1)(3)8qqaqa，因为10a，1q，所以3q．10．4.由16cos8OPOAAOP，得1cos2AOP，所以60AOP，所以42cos604OCAPOCOB．11．34.令5cos22sinxx，即25(12sin)2sinxx，所以210sinsin30xx，因为π02x，，所以3sin5x，即03sin5x，从而03tan4x．12．7.如图所示，函数()1yfx与6log(1)yx的图象有7个不同的交点，所以原方程有7个不同的解．13．18.直线1ykxk过定点(1,1)M恰为曲线21xyx的对称中心，所以M为AB的中点，由42PAPB≤，得22PM≤，所以动点()Pmn，满足22(1)(1)8mn≤，所以22mn的最大值为18．14．2a≤.由e+e2(1)xyxyaxa≤，得(2)e+e2xyxyax≤，当2x时，不等式为220e+e2yy≤恒成立，aR；当2x时，不等式为1e(e+e)22xyyax≤，设1()e(e+e)22xyyfxx，2x，，则2(e1)()2xfxx≥，当且仅当0y时取“=”，再设2(e1)()2xgxx，则222[e(2)(e1)]2[e(1)1]()(2)(2)xxxxxgxxx，ABMOxyP第6页，共13页设()e(1)1xtxx，由于()e(1)ee(2)0xxxtxxx，所以()tx在2，上单调增，因为(0)0t，所以当(20)x，时，()0tx，即()0gx；当(0)x，时，()0tx，即()0gx，所以()gx在(20)x，上为减函数，在(0)x，上为增函数，所以()gx在0x时取得最小值，且最小值为2．综上，当0x且0y时，()fx取最小值为2，所以2a≤．二、解答题15．（1）由正弦定理得sinsin2sincosBCAB，则2sincossinsin()sinsincoscossinABBABBABAB，所以sinsincoscossinsin()BABABAB．因为0πAB，，所以ππAB，所以BAB或π()BAB，即2AB或πA（舍），所以2AB．（2）由214Sa，得21sin124abCa，所以1sinsinsin2BCA，由（1）知，1sinsinsin2sincos2BCBBB，因为sin0B，所以sincosCB．因为sin0C，所以cos0B，即B为锐角，若C为锐角，则πsinsin()2CB，即π2CB，可知π2A；若C为钝角，则πsinsin()2CB，即π2CB，可知π4A．综上，π4A或π2A．16.（1）连接OE，由四边形ABCD是正方形知，O为BD中点，因为PD//平面ACE，PD面PBD，面PBD面ACEOE，所以//PDOE.因为O为BD中点，所以E为PB的中点.（2）在四棱锥P－ABCD中，AB＝2PC，因为四边形ABCD是正方形，所以22OCAB，所以PCOC.因为G为PO中点，所以CGPO.又因为PC⊥底面ABCD，BD底面ABCD，所以PC⊥BD.而四边形ABCD是正方形，所以ACBD，因为,ACCG平面PAC，ACCGC，所以BD平面PAC，因为CG平面PAC，所以BDCG.因为,POBD平面PBD，POBDO，ABCDPOEG第7页，共13页所以CG⊥平面PBD.17.（1）由题意，2sinPA，4cosQA，所以lPAQA，即24sincosl（π02）．（2）设24()sincosf，π(0,)2．由3322222(22sincos)2cos4sin()sincossincosf，令()0f，得02tan2．且当0(0,)，()0f；当0π(,)2，()0f，所以，()f在0(0,)上单调递减；在0π(,)2上单调递增，所以，当0时，()f取得极小值，即为最小值．当02tan2时，01sin3，02cos3，所以()f的最小值为36，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为36m．因为367，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．18.（1）由题意，且，解得a=