常微分方程-课程论文

《常微分方程》机电3153班李志远本课程作为一门的专业课程，综合性强、内容多、难度大，学者在学习过程中应注意，学习前，应仔细阅读课程大纲，熟悉课程的基本要求，使以后的学习紧紧围绕课程的基本要求。在阅读某一章教材内容前，应先认真阅读大纲中该章的考核知识点，注意对各知识点的能力层次要求，认真学习各章节例题，熟悉各种类型习题解法。学完教材的每一章节内容后，应完成教材的习题，进一步理解和巩固所学的知识，增强解题能力。在学习常微分方程时，还需要掌握高等代数，近世代数，数学分析，线性代数，数值积分等基础知识。一、一阶微分方程的初等解法1.1变量可分离的微分方程形如()()dyfxydx的方程，称为变量分离方程，()fx，()y分别是x，y的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．如果()0y，我们可将(1)改写成()()dyfxdxy，这样变量就分离开来了.两边积分，得到()()dyfxdxcy，c为任意常数．由该式所确定的函数关系式(,)yyxc就是常微分方程的解．例1：求解2dyxydx的通解。解：12dyxdxy→12dyxdxy→21lnyxc→通解：221xcxyece1.2齐次型微分方程（变量代换的思想）一阶微分方程可以化成dyyfdxx的形式。求解：dyyfdxxyuxyux，dyduxudxdxduxufudx11dudxfuux（可分离变量）通解例2：解方程22dydyyxxydxdx22dydyyxxydxdx2ydyydyxdxxdx2duduuxuuxudxdx1duxuudx111dudxux111dudxux1lnlnuuxc122ln,lnyuxyuxucuxceyuxyceycx1.3一阶线性微分方程若0dypxydx，称为一阶齐次线性微分方程。若dypxyqxdx（0qx），称为一阶非齐次线性微分方程。一阶非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。解0dypxydx的通解如下：可分离变量的一阶微分方程110lndypxydypxdxypxdxcdxy2pxdxycepxdxyce（齐次方程通解）采用积分因子法求dypxyqxdx的一个特解如下pxdxpxdxpxdxpxdxdydypxyqxepxyqxeeyqxedxdxpxdxpxdxeyqxedxcpxdxpxdxyeqxedxcdypxyqxdx（0qx）的通解为：pxdxpxdxpxdxyceeqxedx2.2一阶微分方程的应用举例例细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400、那么前12h后总数是多少?分析：(0)100(24)400dykydtyyktyCeln4ln2100,2412Ckln42412()1001002ttyte(12)200y二、n阶齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程1．n阶常系数齐次线性微分方程概念：定义形如：()(1)(2)1210nnnnnyPyPyPyPy(1)称为n阶常系数齐次线性微分方程，其中nPPP21,都是常数．有时我们用记号D(叫微分算子)．表示对x求导的运算dxd．把dxdy记作Dy．nndxyd记作Dny．把方程(1)记作：(nnnnPDPDPD111)y＝0(2)记L(D)=nnnPDPD11L(D)叫微分算子D的n次多项式．(2)可记作：L(D)y＝0如同讨论二阶常系数齐次线性微分方程那样：令y＝rxe那么：rxrey'或写为：rxnrxnnrxrxrxrxeDeryeDeryreDe.,22''rxrxerLeDL这里：rLPrPrDLnnn11，因此把rxey代入(`)得0rxerL，由此可见，若选r为n次代数方程0rL，即：011nnnPrPr(3)的根，那麽作出的函数rxey就是(2)的一个解．(3)叫(2)的特征方程．由特征根的不同情形，可以写出其对应的微分方程的解，见下表：表1特征方程的根单实根r(4)的通解中的对应项，给出一项：rxce一对单复根：给出两项：xcxcexsincos(21)ri2.1K重实根r给出k项：)(121kkrxxcxcce一对k重复根：ri2.1给出2k项：)[(121kkrxcxccecosxxDxDDxkKsin)(121]从代数学知道，n次代数方程有n个根(重根按重数计算)，而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项，而且每项各含一个任意常数．这样，就得到n阶常系数齐次线性微分方程的通解:nnycycycy2211.可见，n阶常系数齐次线性方程的通解应含有n个独立的任意常数．这个结论具有普遍性．例求方程：0444dxwd通解，其中：0解写出特征方程：044r，为便于左边因式分解，用加、减项的方法：44r(44r+2)22r-222r=(22r)2-222r=()222rr()222rr=0于2r-22r=242222=).1(2i2r+22r=).1(2i原方程的通结为：xe2(12cossin)22xxcc+xe2(12cossin)22xxcc2、n阶常系数非齐次线性微分方程概念：)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnnn阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式2.1n阶常系数非齐次线性方程的初等解法2.1.1常数变易法在求解一阶非齐线性方程的通解时，我们使用了常数变易法，这一方法同样适用于求解非齐线性方程（1.1）。其具体方法与步骤如下：1）写出方程（1.2）的通解：txctxctxcxnn22112）常数变易，即令txtctxtctxtcxnn2211（1.1）3）把（1.1）及其一阶到n阶导数（在附加了n-1个条件）代入方程（1.1）,可得个确定tci),,2,1(ni的方程组（A）：（A）tftxtctxtctxtctxtctxtctxtctxtctxtctxtcnnnnnnnnn11221112211221100解方程组（A）得()()iictt,ni,,2,14）逐个积分，得nidtttciii,,2,1,5）写出方程（1.1）的通解：txtctxtctxtcxnn2211=dtttxtxiniiinii11,ini,,2,1为任意常数例.求方程2txxt于域0t的通解解：对应齐线性方程0xxt解之得BAtx221，A，B为任意常数易知基本解组为1，2t原方程可改写为1xxtt(*)则运用常数变易法，令,221ttctcx代入上式(*)得ttctttctc222120解得,61131rttc2221rttc故原方程的通解为,313221ttrrx21,rr为任意常数三、n阶线性微分方程与线性微分方程组的关系1、定义：n阶线性齐次微分方程的一般理论由引理4.1，齐次方程(4.1)等价于下面的一阶线性齐次微分方程组()dYAxYdx(4.1)这里()Ax和Y相同.于是由第三章的定理3.2可知，齐次方程(4.1)的所有解也构成一个线性空间.为了研究这个线性空间的性质，进而搞清楚(4.1)的解的结构，我们需要下面的定义和引理.定义4.1函数组12(),(),,()nxxx称为在区间I上线性相关，如果存在一组不全为零的常数12,,,naaa,使得1122()()()0nnaxaxax(4.2)在区间I上恒成立.反之，如果只当120naaa时，才能使(4.2)在I上成立，则称函数组12(),(),,()nxxx在I上线性无关.引理4.2一组n-1阶可微的数值函数12(),(),,()nxxx在I上线性相关的充要条件是向量函数组122(1)(1)(1)12()()()()()(),,,()()()nnnnnnxxxxxxxxx(4.3)在I上线性相关.证明若12(),(),,()nxxx在I上线性相关，则存在一组不全为零的常数12,,,naaa，使得1122()()()0nnaxaxax(4.4)0在I上恒成立.将(4.15)0式对x逐次微分n-1次，得1122()()()0nnaxaxax(4.4)1(1)(1)(1)1122()()()0nnnnnaxaxax(4.4)n-1联合(4.4)0，(4.4)1，…，(4.4)n-1，就得到向量函数组(4.3)是线性相关的.反之，若向量函数组(4.3)在I上线性相关，则存在不全为零的常数12,,,naaa，使得(4.3)０，(4.3)１，…，(4.3)n-1各式在I上恒成立，由(4.3)０表明12(),(),,()nxxx在I上线性相关.证毕.四、结束语经过对常微分方程的解法及应用的学习，我们大体对常微分方程的定义，定理，解法及应用做了大致的了解。我们可以根据具体问题的性质和所给的条件，建立一个含有未知函数及其导数和微分的关系式，再通过积分等方法，从微分方程中确定出所求的未知函数。对微分方程具体有常数变易法、降阶法。对微分方程的应用可以具体解决许多生活中的实际问题，得到各种变化率，以联系具体问题！！