数字信号最佳接收

《数字通信》教案第3章数字信号最佳接收原理1第3章数字信号最佳接收原理§3.1引言1．问题的提出数字通信系统信道最佳接收机eP噪声与干扰最佳接收准则d发送接收信号(观察信号)eP使最小ysM元信号问题：在给定信道条件下（白噪声、非白噪声、有ISI信道、多径衰落信道），如何设计最佳接收机，以获得最佳性能（Pe最小）。关键：建立最佳接收准则，由此导出最佳接收机的结构，分析系统性能。2．信号空间的描述发送信号（M元）1,2,,,()iiMst或is，信道噪声n，接收信号y。N维信号空间1s2s3sn如何由y判别发送信号is，使错误概率最小。3．如何获得最佳接收1）建立一个最佳接收准则——如“最小错误概率准则”（最常用、最合理）2）充分利用信号结构的先验知识和信号与噪声的先验统计特性。如()ps，()pn，(|)psy4．本章讨论的内容1）最佳接收准则。2）讨论在不同噪声和干扰的信道条件下的最佳接收机结构（数学模型）。3）分析最佳接收机的性能（重点是白噪声信道条件下）。《数字通信》教案第3章数字信号最佳接收原理2§3.2最佳接收准则引言：最直接最合理的准则——最小错误概率准则。可以证明：在一定条件下，它又等价于最大后验概率准则和最大似然函数准则。1.最小错误概率准则在M元数字通信系统中，判决AWGNy(1,2,,)()iiMiMPxx元统计独立接收信号向量,,ejjidjiP正确判决错误判决判决变量1x2x3xMx判决区域该M元系统的错误概率为：111()(|)()MMMeeijiiiijjiPPPdxPx使eP最小的准则，就是最小错误概率准则。可表示为：11min(|)()MMejiiijjiPPdxPx2．最大后验概率准则（MAP准则）MaximumPosteriorProbability可以证明：最小错误概率准则等价于MAP准则：即(|)maxiPxy判ix【证明】：111()(|)()MMMeeijiiiijjiPPPdxPx11()(|)jMMiiYjiijPxpxdyy(|)(|)jjjiiYjdPdxpxdyYyy为信号空间中接收信号向量为的判决域11()(|)jMMiiYjiijPxpxdyy上式中,被积函数0，因此要使eP最小，也就要求被积函数最小。《数字通信》教案第3章数字信号最佳接收原理3即1()(|)minMiiiijPxpxy由概率乘法定理（见注），上式可化为1(|)()1(|)()minMijiijPxpPxpyyyy或，1(|)()1(|)()minMjijjiPxpPxpyyyy因此，要使上式最小，应使后验概率(|)iPxy最大。所以，最小错误概率等价于最大后验概率。注：由概率乘法定理：()()(|)()(|)PABPAPBAPBPAB令Ay，iBx则有：()(|)()(|)iiiPPxPxPxyyy两边对y微分：(|)()(|)()()iiidPxdPPxPxddyyyyy所以，()(|)()(|)iiipPxPxpxyyy3．最大似然函数准则（ML准则）MaximumLikelihood在发送符号等概条件下：1()iPxPM，(1,2,,)iM最大后验概率：()(|)(|)(|)max()()iiiiPxPPxpxpxppyyyyy时，判ix成立，1,2,,iM。在给定接收信号y及发送符号等概条件下，()Ppy与ix无关，在比较M个后验概率时可视为常量，不必考虑。故上式等价于：(|)maxipxy，判ix成立，(1,2,,)iM——即最大似然函数准则。结论：在发送信息符号等概条件下，MAP准则与ML准则等价。亦即三个准则也是等价的。ML接收机的操作：《数字通信》教案第3章数字信号最佳接收原理41）计算：M个似然函数2）比较：选择最大的似然函数3）判决：根据最大似然函数判决发送符号。当发送符号不等概时，最大后验概率等价于：max)()(iixpxPy判ix成立，(1,2,,)iM即，似然函数概率加权最大。《数字通信》教案第3章数字信号最佳接收原理5§3.3白噪声中确知信号的最佳接收一．二元确知信号最佳接收机的结构1.问题的引出最佳接收机()nt(白)02n2(0,)()yty}(0,)T{?eP最小等概123结构性能信号形式1122()()EstEsty最佳接收准则：最大似然函数准则——分析问题的出发点。讨论：12esPs最佳结构--根据最佳准则导出(含判决规则)最佳性能最小最佳信号形式(由性能公式导出（1）（2）--=?（3）,)--2.最佳接收机的结构最大似然函数准则：1212(|)(|)sspspsyy对似然函数1,2(|)iipys进行处理——分解成一维连乘积形式。处理方法：波形取样正交法在(0,)T区间对()nt、()yt取样，得N个样值。2(0,)knN统计独立2(,),1,2,kikyNsi统计独立kn的相关函数：00()()()22nkkmnnnmEnnmSf220(0)2nknEn，1,0()0,0mmm以抽样函数作为基向量构成N维信号空间y在此空间中各投影分量ky为统计独立分量。1(|)(|)Nikikpspysy《数字通信》教案第3章数字信号最佳接收原理6221()1exp22Nkikkys221()1exp22NNkikkys20011exp()()2NTiytstdtn或2011exp()()2Niytstn代入ML准则，得22120012()()()()TTssytstdtytstdt或用向量表示：221212ssysys物理意义：在N维空间中，在1s、2s等概条件下，接收信号被判为1s或2s，将取决于接收信号向量y与1s、2s的距离。将积分式展开得：11212002()()()()22TTssEEytstdtytstdt判决规则当12EE时，则有112002()()()()TTssytstdtytstdt12()EE判决规则由此可得出二元确知信号最佳接收机的结构0()Tdt0()Tdt比较1()st2()st12E22E()yt当12EE时，可简化为：《数字通信》教案第3章数字信号最佳接收原理70()Tdt0()Tdt比较器1()st2()st()yt相关器实现最佳接收机比较器()yt11()()htsTt22()()htsTt匹配滤波器实现最佳接收机3.最佳接收机的结构-匹配滤波器匹配滤波器(MatchedFilter，MF)是一种最佳线性滤波器，是在确定信号输入下的最佳线性系统。（1）最佳准则：输出最大信噪比准则（在抽样判决时刻）（2）MF的结构——最佳传输函数(0,T)MFt=t0=T0*()()jtoptiHSeis(t)hopt(t)os(t)或0()()optihtsttiS(ω)Hopt(ω)02oEN与输入信号波形有关，对不同波形匹配得MF，具有不同形式的Hopt(ω)（3）MF的性能——输出最大信噪比定义：输出信噪比202|()|()ooostnt在Tt0时，max02oENmaxo是只与输入信号的能量及白噪声的功率谱密度0N有关，而与输入信号的波形无关。（4）匹配滤波器的主要性质。MF等效于相关器。[证明]匹配滤波器等效于一个相关器()ht()nt()yt()st(0,)T0()()()tuthtyd()()htsTtMF00()()()()()ttuthtydsTtyd当tT时，0()()()TuTsyd《数字通信》教案第3章数字信号最佳接收原理8结论：在tT时刻，相关器和匹配滤波器输出相等，所以两者等价。因此，有两种最佳接收机结构。抽样判决时刻：0ttT时，0max，eP最小0ttT时，0max，eP。二．二元确知信号最佳接收机（相关形式）的性能及最佳信号形式设二元数字信号传输系统，对于一般的解调接收，有（其中vb是判决门限）最佳接收机}AWGN2(0,)eP（等概）(0,)Tx“0”“1”12ss1(|)pxs2(|)pxsbv1A2Ax121212121212()(|)()(|)()()()()(|)ebboptePPsPssPsPssPsPsPsPsVVPPss等概当最佳判决门限时,12AWGN(|)(|)bbvvpxsdxpxsdx相同信道条件,似然函数分布对称而对于最佳接收，判决规则为11212002()()()()22TTssEEytstdtytstdt则求错误概率的方法有所不同。假设发2s情况，此时2()()()ytstnt()st()nt()yt代入判决规则得错判条件（判为1s）12212200()()()()()()22TTEEstntstdtstntstdt整理上式，21212122001()()()()()()()2TTntststdtEEstststdt其中，2110()TEstdt，2220()TEstdt《数字通信》教案第3章数字信号最佳接收原理9因此，错判条件为2121200()1()()()()()2TTbntststdtststdt高斯变量即b求的数字特征：120()()()()0TEEntststdt222121200()()()()()()TTDDntststdtststdt201200()()2Tnststdtnb故，0(0,)Nnb（s1(t)和s2(t)是确知信号可以看成常量）则错误概率为，222221121()erfc2222xtbebbPPbedxedt01erfc22bn其中，21212120011()()2()()22TTbststdtEEststdt1212122EEEE式中，1E和2E分别为1()st和2()st的能量。且令12012()()TststdtEE为波形相关系数当12EEE时，(1)bE则001(1)erfcQ(1)22eEEPnn由于pe2与s2无关，所以在等概下2eepp二元确知信号的最佳形式3dB3102101100.5eP1010(dB)En(正交FSK)(PSK)0000,eEPn波形相反正交波形有一定相似性当一定时《数字通信》教案第3章数字信号最佳接收原理10所以，当1时，eP最小，系统性能最佳。因此，在基带传输系统中，双极性信号形式最佳在数字调制系统中，PSK信号形式最佳。当1时（两信号相同），11erfc(0)22eP为最大。说明：当不等概率时，12()()PsPs，eP比等概时略有下降（性能好一些）⑦《数字通信》教案第3章数字信号最佳接收原理11§3.4匹配滤波器输出信号的统计特征1、两个随机变量的正交、不相关与统计独立的关系1(t),2(t)—平稳复随机过程，1，2—复随机变量）（t1）（t212t1t2若内积E(21)=0，或21R=0，则1与2正交。若协方差21C＝0，