(课件)2016中考数学复习--矩形、菱形、正方形课件

第21讲矩形、菱形、正方形考点一矩形、菱形、正方形的性质和判定四边形项目矩形菱形正方形边对边平行且相等对边平行且四边相等对边平行且四边相等角四个角都是直角对角相等，邻角互补四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角性质对称性既是中心对称图形，又是轴对称图形四边形项目矩形菱形正方形判定1.有一个角是直角的平行四边形2.有三个角是直角的四边形1.有一组邻边相等的平行四边形2.四条边都相等的四边形1.有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形2.有一组邻边相等(对角线互相垂直)的矩形四边形项目矩形菱形正方形判定3.对角线相等的平行四边形3.对角线互相垂直的平行四边形3.有一个角是直角(对角线相等)的菱形4.对角线相等且互相垂直的平行四边形温馨提示：1.正方形的判定：1先证明四边形是矩形，再证明有一组邻边相等或对角线垂直；2先证明四边形是菱形，再证明有一个角是直角或对角线相等.2.矩形的面积：S＝aba，b表示长和宽；菱形的面积等于边长与高的乘积或两条对角线乘积的一半；正方形的面积等于边长的平方或对角线乘积的一半.考点二平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系温馨提示：1.矩形、菱形和正方形都具有平行四边形的所有性质.2.平行四边形及特殊平行四边形的有关知识点比较多，要想做到准确而不混淆就要从“边、角、对角线、对称性”这四个方面来研究它们的性质和判定，多用数形结合法，掌握它们的区别与联系，把握它们的特征是关键.考点一矩形的性质与判定例1(2014·枣庄)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF.(2)若OD＝12AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论.【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定、矩形的判定等．解：(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC.又∵AE＝CF，∴OE＝OF.又∵DF∥BE，∴∠OEB＝∠OFD.又∵∠EOB＝∠FOD，∴△BOE≌△DOF.(2)四边形ABCD是矩形．证明：∵△BOE≌△DOF，∴OD＝OB.又∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵OD＝12AC，OD＝12BD，∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形．方法总结：矩形是特殊的平行四边形，证明矩形的常用方法就是先证明四边形是平行四边形，然后证明有一个角是直角或对角线相等.考点二菱形的性质与判定例2(2014·南京)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F.(1)求证：四边形DBFE是平行四边形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？【点拨】本题考查三角形中位线的性质、平行四边形的判定、菱形的判定等．解：(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，即DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC.又∵EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形．(2)(本题答案不唯一)当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形．理由：∵D是AB的中点，∴BD＝12AB.∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝12BC.∵AB＝BC，∴BD＝DE.又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形．方法总结：对于菱形的判定，若可证出四边形为平行四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等.考点三正方形的性质与判定例3(2014·泸州)如图，正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G，求证：AE＝BF.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质等．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°.又∵AE⊥BF，∴∠CBF＋∠AEB＝90°.∴∠BAE＝∠CBF.在△ABE与△BCF中，∠BAE＝∠CBF，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，∴△ABE≌△BCF(ASA)．∴AE＝BF.方法总结：1.正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质.2.证明一个四边形是正方形，可以先判定为矩形，再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再证有一个角是直角或对角线相等.1．如图，菱形ABCD的周长是16，∠A＝60°，则对角线BD的长度为()A．2B．23C．4D．43解析：由菱形的四条边都相等可得AB＝AD＝4，又∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝4.故选C.答案：C2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法错误的是(B)A．AB∥DCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．OA＝OC3．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为()A．23B．26C．3D.6解析：∵正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，∴AB＝BE＝23.∵点B是点D关于直线AC的对称点，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE，当P在BE的连线上时，PB＋PE最小．∴BE的长就是PD＋PE的最小值，即PD＋PE的最小值为23.故选A.答案：A4．如图，顺次连接菱形ABCD的各边中点E，F，G，H.若AC＝a，BD＝b，则四边形EFGH的面积是.解析：由题意知，四边形EFGH是矩形，EF＝12AC＝12a，EH＝12BD＝12b，则四边形EFGH的面积是EF×EH＝12a·12b＝14ab.答案：14ab5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于点F，EG⊥BC于点G，则矩形CFEG的周长是.解析：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B.∵∠EFC＝90°，∠C＝90°，∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∴∠A＝∠AEF，∴AF＝EF.同理EG＝BG.∴矩形CFEG的周长为EF＋FC＋CG＋GE＝AF＋FC＋CG＋GB＝AC＋CB＝2AC＝12.答案：126．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且BF＝CE.(1)求证：DE＝DF；(2)当∠A＝90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，并证明你的结论．解：(1)证明：∵点D是BC的中点，∴BD＝CD.∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠BFD＝∠CED＝90°.在Rt△DFB和Rt△DEC中，BD＝CD，BF＝CE，∴Rt△DFB≌Rt△DEC.∴DE＝DF.(2)四边形AFDE是正方形．证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠AFD＝∠AED＝90°.又∵∠A＝90°，∴四边形AFDE是矩形．又∵DF＝DE，∴四边形AFDE是正方形．考点训练一、选择题(每小题4分，共40分)1．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是()A．8B．6C．4D．2解析：∵矩形的对角线相等且互相平分，∴AO＝BO＝CO＝DO，∴△AOB，△BOC，△COD，△AOD都是等腰三角形．又∵AB＜BC，∴△ABC，△BCD，△ADC，△ADB都不是等腰三角形．∴共有4个等腰三角形．故选C.答案：C2．(2014·重庆)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°解析：由矩形的性质，可得∠ABC＝90°，AO＝OB，又∵∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°.故选B.答案：B3．已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是()A．当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB＝AD，CB＝CD时，四边形ABCD是菱形C．当AB＝AD＝BC时，四边形ABCD是菱形D．当AC＝BD，AD＝AB时，四边形ABCD是正方形解析：对角线AC与BD互相垂直，A项举反例如图①，故A项错误；图①B项举反例如图②，故B项错误；D项举反例如图②，故D项错误．故选C.图②答案：C4．(2013·凉山州)如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为()A．14B．15C．16D．17解析：∵四边形ABCD为菱形，AB＝4，∴BC＝AB＝4.∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4.∴C正方形ACEF＝4×4＝16.故选C.答案：C5．(2013·扬州)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于()A．50°B．60°C．70°D．80°解析：如图，连接BF，在菱形ABCD中，∠BAC＝12∠BAD＝12×80°＝40°，∵∠BAD＝80°，∴∠ABC＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°.∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∠ABF＝∠BAC＝40°，∴∠CBF＝∠ABC－∠ABF＝100°－40°＝60°.∵在△BCF和△DCF中，BC＝DC，∠BCF＝∠DCF，CF＝CF，∴△BCF≌△DCF(SAS)，∴∠CDF＝∠CBF＝60°(或由菱形的对称性知∠CDF＝∠CBF＝60°)．故选B.答案：B6．(2014·曲靖)如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA.以下结论：①BD垂直平分AC；②AC平分∠BAD；③AC＝BD；④四边形ABCD是中心对称图形．其中正确的有()A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④解析：由作图方法可知，四边形ABCD是菱形，则BD垂直平分AC，故①正确；由菱形的对角线平分一组对角，则AC平分∠BAD，故②正确；由菱形的性质不能得出AC＝BD，故③不正确；菱形是中心对称图形，故④正确．故选C.答案：C7．(2014·龙东)如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为()A．4B.2C．22D．2解析：连接CF，由正方形的性质可得BD∥CF，∴S△DBF＝S△DBC＝12×2×2＝2.故选D.答案：D8．(2014·青岛)如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF的长为()A．4B．32C．4.5D．5解析：设BF＝x，则C′F＝CF＝9－x，∵C′是AB的中点，AB＝6，∴BC′＝3.在Rt△BFC′中，BF2＋C′B2＝C′F2，∴x2＋32＝(9－x)2，解得x＝4.故选A.答案：A9．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为()A．1B.2C．4－22D．32－4解析：∵∠BAE＝22.5°，∠ABD＝45°，∴∠DAE＝∠AED＝67.5°，∴△ADE是等腰三角形，△BEF是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝4，BE＝42－4.∴在Rt△BFE中，EF＝22BE＝4－22.故选C.答案：C10．(2013·深圳)如图，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是()A．8或23B．10或4＋23C．10或23D．8或4＋23解析：如图①，∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝2，∴AC＝4，AB＝23.∵DE是中位线，∴DE＝1，AE＝CE＝2，AD＝BD＝3.图①(1)当AE与EC重合时，如图②，其周长为4＋23；图②(2)当AD与BD重合时，如图③④，其周长为8.图③图④综上，所得四边形的周长为4＋23或8.故选D.答案：D二、填空题(每小题4分，共20分)11．(2014·衡阳)如图，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝5，则BD的长为10.解析：由矩形的对角线相等且互相平分，可得AO＝BO＝CO＝DO，∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB