数学研究性学习对数学思维品质的培养

1数学研究性学习对数学思维品质的培养培英学校王玉梅本文拟就在数学实践中进行研究性学习的内容、特征、策略，浅谈对学生数学思维品质的培养。数学研究性学习与数学思维品质研究性学习是近几年来新兴的一个领域。今天倡导的研究性学习，是在提倡主体性教育与创新教育理念下，又是在被认为我国教育忽视学生个性发展的背景下提出的。研究性学习的提出对最为科学眼睛的数学又提供了一个新的契机。荷兰数学家弗赖登塔尔说过.数学知识即不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的。可见这一新理念将给数学教育的改革与发展一个新方向-----数学研究性学习。数学研究性学习广义上理解是一种数学学习理念、策略、基本思想和方法。以学生动手、动脑，主动探索实践和相互交流为主要学习方式，通过学生自身的思维活动，获取数学知识和能力，使每个学生独特个性健全发展。它可渗透于数学学习所有活动中。狭义上讲是一种数学专题研究活动。是指学生在教师的指导下，从自然现行、社会现象和自我生活中选择和确定数学研究专题，并在研究过程中主动训练数学思维获取数学知识，以解决问题的学习活动。经过几年间的反复探索，研究性学习已经呈现出多种模式，探究式教学，变式教学，问题式教学，题组式教学……但从研究性学习开2设的目的来看，无论是一种学习方式还是一种专题研究活动，都是为了改变学生单纯接受教师传授为主的学习方式，为学生提供开放环境，在实践中获取知识同时把知识应用于实践，最终目的是培养学生创新精神和实践能力，发展学生个性。[1]学生学习数学，不仅要掌握教学大纲规定的数学知识、技能和能力，而且要掌握数学思维方法，促进思维发展。因此，在数学教学过程中，培养思维能力应该是培养一切能力的核心。数学研究性学习作为数学教学的一部分，它的目的就是发展数学思维，培养创新能力。我们所说的数学思维能力反映在数学思维品质上。数学思维品质是数学思维结构中的重要部分。思维品质是评价和衡量学生思维优劣的重要标志，因此在数学学习中要重视对学生良好的思维品质的培养。数学研究性学习作为数学学习的一部分，在这方面有着其他学习方式无法比拟的优势，它着重学习过程，学习体验，知识应用，学生参与，这些都为培养学生数学思维品质打好了基础。研究性学习通过内容选择，过程策划，拓宽视野，打破界限，在学生的实践探索中激发和培养他们多种优良的数学思维品质。一数学研究性学习对智力思维品质的培养智力思维品质是思维品质的主体，是思维品质的主要方面，对评价思维能力起决定作用.1根据因果，纵向进退，培养思维的深刻性研究性学习重参与，它的主体性使学生的思维潜力得到充分的3发挥，使学生能深刻认识事物，要克服思维的表面性、绝对化，从而产生新看法、新结论，所以有利于对数学思维深刻性的培养。这种新的学习方式区别以往学生接受式学习，它强调学生按其自己的思维逻辑，发现解决问题。人认识问题通常受到问题本身的制约和问题背景的制约。研究性学习正是解决问题，深层进退，在整个思维过程中培养深刻性。例在我们的实际生活中，在生意兴隆的购物街，我们经常能听到这样的叫卖声清仓处理，五折优惠，走过路过不要错过……这声音用录音机播放，一遍一遍似乎永不休止，那这样重复的噪音是怎么形成的呢?Ⅰ抓住本质，引导学生提出方案，开始时学生思维发散想法很多，但要抓住本质，整个录音是对同一声音的重复，那么先直接录入这段声音，接着可以用两台录音机相互反复播音和录音。Ⅱ寻找数学知识作为切入点，这里的知识点是数列，头脑中沿这条思路前进，不中途转换思路，设第一步录入声音遍数记为UI第二步录入声音遍数记U2第三步录入声音遍数记为U3……_第n步录入声音遍数记为UnUI=lU2=1U3=2U4=3Us=5U6=8U7=13……Ⅲ通过思维的深入找出各项问联系，这个数列是Un=Un-1+Un-2(n3)这是著名的斐波那契数列，在我们数列学习中占有相当大地位。Ⅳ思维继续深入，由己知数据，联系数学概念定理，联系数学概念定理，得出通项nnnU25125151，要求学生进行证明。Ⅴ深层挖掘，问题若吆喝一遍叫卖声，连同中间的停顿一共需要10s，那末录一盒长为一小时的磁带需要操作几步?(留读者思考)4由上例中可以看出研究性学习重在寻找问题中的思维方向，而非问题结果。思维的深入通过一个个知识点和技能点来进行，这种深入带有明显的指向性。因为，这一个个点实际上就是我们思维的出发点，思维在点的基础上纵向进退，对问题进行深化研究。思维逐步深入，对问题的认识也逐步深入，透过现象看本质，可能发现别人不能发现的问题，这是创新思维的重要环节。2一题多解，横向转换，培养思维的灵活性话说条条大路通罗马，问题解决也不是只有一种。研究性课题通过选择开放性问题或在教学中设置多解题型来培养学生思维的灵活性。就像挖一口井，我们选择一个点(知识点或技能点)，挖了很深仍没有出水，那我们就应该马上放弃，另辟新址，不可贪图那口挖了半截但位置错误的枯井。这就是我们所说的横向转换，不断从一个思路跳到另一个思路，直到找到合适的方案和对策。（1）开放性题型例一工厂需从1mx1m的钢板上冲压直径为O.lm圆形铁片，怎样安排冲压头最省材料?如果冲压半径为R的圆盘，最大个数是多少?Ⅰ放开学生思路，使其任意想象，学生思维马上活跃起来，排列方法玲琅满目(如图)，在这些方案中，由学生的直觉思维就可排除一些浪费材料方案。[1]方案一[2]方案二[3]方案三[4]方案四II对公认的两种最优方案(图1图2)进行讨论o设圆盘半径为r，圆盘个数为N5(1)方形排列r=O.05mN=IOO(2)三角形排列r=O.05mN=I05显然，三角形排列最优III那么对于半径为R的圆盘是不是也是三角形排列最优呢?下面再次启发学生，使其思维再度活跃。1.设第一行能排n个，则对于方案一，N=n2.2.在三角形排列中，设有m排，121311312RmRmR其中Rn112131Rm由此，学生可以自己比较当R的取值不同，哪种方案优化，在这里就不深入探讨。我们要强调的是这类问题本身没有所谓正确结果，评判问题解决好坏的标准是思维方向选择的优良，多种方法，多个结果，方法不同，结果差异。通过对结果的比较，得出最优做法，也就是最优思维。通过这种方法是学生体会到思维切入点不同，对问题解决的彻底性不同。(2)一题多解在研究性学习中使学生体会思维灵活性在处理问题中的重要性，我们还提倡的一题多解。能作到对具体问题具体分析，即时调整原有思维过程和方法，寻找解决问题的新途径。思维不局限于固定212121121nmnmmmNm为奇数时当21212nmnmnmNm为偶数时当6程式或模式，具有较强应变能力例在三角形ABC中，C是钝角，CD是AB边上的高，证明:AB2CD对题中结构和形式观察，对隐含条件挖掘，有意识引导学生联想，构造，培养灵活性解法一（图1）延长AC到E点使AC=CE过E作AB垂线且交子M点，过C点作AC边垂线交AB于N点，连接EN那么思路将很清晰EM=2CDEN2CDENAB解法二（图2）作FC垂直BC交AB于F，取BF中点ECDCEAB2CE解法三（图2）CD2=BD.DF4222BFDFBDBF2=4CD2AB2CD解法四（图3）以AB为直径作圆∠C900C在圆内CDRAB=2RCD解法五反证法设AB2CD取AB中点EAE=BE2CDCE∠1∠A∠2∠B∠C=∠l+∠2∠A+∠B900解法六，解法七…_方法还有很多，这种方法虽然没有开放性题型思维活跃，但它数据结构封闭，目的唯一，培养学生从利用条件或创设条件，寻找更优解法，这本身就是一种创新，能激发学生探索其他途径的兴趣。(3)一题多变一题多解是个好办法，一题多变也值得注意.在函数单调性这节课中，设计这样一组例题。71，确定422xxy在,2上的单调性2，确定axxy22,2上的单调性3，aaxxy2当x在,2上为增函数，则a范围4，)(log221aaxxy31,3上单调递增，则a范围5，)(log221aaxxy的值域为R，且f(x)在31,3上单调递增，则a范围6，若函数2()log(3)afxxax在区间(,]2a上为减函数，求a的取值范围；当然这涉及了二次函数的单调性，在开口确定情况下，以轴为分类标准，同时不断变式，结合对数函数构造复合函数，以增加题的难度。这样的题组教学可以说是研究性学习的一个课堂实践吧，对培养思维灵活性是非常有益的。3知识迁移，增加视角，培养思维的广阔性数学研究性学习有广阔的知识背景，为思维的有机重组提供了宽广空间，一个问题，一个知识点，决不会是孤零零的存在的，这就要求学生在思考过程中，增加各种可采用视角，扩大范围，把对象放到大环境中去考察，从而有可能发现更多属性，它体现的就是思维的广阔性。(1)创设情景题型例在学习函数及其图象时，根据选择中学生上网热，设计一个研究性课题上网方式与费用研究Ⅰ学生收集相关资料，这个课题有丰富的研究背景，开拓学生视野。如:上网的方式有哪些?上网的费用如何?手机入网的类别与价格?储蓄与利率?8Ⅱ研究讨论，制表。上网方式基本费用时间限额超时收费标准163普通一一一一按时间计费2/h拨号A类50元/月包当月50小时1，网络使用0.8兀/h上网H类30元/月包当月30小时2，通信费0.02兀/分钟D类200元/月包当月上网和普通市话费ADSL512k70元/月一一一一宽带2M90元/月Ⅲ优化方案，运用知识，找出上网费用与时间的函数。1y=2tt≧025050+2(t-50)0≦t≦50t≧5033030+2(t-30)0≦t≦30t≧304y=200t≧05y=70t≧06y=90t≧0Ⅳ画图分析，哪种方式省钱？让学生给方案例在学习指数函数时设置情景（实际问题）：某种计算机病毒传播速度很快，可以由1个分裂成2个，2个分裂成4个………，分裂x次后得到的个数y与x之间的函数关系式？答案：x2y（课件展示）例在学习数学归纳法时设置情景：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。例在学习球的体积时，设置情景：借助多媒体虚拟一个数学实验室，实验室9中有足够多的水，量筒，器皿，弹簧秤，实心球，空心球，半球，并郑重通知学生实验器材不足可自行添加。这样实验环境新鲜，开放，马上调动起学生积极性，这时在提出问题：请设计方案计算球的体积。（2）知识迁移型例数学归纳法的应用1，证明恒等式13+23+33+……+n3=(1+2+3+……+n)22，证明整除，当n为奇数时，证明xn+yn能被x+y整除3，证明不等式，)1,,(222nNnbabababann、、4，几何问题，证n多边形对角线个数为2)3(nnsn此外还有数列问题，一般性实际应用问题，求函数表达式等。一种很好的方法或理论，我们要试图从多方面设想，探求这种方法或理论适用的各种问题，扩大它的应用范围，这种知识的正向迁移也是研究性学习渗透在数学教学中的一个方面。像换元法，判别式法，对称法，在这类课题的研究中，学生发散思维，知识迁移，就是对思维品质广阔性的培养。4亲历实践，打破定势，培养思维独创性独创性指独立发现问题，分析问题，解决问题，独立思考出有社会(个人)价值的有新颖成分的成果的智力品质。创造不仅仅是一种行为、能力、方法，而是一种意识、态度、观念。有了创造意识，才有创造实践。所以要让学生亲自参与到实践活动中去，在体验内化的基础上，逐步形成自觉指导创造行为的个人观念系统。10《数学课堂标准解读》指出:学生数学学习过程可以说是一种再创造过程，而且是真正意义上的再创造。这种创造区别于数学家注重结果的创造，它注重过程的体验，经验的积累。在概念定理的学习中，通过数学研究