现代设计理论与方法-优化设计

第2章优化设计主要内容：了解优化设计；会建立优化设计的数学模型；了解优化设计的数学基础知识；掌握一维优化方法；了解多维优化方法。2.1概述2.1.1优化设计的概念优化设计是借助最优化数值计算方法和计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。即：进行最优化设计时，首先必须将实际问题加以数学描述，形成一组由数学表达式组成的数学模型，然后选择一种最优化数值计算方法和计算机程序，在计算机上运算求解，得到一组最佳的设计参数。2.1.2优化设计的一般过程机械设计的全过程一般可分为：1.设计问题分析2.建立优化设计的数学模型。3.选择适当的优化方法。4.编写计算机程序，计算择优。2.1.3优化设计的数学模型1、建立数学模型的基本原则数学模型的建立要求确切、简洁的反映工程问题。2、数学模型的三要素设计变量、目标函数、约束条件。1）设计变量应注意各设计变量应相互独立，否则会给优化带来困难。2.1.3优化设计的数学模型设计变量是指在设计过程中可以进行调整和优选的独立参数。（1）设计变量的选择：应该选择那些与目标函数和约束函数密切相关的，能够表达设计对象特征的基本参数。2.1.3优化设计的数学模型（2）设计变量的分类连续变量可以在实数范围内连续取值的变量。离散变量只在给定数列或集合中取值的变量。1）设计变量2.1.3优化设计的数学模型1）设计变量（3）设计空间若n个设计变量x1,x2,…xn相互独立，则由它们形成的向量X=[x1,x2,…xn]T的全体集合构成的一个n维实欧氏空间，称为设计空间，记Rn。设计变量的个数n称为优化设计的维数。1）如n=2就是二维设计问题，可用平面直角坐标来表示；2）如n=3就是三维设计问题，可用空间直角坐标来表示；3）如n大于3就是超越空间。2.1.3优化设计的数学模型1）设计变量（3）设计空间二维设计平面三维设计空间2.1.3优化设计的数学模型2）目标函数目标函数是通过设计变量来表示的设计所追求目标的数学表达式，又称为标量函数。（1）目标函数的意义目标函数值的大小是衡量设计方案优劣的定量标准。目标函数的值越小，对应的设计方案越好。因此，目标函数的最小值及其对应的设计变量的取值称为设计问题的最优解。目标函数的一般表示式为：),()(21nxxxfXf2.1.3优化设计的数学模型2）目标函数（2）目标函数的选择必须针对具体问题，选择主要的技术指标作为设计的目标函数，如：利润、体积、重量、功率等。（3）等值面和等值线对于简单的问题，可用等值线或等值面来描述函数的变化趋势，还可以直观地给出极值点的位置。目标函数等值线（面），其数学表达式为：f（X）=c。在这种线或面上所有点的函数值均相等，因此，这种线或面称为函数的等值线或等值面。当c取一系列不同的常数值时，可以得到一组形态相似的等值线或等值面，称为函数的等值线簇或等值面簇。2.1.3优化设计的数学模型2）目标函数a）当n=2时，该点集是设计平面中的一条直线或曲线；b）当n=3时，该点集是设计空间中的一个平面或曲面；c）当n大于3时，该点集是设计空间中的一个超曲面。（3）等值面和等值线2.1.3优化设计的数学模型2）目标函数目标函数f（X）＝一60x1一120x2的等值线簇。（3）等值面和等值线2.1.3优化设计的数学模型2）目标函数函数：f（X）＝xl2十x22一4x1十4的图形(旋转抛物面)。用平面f（X）＝c切割该抛物面所得交线在设计空间中的投影，就是目标函数的等值线。（3）等值面和等值线2.1.3优化设计的数学模型2）目标函数约束条件的作用：就是对设计变量的取值加以限制。2.1.3优化设计的数学模型3）约束条件对任何设计都有若干不同的要求和限制，将这些要求和限制表示成设计变量的函数并写成一系列不等式和等式表达式，就构成了设计的约束条件，简称设计约束。2.1.3优化设计的数学模型3）约束条件),,2,1(0)(),2,1(0)(nppvXhmuXgvu（1）约束条件的分类a）约束条件根据形式不同分为不等式约束和等式约束。一般表示为：b）根据性质不同分为边界约束和性能约束。边界约束：考虑了设计变量变化的范围，是对设计变量本身所加的直接限制。比如：ai-xi≤0xi-bi≤0性能约束：是根据设计性能或指标要求而定的一种约束条件。是对设计变量加的间接变量。例如：零件的强度条件，刚度条件，稳定性条件均属于性能约束。2.1.3优化设计的数学模型3）约束条件（1）约束条件的分类约束边界2.1.3优化设计的数学模型3）约束条件（2）可行域每一个不等式或等式约束都将设计空间分为两个部分，满足所有约束的部分形成一个交集，该交集称为此约束问题的可行域，记作D。可行域就是满足所有约束条件的设计点的集合，因此，可用集合式表示如下：),,2,1,,2,1(,0)(0)(|pvmuXhXgXDvu；，2.1.3优化设计的数学模型3）约束条件036049),(36049),(2121121211xxxxgxxxxg0300103),(300103),(2121221212xxxxgxxxxg020054),(20054),(2121321213xxxxgxxxxg0),(0),(0),(0),(2215221512141214xxxgxxxgxxxgxxxg（2）可行域2.1.3优化设计的数学模型3）约束条件此约束的可行域是由约束边界线围成的封闭五边形：OABCD（2）可行域2.1.3优化设计的数学模型3）约束条件2.1.3优化设计的数学模型优化设计问题的的数学模型一般数学表达式为：1,2,...,1,2,...,umvpn()0()0uvgxhxmin..st)(XfnRX3、优化设计数学模型建立实例例1：有一块边长为6m的正方形铝板，四角各裁去一个小的正方块，做成一个无盖的盒子。试确定裁去的四个小正方块的边长，以使做成的盒子具有最大的容积。解：设裁去的四个小正方块的边长为x，则盒子的容积可表示成x的函数F（X）＝x(6-2x)22.1.3优化设计的数学模型3、优化设计数学模型建立实例2.1.3优化设计的数学模型变量x—设计变量f（X）＝x(6-2x)2—目标函数g1（X）＝x0g2（X）＝x3—约束条件使容积最大，即使f（X）=-x(6-2x)2最小3、优化设计数学模型建立实例2.1.3优化设计的数学模型minf（X）=-x(6-2x)2s.t.g1（X）＝-x0g2（X）＝x3RX例2：平面连杆机构的优化设计曲柄摇杆机构再现已知运动规律的优化设计3、优化设计数学模型建立实例2.1.3优化设计的数学模型1）设计变量的确定决定机构尺寸的各杆长度，以及当摇杆按已知运动规律开始运动时，曲柄所处的位置角φ0为设计变量。3、优化设计数学模型建立实例2.1.3优化设计的数学模型TTllllxxxxxX][][04321543212）目标函数的建立目标函数可根据已知的运动规律与机构实际运动规律之间的偏差最小为指标来建立，即3、优化设计数学模型建立实例2.1.3优化设计的数学模型miiiXf120min)()(3）约束条件的确定（1）曲柄摇杆机构满足曲柄存在的条件3、优化设计数学模型建立实例2.1.3优化设计的数学模型0)(0)(0)(0)(0)(0)(423164321532414413312211llllXgllllXgllllXgllXgllXgllXg（2）若要求最小传动角应在和间，可得minmax3、优化设计数学模型建立实例0ll2llllXg3221423227max])(arccos[)(2.1.3优化设计的数学模型3）约束条件的确定0ll2llllXg3221423228])(arccos[)(max设计变量的确定考虑到机构的杆长按比例变化时，不会改变其运动规律，因此在计算时常取l1=1，而其他杆长按比例取为l1的倍数。3、优化设计数学模型建立实例2.1.3优化设计的数学模型TTllllxxxxxX][][04321543211、按是否包含有约束条件分：无约束优化问题和约束优化问题。２、按设计变量的多少可分：单变量优化和多变量优化。３、按目标函数和约束函数的性质可分：线性规划和非线性规划。2.1.4优化问题的分类1、图解法：用直接作图的方法来求解优化问题。在设计平面作出约束可行域，画出目标函数的一簇等值线，根据等值线与可行域的相互关系确定出最优点的位置。特点：优点：直观。缺点：一般仅限于求解n≤2的低维优化问题。2.1.5优化问题数学模型的求解方法图解法数学解析法数值迭代法1）图解法的求解的步骤（1）确定设计空间；（2）作出约束可行域；（3）画出目标函数的一簇等值线；（4）最后判断确定最优点。2.1.5优化问题数学模型的求解方法2.1.5优化问题数学模型的求解方法目标函数：f（X）＝一60x1一120x22）图解法的求解实例约束条件：036049)(211xxXg0300103)(212xxXg020054)(213xxXg0)(0)(2514xXgxXg生产甲产品一件获利60元，生产乙产品一件获利120元，受条件约束，如何安排生产可获最大利润？此约束的可行域是由约束边界线围成的封闭五边形：OABCD可行域2.1.5优化问题数学模型的求解方法2）图解法的求解实例2.1.5优化问题数学模型的求解方法2）图解法的求解实例目标函数f（X）＝一60x1一120x2的等值线簇。其可行域与目标函数的等值线图叠加在一起。求解得：每天生产甲产品20件，乙产品24件，可获最大利润4080元。2.1.5优化问题数学模型的求解方法2）图解法的求解实例0)(01)(02)(..44)(min13221221112221xXgxxXgxxXgtsxxxXf2.1.5优化问题数学模型的求解方法2）图解法的求解实例2RXf（X）＝xl2十x22一4x1十4等值面和等值线目标函数2.1.5优化问题数学模型的求解方法2）图解法的求解实例0)(01)(02)(..44)(min13221221112221xXgxxXgxxXgtsxxxXf2.1.5优化问题数学模型的求解方法2）图解法的求解实例0)(01)(02)(..44)(min13221221112221xXgxxXgxxXgtsxxxXf2.1.5优化问题数学模型的求解方法2）图解法的求解实例图解法只适用于一些很简单的优化问题，所以实用意义不强。2.1.5优化问题数学模型的求解方法2、数学解析法：把优化对象用数学模型描述出来后，用微分等方法求出最优解数学解析法也只适用于一些维数较少，易于求导的优化问题。2.1.5优化问题数学模型的求解方法例1：有一块边长为6m的正方形铝板，四角各裁去一个小的正方块，做成一个无盖的盒子。试确定裁去的四个小正方块的边长，以使做成的盒子具有最大的容积。2.1.5优化问题数学模型的求解方法1）数学解析法求解实例minf（X）=-x(6-2x)2s.t.g1（X）＝-x0g2（X）＝x3RX2.1.5优化问题数学模型的求解方法1）数学解析法求解实例例1：有一块边长为6m的正方形铝板，四角各裁去一个小的正方块，做成一个无盖的盒子。试确定裁去的四个小正方块的边长，以使做成的盒子具有最大的容积。变量x—设计变量f（X）＝x(6-2x)2—目标函数g（X）＝x0g（X）＝x3—约束条件使函数f(x)＝x(6-2x)2极大化即对f(x)=36x—24x2+4x3求导f’(x)=3-4x+x2=0得出：x=1,3,∵3x0∴x=1为所求解。2.1.5优化问题数学模型的求解方法1）数学解析法求解实例3、数值迭代法：2.1.5优化问题数学模型的求解方法工程优化问题的