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引言1¾标量（Scalar）（广义）：只有大小没有方向的量¾能量、质量、功。。。。¾在坐标变换时其值保持不变的量，即满足¾矢量（Vector）（广义）：既有大小又有方向的量¾重力、速度，加速度，动量。。。。¾几何表述：有向线段¾代数表示：有序数组()123112233,,xxxxxexexe==++rrrr123123ϕϕ′′′′=(,,)(,,)xxxxxx¾标量只需一个量就可确定，而矢量则需三个分量来确定。或简写为：ix（i=1,2,3）◆许多物理规律用公式表示出来都是矢量之间的等式，例如：Fma=rr？？规律：tVS→→=→→=VmP标量分量形式332211maFmaFmaF===矢量间关系不为标量，例如液晶显示器电光效应（扭曲向列相液晶TN或者STN）特征：液态晶的折射率随液晶的方向而改变，介电常数亦不同⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡121321aaamFFF一阶张量rrnμε=通光遮光¾电介质（绝缘体）的极化两类电介质两重心不重合两重心重合lqprr=有极分子0=pr无极分子1.电介质的电结构每个分子每个分子一般分子内正负电荷不集中在同一点上所有负电荷→负重心所有正电荷→正重心OH2—电偶极矩电偶极子（electricdipole）:两个相距很近的等量异号点电荷组成的系统。电偶极子的特征用电偶极距P＝lq描述，其中l是两点电荷之间的距离，l和P的方向规定由－q指向＋q.电偶极矩就是电偶极子在单位外电场下可能受到的最大力矩外电场作用下，电介质显示电性的现象2.电介质的极化现象（对各向同性、线性电介质）oEr无极分子电介质的极化:F有极分子电介质的极化:oEr±±±±±±±±位移极化取向极化束缚电荷E外↑强，排列越整齐pr端面上束缚电荷越多，电极化程度越高。0pi=∑r0E=外r电中性∑≠0pr0E=外r束缚电荷:电荷被紧密地束缚在局域位置上，不能作宏观距离移动，只能在原子范围内活动3.电介质的极化定律PEα=rrPr单位体积内所有分子的电偶极矩矢量和ipPVΔ=∑rr电极化强度矢量：电极化率，表征了电介质的性质（对各向同性、线性电介质）对各向异性、非线性电介质，并不和简单成正比，其方向也不一定平行，“电极化率”不是一个简单的数。Er当不太强时，和的对应关系仍然是线性关系，可以用分量表示为：ErPrEr3132121111EEEPααα++=3232221212EEEPααα++=3332321313EEEPααα++=4介电常数3132121111EEEDεεε++=3232221212EEEDεεε++=3332321313EEEDεεε++=→→=EDε或缩写为:∑==31jjijiEDε（i,j=1,2,3）i（i,j=1,2,3）jij二阶张量九个分量或缩写为:∑==31jjijiEPα（i=1,2,3）各向异性电介质的电极化率可以用九个数αij(i=1,2,3)表示，它有两个下标i，j，所以称为二阶张量。或者液晶分子有三个轴方向的介电常数，其中两个的介电常数近似的相等。两个方向的折射率是不同的，沿着长轴方向的折射率要比沿着短轴方向的折射率大矢量知识有大小、有方向，且服从平行四边形运算法则的量。A线段长度（大小）；箭头（方向）.手书A印刷（附有箭头）（用黑体字，不附箭头）第1节矢量代数图示法:AeAAvvv=Av矢量的模，表示大小Aev单位矢量，表示矢量方向解析法:矢量的表示方法Sr矢量在坐标系Ox1x2x3的分量（投影）：321,,′′′ξξξ321,,ξξξx1Ox2x3O′3x′1x′2x′PP′矢量分量的值与坐标系的选择有关¾在不同的坐标系中，同一矢量的分量有不同的值¾矢量客观的物理量，与坐标系的人为选择无关矛盾Sr矢量在坐标系的分量（投影）：321xxxO′′′′Sr5矢量称为一阶张量解决这一矛盾的方法是规定矢量分量在坐标变换时的变换规律。知道了这一变换规律，只要在一个坐标系中给出某一矢量的分量，也就等于在任意坐标系中都给出了它的分量。这样给出的矢量就是一个与坐标系无关的客观物理量。ϕϕρzOOx···zxyO（x0y0z0）rθxy（ρ0ϕ0z0）（r0θ0ϕ0）直角坐标系柱坐标系球坐标系坐标曲线相互正交，且符合右手定则特点２常用总体坐标系（正交系）zzAAAeeevvvvvv,,,,ϕρϕρϕθϕθAAAeeerrvvvvvv,,,,zyxzyxAAAeeevvvvvv,,,,或321321,,,,AAAeeevvvvvv321eeevvv=×132eeevvv=×113eeevvv=×a123顺时针轮换Aevv曲线正交坐标系z直角坐标系（笛卡尔坐标系:Cartesiancoordinates）¾右手坐标系：¾左手坐标系：1er2er3er1er2er3er3er1er如果由按右手螺旋旋转到可以得到2er3er1er如果由按左手螺旋旋转到可以得到2erb.矢量不变特性3三种正交系的相互关系·zxyϕrρθ（γ）αβρ=rsinθZ=rcosθX=ρcosϕ=rsinθcosϕY=ρsinϕ=rsinθsinϕϕ=arctg(y/x)=arccos(z/r)r2=x2+y2+z2=ρ2+z2cosα=(x/r)cosβ=(y/r)cosγ=(z/r)cos2α+cos2β+cos2γ=1直角x,y,z圆柱ρ,ϕ（0~2π）,z球r,θ（极角0~π）,ϕ（方位角0~2π）z=z⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡zyxzaaaaaa1000cossin0sincosφφφφφρ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡zyxraaaaaa0cossinsinsincoscoscoscossinsincossinφφθφθφθθφθφθφθ基失或矢量分量的转换z圆柱坐标系与直角坐标系间的转换z球坐标系与直角坐标系间的转换●、球坐标的三个单位矢量在x,y和z的投影φaraθa⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡zraaaaaaφρφθθθθθ010sin0coscos0sinz圆柱坐标系与球坐标系间的转换例：,,FdlBdSdVρ⋅⋅∫∫∫vvvv其中：称为微分元。,dldSvvdVA.直角坐标系在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。线元：yydldya=vrxyzdldxadyadza=++vrrrdlvdSvxxdldxa=vrzzdldza=vr面元：xxdSdydza=vr体元：dVdxdydz=yydSdxdza=vrzzdSdxdya=vr线元，面元，体元●矢量微分元B.圆柱坐标系在圆柱坐标系中，坐标变量为，如图，做一微分体元。(,,)rzϕ线元：ddddrzlrarazaϕϕ=++vvvvdddrrSrzaϕ=vvdddSrzaϕϕ=vvdddzzSrraϕ=vvddddVrrzϕ=面元：体元：P沿三个基矢方向的长度增量分别为drdlr=φφrddl=dzdlz=C.球坐标系在球坐标系中，坐标变量为，如图，做一微分体元。(,,)Rθφ2dsinddRRSRaθθϕ=vvdsinddSRRaθθθϕ=vvdddSRRaϕϕθ=vvdddsindRlRaRaRaθϕθθϕ=++vvvv线元：面元：体元：2dsindddVRRθθϕ=R在正交曲线坐标系中，其坐标变量不一定都是长度，可能是角度量。其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数，就可正确写出其线元，面元和体元。123(,,)uuu123,,hhh4正交曲线坐标系(1)拉梅系数设x,y,z是某点的笛卡儿坐标，x1,x2,x3是这点的正交曲线坐标，长度元的平方表示为2222dzdydxdl++=232322222121dxhdxhdxh++=•体元：321321dududuhhhdV=1111udlhdua=vr2222udlhdua=vr3333udlhdua=vr123112233uuudlhduahduahdua=++vrrr•线元：112323udShhdudua=vr221313udShhdudua=vr331212udShhdudua=vr•面元：)3,2,1()()()(222=∂∂+∂∂+∂∂=ixzxyxxhiiii称拉梅系数正交坐标系完全由三个拉梅系数h1,h2,h3来描述。3三种正交系的相互关系·zxyϕrρθ（γ）αβρ=rsinθZ=rcosθX=ρcosϕ=rsinθcosϕY=ρsinϕ=rsinθsinϕϕ=arctg(y/x)=arccos(z/r)r2=x2+y2+z2=ρ2+z2cosα=(x/r)cosβ=(y/r)cosγ=(z/r)cos2α+cos2β+cos2γ=1直角x,y,z圆柱ρ,ϕ（0~2π）,z球r,θ（极角0~π）,ϕ（方位角0~2π）z=zeρezeθ基失或矢量分量的转换●z圆柱坐标系与直角坐标系间的转换zzee=ρφz⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡zyxzeeeeee1000cossin0sincosφφφφφρyxφeρexeycosφexsinφeyyxeeeφφρsincos+=eφ-sinφexcosφeyyxeeeφφφcossin+−=erθφeθeφz球坐标系与直角坐标系间的转换eρyxeeeφφφcossin+−=yxeeeφφρsincos+=eρezcosθezsinθeρθrφzρrzρθereρezsinθeρcosθezeθ-sinθezcosθeρρθθeeezrsincos+=ρθθθeeezcossin+−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡zyxreeeeee0cossinsinsincoscoscoscossinsincossinφφθφθφθθφθφθφθyxeeeφφφcossin+−=yxeeeφφρsincos+=ρθθeeezrsincos+=zyxeeeθφθφθcossinsincossin++=ρθθθeeezcossin+−=zyxeeeθφθφθsinsincoscoscos−+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡zraaaaaaφρφθθθθθ010sin0coscos0sin圆柱坐标系与球坐标系间的转换、球坐标的三个单位矢量在x,y和z的投影φaraθa例：,,FdlBdSdVρ⋅⋅∫∫∫vvvv其中：称为微分元。,dldSvvdVA.直角坐标系在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。线元：yydldya=vrxyzdldxadyadza=++vrrrdlvdSvxxdldxa=vrzzdldza=vr面元：xxdSdydza=vr体元：dVdxdydz=yydSdxdza=vrzzdSdxdya=vr线元，面元，体元●矢量微分元B.圆柱坐标系在圆柱坐标系中，坐标变量为，如图，做一微分体元。(,,)rzϕ线元：ddddrzlrarazaϕϕ=++vvvvP沿三个基矢方向的长度增量分别为drdlr=φφrddl=dzdlz=六面体的三个边长分别为rdlφdlzdldddrrSrzaϕ=vvdddSrzaϕϕ=vvdddzzSrraϕ=vvddddVrrzϕ=面元：体元：标量函数U（ρ，φ，z）的梯度表示zezUelUeUvvv∂∂+∂∂+∂∂=φφρρμzezUeUeUvvv∂∂+∂∂+∂∂=φρφρρ1drdlr=φφrddl=dzdlz=C.球坐标系在球坐标系中，坐标变量为，如图，做一微分体元。(,,)RθφdddsindRlRaRaRaθϕθθϕ=++vvvv线元：R六面体的三个边长分别为dRθRdϕθdRsin2dsinddRRSRaθθϕ=vvdsinddSRRaθθθϕ=vvdddSRRaϕϕθ=vv面元：体元：2dsindddVRRθθϕ=标量函数U的梯度表示zRRelUelUelUvvvϕφθμ∂∂+∂∂+∂∂=ϕθϕθθeUReU