模糊数学2-2

《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系（一）普通关系令X和Y为两个论域，在普通集全中，记：XY={x,yxX∧yY}称为集合X和Y的笛卡尔积或直积。例：A={1，2}B={3，4}AB={1，3,1，4,2，3,2，4}BA={3，1,3，2,4，1,4，2}第二节模糊关系《模糊数学》第三章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系关系的集合表现方式,是现代数学的一个重要思想.把两个集合间进行无约束的搭配,就构成笛卡尔积,而把两集合之间的关系表现为两集合的元素间有约束的搭配,则这种搭配正是两集合的笛卡尔积上的一个子集,这个子集表示了一个关系.《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系【定义】任一有序对的集合确定了一个二元关系R，设X,Y为集合，笛卡儿积XY的任一子集R,称作X到Y的二元关系。记为:YXR.,,0;,,1),(:RyxRyxyxR则有}1,0{:YXR《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系【定义】设R是X到X自身的一个关系,(1)自反性:若xA，均有xRx，那么称R是自反的。A上关系R是自反的x（xAxRx）(2)对称性:A上的关系R是对称的xy(xA∧yA∧xRyyRx)(3)传递性:A上的关系是传递的xyz(xA∧yA∧zA∧xRy∧yRzxRz)“同年龄”关系具有自反性,对称性,传递性.“同学”关系不具有传递性,“父子”关系既不具有自反性、对称性，也不具有传递性。《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系【定义】设R是X到Y的关系，S是Y到Z的关系，则称关系RS是关系R与S的合成，定义如下：RS={x,z|(y)(yYx,yRy,zS)}用特征函数表达，有RS(x,z)=(R(x,y)S(y,z))例：xRy表示x是y的兄弟，ySz表示y是z的父亲则xRSz表示x是z的叔伯xSSz表示x是z的祖父《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系（二）模糊关系、模糊矩阵与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关系是普通关系的推广.【定义1】设有论域X，Y，XY的一个模糊子集R称为从X到Y的模糊关系，记为模糊关系R的隶属函数为映射R:XY[0,1].并称隶属度R(x,y)为(x,y)关于模糊关系R的相关程度.特别，当X=Y时，称R为X上各元素之间的模糊关系.),(),(),(yxRyxyxR记为YXR《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系例1设U为某工厂同一工种的全体工人组成的集合，“技术水平相当”就是建立在U上的一个模糊关系R。对于任意u,vU，若u,v技术水平完全一样，则令R(u,v)=1，若相差甚远则规定R(u,v)=0，其余取[0,1]上的值。在同一个论域上，可以存在着各种不同的模糊关系，如在本例中，论域U上还可以有“感情好”，“性格相似”等模糊关系。《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系例2设X为横轴，Y为纵轴，直积XY即整个坐标平面，考虑其中的模糊关系：R：“x远远大于y”，其隶属函数为：.)(10011;,0),(2yxyxyxyxR如：R(11，1)=0.5，表示“11远远大于1”的程度为0.5.R(101，1)=0.99，表示“101远远大于1”的程度为0.99.《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系:100},,,{},,,{34321321如下“掌握”的程度，列表示，即用所得的分数来表绩的得分除以学生对每门课学习成一个学习成绩，将每个都有，每个学生对每门课程，他们同时学习四门课程集合设有学生三人组成一个例yyyyYxxxX《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系Ry1y2y3y4x10.860.750.770.80x20.900.670.750.70x30.781.000.930.85这样就得到了从X到Y的模糊关系R“掌握”《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系【定义2】模糊关系的运算由于模糊关系R就是XY的一个模糊子集，因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质.设R，R1，R2均为从X到Y的模糊关系.相等：R1=R2R1(x,y)=R2(x,y)；包含：R1R2R1(x,y)≤R2(x,y)；《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系设R，R1，R2均为从X到Y的模糊关系.并：R1∪R2的隶属函数为R1∪R2(x,y)=R1(x,y)∨R2(x,y)；交：R1∩R2的隶属函数为R1∩R2(x,y)=R1(x,y)∧R2(x,y)；余：Rc的隶属函数为Rc(x,y)=1-R(x,y).《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系R1∪R2(x,y)表示(x,y)具有模糊关系“R1或者R2”的程度，R1∩R2(x,y)表示(x,y)具有模糊关系“R1且R2”的程度，Rc(x,y)表示(x,y)具有模糊关系“非R”的程度.《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系【定义3】模糊关系的矩阵表示对于有限论域X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，则X到Y模糊关系R可用m×n阶模糊矩阵R表示，即R=(rij)m×n，其中rij=R(xi,yj)∈[0,1]表示(xi,yj)具有模糊关系R的程度.即(xi,yj)隶属于模糊子集R的隶属度。又若R为布尔矩阵时,则关系R为普通关系,即xi与yj间要么有关系(rij=1),要么没关系(rij=0).《模糊数学》第三章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系例4医学上用：体重(公斤)=身高(厘米)-100表示人的标准体重，这实际上给出了身高(X)和体重(Y)的一个模糊关系。设身高论域X={140,150,160,170,180}(单位：cm),体重论域Y={40,50,60,70,80}(单位：kg),下表给出了身高与体重的模糊关系“标准”.用“R”表示：《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.81《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系10.80.20.100.810.80.20.10.20.810.80.20.10.20.810.800.10.20.81上例中的模糊关系R可以表示为模糊矩阵：R=《模糊数学》第三章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系【定义3】模糊关系的合成设R1是X到Y的关系,R2是Y到Z的关系,则R1与R2的合成R1°R2是X到Z上的一个关系.R1°R2(x,z)=∨(R1(x,y)∧R2(y,z))yY《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系当论域为有限时，模糊关系的合成为模糊矩阵的合成.设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y的模糊关系R1=(aik)m×s，Y到Z的模糊关系R2=(bkj)s×n，则X到Z的模糊关系可表示为模糊矩阵的合成：R1°R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系例5某家庭中子女与父母外貌的相似关系R为一模糊关系，可以表示为R父母子0.80.2女0.10.6也可以用矩阵表示为：6.01.02.08.0R《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系另有一关系为S，表示该家庭中父母与祖父母的外貌相似程度，这也是一个模糊关系，可以表示为：S祖父祖母父0.50.7母0.10也可以用矩阵表示为：01.07.05.0S《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系问该家庭中孙子，孙女与祖父母之间的相似程度分别是多少？R°S祖父祖母子0.50.7女0.10.1《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系。的合成与试求模糊关系。常数其隶属函数为上的模糊关系，是；为函数上的模糊关系，其隶属是设例2121)(22)(11)0(),(),(622RRRRkezyRZYReyxRYXRzykyxk《模糊数学》第三章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系模糊关系合成运算的性质性质1：(A°B)°C=A°(B°C)；性质2：A°(B∪C)=(A°B)∪(A°C)；(B∪C)°A=(B°A)∪(C°A)；性质3：(A°B)T=BT°AT；性质4：AB，CDA°CB°D.《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系注：(1)合成(°)运算关于(∩)的分配律不成立,即(A∩B)°C(A°C)∩(B°C)试证：A°(BC)(A°B)(A°C)；(BC)°A(B°A)(C°A)；(2)这些性质在有限论域情况下,就是模糊矩阵合成运算的性质.（三）模糊关系的自反性、对称性、传递性讨论在论域X到自身上的模糊关系R，即RF（XX），【定义4】设RF（XX），若xX，均有R(x,x)=1，那么称R具有自反性。x（xXR(x,x)=1）例：人群中的“相像”关系具有自反性，“仇敌”关系就不具有自反性。《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第三节模糊等价矩阵若x,yX，均有R(x,y)=R(y,x)，那么称R具有对称性。xy(xX∧yXR(x,y)=R(y,x))例：人群中的“相像”关系具有对称性，“相爱”关系就不是对称关系。《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第三节模糊等价矩阵若x,y,zX，若对任意的[0，1]均有R(x,y)，R(y,z)R(x,z)，则称R具有传递性。xyz(R(x,y)∧R(y,z)R(x,z))例：人群中的“相像”关系不具有传递性，《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第三节模糊等价矩阵【定理1】设RF（XX），R为传递关系对x,y,zX，有R(x,z)（R(x,y)R(y,z)）yX《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第三节模糊等价矩阵由于RR(x,z)=（R(x,y)R(y,z)）yX从而可得到：【定理2】设RF（XX），则R为传递关系RRR，即传递关系R包含着它与它自身的合成。《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第三节模糊等价矩阵《模糊数学》第三章模糊关系与模糊聚类分析第三节模糊相似关系,模糊等价关系【定义5】设RF(XX），即模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足：(1)自反性：R(x,x)=1；(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)；(3)传递性：R2R,则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.其中R(x,y)可以简记为R(x,y)表示(x,y)的相关程度。《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第二节模糊关系作业：P9013