数形结合在中考压轴题中的应用

数形结合在中考压轴题中的应用1/11数形结合在中考压轴题中的应用1.如图，已知抛物线1C与坐标轴的交点依次是(40)A，，(20)B，，(08)E，．（1）求抛物线1C关于原点对称的抛物线2C的解析式；（2）设抛物线1C的顶点为M，抛物线2C与x轴分别交于CD，两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．[解]（1）点(40)A，，点(20)B，，点(08)E，关于原点的对称点分别为(40)D，，(20)C，，(08)F，．设抛物线2C的解析式是2(0)yaxbxca，则16404208abcabcc，，．解得168abc，，．所以所求抛物线的解析式是268yxx．（2）由（1）可计算得点(31)(31)MN，，，．过点N作NHAD，垂足为H．数形结合在中考压轴题中的应用2/11当运动到时刻t时，282ADODt，12NHt．根据中心对称的性质OAODOMON，，所以四边形MDNA是平行四边形．所以2ADNSS△．所以，四边形MDNA的面积2(82)(12)4148Stttt．因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知04t≤．所以，所求关系式是24148Stt，t的取值范围是04t≤．（3）781444St，（04t≤）．所以74t时，S有最大值814．提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形．由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是ADMN，，所以当ADMN时四边形MDNA是矩形．所以ODON．所以2222ODONOHNH．所以22420tt．解之得126262tt，（舍）．所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时62t．[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。此题代表了几何代数相结合的这一类题型，他要求学生的基本功扎实，熟练掌握常规的求函数解析式的方法和二次函数求最值的方法。再次需要特别提出的是，绝大多数学生在求二次函数最值的时候用的是配方法或者对称轴坐标代入法，当然这本身是没有错的，只是在用这些方法求二次函数最值的时候要注意，这个二次函数的对称轴在自变量x的取值范围之内吗？如果不在，那又该怎么做？当然这个题中二次函数的对称轴是在自变量x的取值范围之内的，但是希望不要因此而产生错觉，觉得每个题都是如此。另外本题的第四问就是一个典型的由几何图形关系转变成代数关系的问题（由四边形为矩形得出对角线段相等）。那么相似的，当某三个点连接而成的图形成等腰或等边或直角三角形时，能转变成怎样的线段关系？当某四个点连接而成的图形是正方形是时，有怎样的线段关系？这些都是我们平时要思考的问题。2.（06福建龙岩卷）如图，已知抛物线234yxbxc与坐标轴交于ABC，，三点，点A的横坐标为1，过点(03)C，的直线334yxt与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，PHOB于点H．若5PBt，且01t．（1）确定bc，的值：__________bc，；（2）写出点BQP，，的坐标（其中QP，用含t的式子表示）：数形结合在中考压轴题中的应用3/11(______)(______)(______)BQP，，，，，；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使PQB△为等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．[解]（1）94b3c（2）(40)B，(40)Qt，(443)Ptt，（3）存在t的值，有以下三种情况①当PQPB时PHOB，则GHHB4444ttt13t②当PBQB时得445tt49t③当PQQB时，如图解法一：过Q作QDBP，又PQQB则522BPBDt又BDQBOC△∽△BDBQBOBC544245tt3257t解法二：作RtOBC△斜边中线OEyCAOQHBPxCOPQDB数形结合在中考压轴题中的应用4/11则522BCOEBEBE，，此时OEBPQB△∽△BEOBBQPB542445tt3257t解法三：在RtPHQ△中有222QHPHPQ222(84)(3)(44)ttt257320tt32057tt，（舍去）又01t当13t或49或3257时，PQB△为等腰三角形．解法四：数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。代数讨论：计算出△PQB三边长度，均用t表示，再讨论分析Rt△PHQ中用勾股定理计算PQ长度，而PB、BQ长度都可以直接直接用t表示，进行分组讨论即可计算。[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t值与题目中的01t矛盾，应舍去。在压轴题中，结果往往不是唯一的，这就要求我们考虑问题要全面，面面俱到。存在p点使三角形为某某三角形或者说在某个图形上存在某个点使得某两个三角形相似这都是我们经常遇见的问题，考验的是学生缜密的逻辑思维能力。COPQEBCOPQHB数形结合在中考压轴题中的应用5/113.如图1，已知直线12yx与抛物线2164yx交于AB，两点．（1）求AB，两点的坐标；（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在AB，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与AB，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．[解]（1）解：依题意得216412yxyx解之得12126432xxyy(63)(42)AB，，，（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于CD，两点，交AB于M（如图1）由（1）可知：3525OAOB55AB1522OMABOB过B作BEx⊥轴，E为垂足由BEOOCM△∽△，得：54OCOMOCOBOE，，同理：55500242ODCD，，，，设CD的解析式为(0)ykxbkyxOyxOPA图2图1BBAyxO图1DMACB第26题Ｅ数形结合在中考压轴题中的应用6/1152045522kkbbbAB的垂直平分线的解析式为：522yx．（3）若存在点P使APB△的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线12yxm上，并设该直线与x轴，y轴交于GH，两点（如图2）．212164yxmyx2116042xxm抛物线与直线只有一个交点，2114(6)024m，2523144mP，在直线12524GHyx：中，25250024GH，，，2554GH设O到GH的距离为d，112212551252524224552GHdOGOHddABGH，∥P到AB的距离等于O到GH的距离d．另解：过P做PC∥y轴，PC交AB于C，当PC最大时△PBA在AB边上的高h最大（hyxOPA图2HGB数形结合在中考压轴题中的应用7/11与PC夹角固定），则S△PBA最大→问题转化为求PC最大值，设P（x,）,C（x,）,从而可以表示PC长度，进行极值求取。最后，以PC为底边，分别计算S△PBC和S△PAC即可。[点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。存在某点，使得某个图形的面积最大，这是我们遇见过不少次数的题型。这类题型一般有两种解法，通过作图的几何方法得到最大的高（底相同时），或者把这个图形的面积表示成关于某个自变量的二次函数，通过求二次函数的最值来求图形面积的最值。本题介绍的是两种几何方法，具体题目中要根据计算的繁简程度灵活确定解题方法。（此题中出现求已知线段的垂直评分线解析式，在其他的题目中，可能不是求垂直平分线，而是求已知线段的一条垂线解析式，只不过垂足不是中点而已。这一类的直线方程该怎么求，是常考的考点，自己要熟练掌握。4.如图①，正方形ABCD的顶点AB，的坐标分别为01084，，，，顶点CD，在第一象限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点40E，出发，沿x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，PQ，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求正方形ABCD的边长．（2）当点P在AB边上运动时，OPQ△的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求PQ，两点的运动速度．（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．（4）若点PQ，保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，OPQ∠的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，OPQ∠的大小随着时间t的增大而减小．当点P沿着这两边运动时，使90OPQ∠的点P有个．（抛物线20yaxbxca的顶点坐标是2424bacbaa，．yDACPBOEQxO10t2028s数形结合在中考压轴题中的应用8/11[解]（1）作BFy轴于F．01084AB，，，，86FBFA，．10AB．（2）由图②可知，点P从点A运动到点B用了10秒．又1010101AB，．PQ，两点的运动速度均为每秒1个单位．（3）方法一：作PGy轴于G，则PGBF∥．GAAPFAAB，即610GAt．35GAt．3105OGt．4OQt，113410225SOQOGtt．即231920105Stt．19195323210ba，且190103≤≤，当193t时，S有最大值．此时4763311051555GPtOGt，，点P的坐标为7631155，．（8分）数形结合在中考压轴题中的应用9/11方法二：当5t时，1637922OGOQSOGOQ，，．设所求函数关系式为220Satbt．抛物线过点63102852，，，，1001020286325520.2abab，31019.5ab，231920105Stt．19195323210ba，且190103≤≤，当193t时，S有最大值．此时7631155GPOG，，点P的坐标为7631155，．（4）2．．5.如图①，RtABC△中，90B，30CAB．它的顶点A的坐标为(100)，，顶点B的坐标为(553)，，10AB，点P从点A出发，沿ABC的方向匀速运动，同时点Q从点(02)D，出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求BAO的度数．（2）当点P在AB上运动时