排列与组合知识点

排列与组合一、两个基本计数原理：（排列与组合的基础）1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，……，在第n类办法中有nm种不同的方法，那么完成这件事共有nmmmN21种不同方法.2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有1m种不同的方法，做第二步有2m种不同的方法，……，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事共有nmmmN21种不同的方法.二、排列与组合（1）排列定义:一般地，从n个不同元素中取出)(nmm个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；排列数用符号mnA表示对排列定义的理解：1、定义中包括两个基本内容：①取出元素②按照一定顺序。因此，排列要完成的“一件事情”是“取出m个元素，再按顺序排列”2、相同的排列：元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同。若只有元素相同或部分相同，而排列顺序不相同，都是不同的排列。比如abc与acb是两个不同的排列描述排列的基本方法：树状图排列数公式：),)(1()2)(1(NmnmnnnnAmn我们把正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用!n表示，即12)2()1(!nnnn，并规定1!0。全排列数公式可写成!nAnn.由此，排列数公式可以写成阶乘式：)!(!)1()2)(1(mnnmnnnnAmn（主要用于化简、证明等）排列应用题的主要解题方法有：直接法、间接法（排除法）、优先法、捆绑法、插空法、定序问题除法处理1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算2、间接法（排除法）：先不考虑题目中的限制条件，求出所有的排列数，然后从中减去不符合条件的排列数，从而得到所求的排列数。因此间接法又称排除法。3、优先法：优先安排特殊元素或特殊位置。例题：由0,1,2,3,4,5共六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万又不是5个倍数的数有多少个？（分别用直接法、优先法、间接法）4、捆绑法：在实际排列问题中，某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看成一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，这种方法称为捆绑法，即“相邻元素捆绑法”例2：3名男生，4名女生，全体站成一排，男生必须在一起，有几种排列方案？5、插空法：某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空当，也叫“不相邻元素插空法”例3：甲、乙等6人站成一排，要求甲和乙不相邻，有几种站法？6、定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列例4:7人站成一排，其中甲在乙前，乙在丙前（不一定相邻），则共有多少种不同的站法？（二）组合定义:一般地，从n个不同元素中取出)(nmm个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；组合数用符号mnC表示对组合定义的理解：（1）取出的m个元素不考虑顺序，也就是说元素没有位置要求，无序性是组合的特点.（2）只要两个组合中的元素完全相同，则不论元素的顺序如何，都是相同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合排列与组合的区别：主要看交换元素的顺序对结果是否有影响，有影响就是“有序”，是排列问题；没影响就是“无序”，是组合问题。组合数公式：),()!(!!!)1()2)(1(nmNmnmnmnmmnnnnAACmmmnmn，且变式：),,()!()1()2)(1()!(!!nmNmnCmnmnnnmnmnCmnnmn且组合数的两个性质1、mnnmnCC①计算mnC时，若2nm＞，通常不直接计算mnC，而改为计算mnnC，这样可以减少计算量②为了使这个公式在nm时也成立，我们规定10nC，这只是一个规定，并没有实际的组合意义2、11mnmnmnCCC例：若41313nnnCCC，则n的值为（）A.8B.7C.6D.不存在组合应用题主要解题方法：直接法、间接法（排除法）、隔板法1、直接法、间接法（见上）例：在100个零件中有80个正品、20个次品，从中任意选2个进行检测，其中至少有一个次品的选法有多少种？2、隔板法：解决类似不定方程整数解的个数问题例：求方程104321xxxx的正整数解的组数变式：将组成篮球队的10个名额分配给7所学校，每校至少1个名额，问名额的分配方式有多少种？排列组合高考题一、选择题:1、(2011年高考全国卷理科7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A.4种B.10种C.18种D.20种2、（2010年高考山东卷理科8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙不能排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A.36种B.42种C.48种D.78种3、（2010年高考全国卷I理科6）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A.30种B.35种C.42种D.48种4、(2010年高考天津卷理科10)如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色。则不同的涂色方法共有（）（）A.288种B.264种C.240种D.168种5、(2010年高考数学湖北卷理科8）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152B.126C.90D.546、(2010年高考湖南卷理科7)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）A．10B.11C.12D.157、（2010年高考四川卷理科10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）A.72B.96C.108D.144o*m8、（2010年高考北京卷理科4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（）A.8289AAB.C.8287AAD.9、(2010年高考全国2卷理数6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A.12种B.18种C.36种D.54种10、(2010年高考重庆市理科9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）A.504种B.960种C.1008种D.1108种11、（2009广东卷理）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A.36种B.12种C.18种D.48种12、（2009北京卷理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．64813、（2009全国卷Ⅰ理）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A.150种B.180种C.300种D.345种14、(2009湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）15、（2009全国卷Ⅱ理）甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）A.6种B.12种C.30种D.36种16、（2009辽宁卷理）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）8289AC8287AC.18A.24B.30C.36DA.70种B.80种C.100种D.140种17、(2009湖南卷理)从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位（）A85B56C49D2818、（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A.360B.188C.216D.96二、填空题:1、(2011年高考北京卷理科12)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有__________个。源:学科网ZXXK][2、（2010年高考浙江卷17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重“立定跳“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复。若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上下午都各测试一人，则不同的安排方式共有种。3、（2010年高考江西卷理科14）将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_____种。4、（2009宁夏海南卷理）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种。5、（2009天津卷理）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个。6、（2009浙江卷理）甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）。7、（2009重庆卷理）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种。372