几种特殊类型函数的积分

第四节有理函数的积分1.有理函数的积分法2.三角函数有理式的积分法3.简单无理函数的积分法4.小结、作业1/322、有理函数的分类：mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(一、有理函数的积分法其中00a，00b.,)1(mn——真分式；,)2(mn——假分式；1、有理函数的定义；2/323、有理函数积分法;)1(真分式）（多项式假分式多项式除法：部分分式之和真分式待定系数法)2(hkhhkqxpxqxpxxxbxxx)()()()()P()Q()P(21121011分母因式分解真分式),1,,2不可约因式为（其中hiqxpxii3/3211)(AA{11,111,10xxbkkkkkxx)(AAk,1,111)(DBDB112,1,11121,11,1qxpxxqxpxx})(DBDB2,,21,1,1hhhhhhhhhhqxpxxqxpxx（其中各系数待定）；4/32:)(DB)()3(2dxqpxxxxdxnn和计算简单积分)(DB2dxqpxxxnduauBpunpqapxu)()2D(B224;22,)B2D()()(2B2222nnIpauaud推出。及可由其中122)(IauduInn递推公式dxpqpxxn)]4()2[(DB22分母配成完全平方5/32(4)真分式化为部分分式之和的待定系数法:6532xxx)3)(2(3xxx分母因式分解,32xBxA部分分式之和),2()3(3xBxAx用分母乘两边),23()(3BAxBAx,3)23(,1BABA例1比较系数（比较系数法）,65BA6532xxx.3625xx6/32),2()3(3xBxAx由3,x令.或（赋值法）2),3(33B得;6B2,x令.5A7/322)1(1xx,)1(12xCxBxA.)1()1(12CxxBxxA令,0x;1A令,1x;1C比较二次项的系数，.)1(11112xxx2)1(1xx例21.AB（综合法）8/32,0BA得例3.1515221542xxx)1)(21(12xx),21)(()1(12xCBxxA,21x令,1212xCBxxA)1)(21(12xx;54ACAx1,0得令;51C比较一次项的系数，.52B（综合法）9/32CB20得例4dxxxx)151522154(2dxxx)1)(21(12)21(21152xdx.arctan51)1ln(51|21|ln522Cxxx)1(115122xdxdxx21151dxxdxxxdxx2211511522115410/32例5dxxxxxx222)1()1()1(分解为部分分式之和dxxxx222)1(dxxxxxx))1(111(222)())]1()[()()1()()(2124122121214122121xdxxxxd分母配成完全平方（没有用待定系数法）11/32)(212112221IauuaI递推公式Cauaaarctan41432C。还原2222221)()(2121auaudII)1(2122au2222222241121)(21)(aududuauuauduaxu换元：12/32注（1）有理函数的原函数都是初等函数；有理函数的积分一定可以“积出来”；（2）有理函数的积分总可以“程序化地”求出来；（3）对具体的有理函数的积分可能有特定的简便求法。13/32例6dxxxx10362dxxxxx103)236()103(2122103))103(2122xxxxddxxxxx71)2)(5()2()5(29|103|ln212xx.|52|ln149|103|ln212Cxxxx)52(149xdxxdx14/32*例7dxeeexxx63211dtttttxettx61123ln66换元：dtttt)1)(1(162分母因式分解dttttt2133136表为部分分式之和Cttttarctan3)1ln(23)1ln(3ln62)1ln(3ln6ttdttttd2221131)1(23还原15/321、三角有理式的定义：——由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数．三角函数有理式可记为)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx2sec2tan22xx,2tan12tan22xx2sin2coscos22xxx二、三角函数有理式的积分2、三角有理式的积分法：2sec2tan122xx,2tan12tan122xx16/32令2tanxu,12sin2uux,11cos22uuxuxarctan2则duudx212万能代换dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR万能代换公式：。—化为有理函数的积分—17/32例8dxxxxcossin1sin222222tan121112112uduuuuuuuxu万能代换：duuuu)1)(1(22duuuuu)1)(1()1()1(222duuu211duu1121uduudu121uudu。还原uarctan)1ln(212uCu|1|ln18/32例9求.sin14dxx解法一用万能代换dxx4sin12422tan12)12(1uduuuxuCuuuu]33331[8133还原duuuuu4642833119/32解法二先降分母次数dxx4sin1Cvv1313.cotcot313Cxx还原dxx2)2cos1(4半角公式duuxu22)cos1(1222222tan12)111(12vdvvvuv万能代换：dvvv42120/32注（1）用万能代换一定能将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分；（2）万能代换不一定是最好的；（3）常用的将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分的代换方法（非“万能的”）：1）若R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx)，可取u=cosx为积分变量；2）若R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx)，可取u=sinx为积分变量；3）若R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx)，可取u=tanx为积分变量。21/32解法三dxx4sin1Cxxtan1tan313.cotcot313Cxx为积分变量以xtanxxdx24sectansin1xdxxtantansec42xdxxtantantan14222/32例10求.cossin1dxxx解一dxxxcossin1为奇函数关于xsin为积分变量以xcosxxdxxsincoscossin1uuduxu)1(2cos222)1(212uuudu）（为积分变量以)()1()1(2122222uduuuu)()111(21222uduuCuu))1ln((ln2122。整理、还原23/32解二dxxxcossin1为奇函数关于xcos为积分变量以xsinxxdxxcossincossin1)1(2sinuuduxu.解三dxxxcossin1)3满足为积分变量以xtanxxdxx2sectancossin1xxdtantan.24/32解四dxxxcossin1倍角公式dxx2sin2.|2cot2csc|lnCxx解五dxxxcossin1三角公式dxxxxxcossincossin22dxxx)cot(tan)2(2cscxxdCxx|sin|ln|cos|ln.|tan|lnCx25/32例11dxxxxsin3sinsin1dxxxxcos2sin2sin1恒等变形dxxxx2cossin4sin1变形dxxx2cossin141线性dxx2cos141dxxxxx222cossincossin41变形xdx2sec41dxxdxxxsin141cossin412xtan41xdxxdxcsc41)(coscos1412xtan41xcos41xxcotcscln41.tan41Cx26/32),,(nbaxxR的积分),(necxbaxxR有理函数的积分.三、简单无理函数的积分ecxbaxubaxunn,换元：27/32dxxxx11)12(111222dttttt1222tdttdtt11122Cttt11ln2.11ln122Cxxxxx例12求dxxxx11解令txx1,112tx,1222ttdtdx28/32例13dxxx32)1)(1(1dxxxx)1(1133变形1113xdxxx,1611,11232333dt)(tt,dxttxxxt则令133tdt有理化所求积分Ctttt)312arctan(3)1ln(21|1|ln2有理函数积分法.还原29/32例14dxxx3111616)1(1xttx令dttt163Ctttt|1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx注可使积分有理化。的最小公倍数，为，其中令的积分，对形如knnnnnnecxbaxtecxbax,,ecxbaxxRk,,),(11dtttt5236130/32*例15求.1213dxxxx解要将两个不同的根式分开，对分母进行有理化。原式dxxxxxxxx)1213)(1213()1213(dxxx)1213()13(1331xdx)12(1221xdx.)12(31)13(922323Cxx31/32（3）一些简单无理式的“程序化”积分法.（1）有理式的“程序化”积分法；（2）三角有理式的“程序化”积分法；（具体三角有理式可能有其特定的简便积分法；用“万能代换”之前应先考虑是否有更简便的方法）四、小结（具体有理式可能有其特定的简便积分法）32/32作业•习题4-41-(13)(20)(22)