2014・高三总复习数学(理)2第6章 第7讲 数学归纳法

第1页第六章第7讲第7讲数学归纳法第2页第六章第7讲不同寻常的一本书，不可不读哟！1.了解数学归纳法的原理．2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.第3页第六章第7讲1个重要方法数学归纳法是证明与正整数有关的命题的常用方法，特别是数列中等式、不等式的证明，在高考中经常出现．2个必会步骤1.第一步是递推的基础，验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．2.第二步是递推的依据，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明n＝k＋1时，命题也成立的过程中一定要用到它．第4页第六章第7讲3点必须注意1.初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可．2.在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k到k＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．3.解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.第5页第六章第7讲课前自主导学第6页第六章第7讲1.数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当n取________时命题成立，这一步是归纳奠基．(2)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当________时命题也成立，这一步是归纳递推．完成这两个步骤，就可以断定命题对一切n∈N*，n≥n0，命题成立．第7页第六章第7讲(1)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0＝________.(2)用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1)”，在验证n＝1时，左端计算所得的项为________．(3)已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则f(n)共有________项，f(2)＝________.第8页第六章第7讲2．数学归纳法的框图表示第9页第六章第7讲对于不等式n2＋nn＋1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋11＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋kk＋1，第10页第六章第7讲则当n＝k＋1时，k＋12＋k＋1＝k2＋3k＋2k2＋3k＋2＋k＋2＝k＋22＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立．则上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确第11页第六章第7讲1.第一个值n0n＝k＋1填一填：(1)3(2)1＋a＋a2(3)n2－n＋112＋13＋142．n＝k＋1时命题也成立对一切n∈N*，n≥n0选一选：D第12页第六章第7讲核心要点研究第13页第六章第7讲例1[2013·青岛调研]用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋)．[审题视点]从n＝k到n＝k＋1的过渡，左边增加了因式(2k＋1)(2k＋2)减少了因式k＋1，右边2k变成2k＋1增加了因式(2k＋1)．第14页第六章第7讲[证明](1)当n＝1时，左边＝2＝右边，等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，等式成立，即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，则当n＝k＋1时，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·2(2k＋1)＝2k·2(2k＋1)·1·3·5…(2k－1)＝2k＋1·1·3·5…(2k－1)·[2(k＋1)－1]∴当n＝k＋1时等式也成立．由(1)、(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．第15页第六章第7讲1．用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是几．2．由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．第16页第六章第7讲[变式探究]用数学归纳法证明：对任意的n∈N*，11×3＋13×5＋…＋12n－12n＋1＝n2n＋1.证明：(1)当n＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＝k2k＋1，第17页第六章第7讲则当n＝k＋1时，11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＋12k＋12k＋3＝k2k＋1＋12k＋12k＋3＝k2k＋3＋12k＋12k＋3＝2k2＋3k＋12k＋12k＋3＝k＋12k＋3＝k＋12k＋1＋1，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立.第18页第六章第7讲例2用数学归纳法证明：1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N*)．[证明](1)当n＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，∴32≤1＋12≤32，即命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即1＋k2≤1＋12＋13＋…＋12k≤12＋k，则当n＝k＋1时，第19页第六章第7讲1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k1＋k2＋2k·12k＋1＝1＋k＋12.又1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k12＋k＋2k·12k＝12＋(k＋1)，即n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．第20页第六章第7讲奇思妙想：不等式：1＋12＋13＋…＋1n2n(n∈N*)，用数学归纳法如何证明？证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝2.左边右边，所以不等式成立，②假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k2k.第21页第六章第7讲那么当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋12k＋1k＋1＝2kk＋1＋1k＋1k＋k＋1＋1k＋1＝2k＋1k＋1＝2k＋1.这就是说，当n＝k＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n∈N*都成立．第22页第六章第7讲1．用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式，一般有三种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是比较两个式子的大小，先利用n的几个特殊值猜想大小再给出证明；三是已知不等式成立，寻求变量的取值范围．2．在证明由n＝k到n＝k＋1成立时，一定要用归纳假设n＝k时得到的中间过渡式，由过渡式到目标式的证明可以用放缩法、基本不等式、分析法等．第23页第六章第7讲[变式探究][2013·南京模拟]已知等比数列{an}的首项a1＝2，公比q＝3，Sn是它的前n项和．求证：Sn＋1Sn≤3n＋1n.证明：由已知，得Sn＝3n－1，Sn＋1Sn≤3n＋1n等价于3n＋1－13n－1≤3n＋1n，即3n≥2n＋1.(*)用数学归纳法证明上面不等式成立．①当n＝1时，左边＝3，右边＝3，所以(*)式成立．第24页第六章第7讲②假设当n＝k(k≥1)时，(*)式成立，即3k≥2k＋1，那么当n＝k＋1时，3k＋1＝3×3k≥3(2k＋1)＝6k＋3≥2k＋3＝2(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，(*)式成立．综合①②得3n≥2n＋1成立．所以Sn＋1Sn≤3n＋1n.第25页第六章第7讲例3[2013·保定质检]是否存在正整数m使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．[审题视点]考虑到该问题与正整数n有关，故可用数学归纳法证明，观察所给函数式，凑出推理要证明所需的项．第26页第六章第7讲[解]由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9得，f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜想：m＝36.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，显然成立；(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；当n＝k＋1时，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝(2k＋7)·3k＋1＋27－27＋2·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由于3k－1－1是2的倍数，故18(3k－1－1)能被36整除，这就是说，当n＝k＋1时，f(n)也能被36整除．由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最大值为36.第27页第六章第7讲证明整除问题的关键“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证．第28页第六章第7讲[变式探究]用数学归纳法证明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n∈N*.证明：(1)当n＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．(2)假设当n＝k时，42k＋1＋3k＋2能被13整除，则当n＝k＋1时，42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除∴当n＝k＋1时也成立．由(1)(2)知，当n∈N*时，42n＋1＋3n＋2能被13整除.第29页第六章第7讲例4[2013·陕西模拟]数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4；(2)猜想通项公式an，并用数学归纳法证明．[审题视点](1)利用前n项和的关系式，对于n令值，就可以得到数列的前几项．(2)结合前几项的规律，归纳猜想其通项公式，然后运用数学归纳法分为两步骤求解得到结论．第30页第六章第7讲[解](1)a1＝1，a2＝32，a3＝74，a4＝158.(2)猜想an＝2n－12n－1，证明：当n＝1时，a1＝1猜想显然成立；①假设当n＝k(n≥1且n∈N*)时，猜想成立，即ak＝2k－12k－1，Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝2k－ak，那么，第31页第六章第7讲n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－(2k－ak)，∴ak＋1＝2＋ak2＝2＋2k－12k－12＝2k＋1－12k，∴当n＝k＋1时猜想成立；②综合①②，当n∈N*时猜想成立．第32页第六章第7讲(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．第33页第六章第7讲[变式探究]已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n＋1·n2，其前n项和为Sn，(1)求S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的值；(2)用数学归纳法证明(1)中所猜想的结论．第34页第六章第7讲解：(1)S1＝(－1)2·12＝1，S2＝1－4＝－3，S3＝1－4＋9＝6，S4＝1－4＋9－16＝－10，猜想：Sn＝(－1)n＋1nn＋12，n∈N*.(2)由(1)知即证明Sn＝(－1)n＋1nn＋12，n∈N*①当n＝1时，S1＝(－1)1＋11×1＋12＝1，猜想成立；第35页第六章第7讲②假设n＝k(k≥1)时猜想成立，即Sk＝(－1)k＋1kk＋12，则n＝k＋1时Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝(－1)k＋1kk＋12＋(－1)k＋1＋1(k＋1)2＝(－1)k＋2(k＋1)(－k2＋k＋1)＝(－1)k＋1＋1·k＋1[k＋1＋1]2所以，n＝k＋1时，猜想也成立；由①、②可得Sn＝(－1)n＋1nn＋12，n∈N*.第36页第六章第7讲课课精彩无限第37页第六章第7讲【选题·热考秀】[2012·全国高考]函数f(x)＝x2－2x－3.定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过两点P(4,5)、Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x