点与直线、直线与直线的位置关系高考复习教案

2013年点与直线、直线与直线的位置关系高考复习教案2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第八章8.2点与直线、直线与直线的位置关系考纲要求1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识梳理1．两直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．(1)两直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔________________.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔__________________________.(2)两直线垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1k2＝____.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔____________.2．两直线的交点设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，将这两条直线的方程联立，得方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0，若方程组有唯一解，则l1与l2____，此解就是两直线交点的坐标；若方程组无解，则l1与l2____；若方程组有无数个解，则l1与l2____.3．有关距离(1)两点间的距离平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝____________.(2)点到直线的距离平面上一点P(x0，y0)到一条直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝____________.(3)两平行线间的距离已知l1，l2是平行线，求l1，l2间距离的方法：①求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2之间的距离d＝________.4．对称问题(1)中点坐标公式设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为____________．(2)中心对称若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得______．(3)轴对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l.由方程组Ax1＋x22＋By1＋y22＋C＝0，y1－y2x1－x2＝BA可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A≠0，x1≠x2)．基础自测1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()．A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝02．点P在直线x＋y－4＝0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为()．A．13B．22C．6D．23．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝()．A．2B．1C．0D．－14．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一点，则b＝()．A．－1B．－12C．2D．125．求与直线x－y＋2＝0平行，且它们之间的距离为32的直线方程．思维拓展1．研究两直线的位置关系时，若直线方程的系数含有变量应注意什么？提示：在利用斜率、截距研究两直线的位置关系时，若直线方程中y的系数含有字母参数，则斜率可能有不存在的情况．此时，应对其按y的系数为零(斜率不存在)和不为零(斜率存在)两种情况进行讨论．利用斜率相等研究两条直线平行时，要注意重合的情形．2．运用距离公式时应注意什么？提示：点到直线的斜率公式适用于任何形式的直线方程，在运用该公式时，应首先把直线方程化为一般式；在运用两平行线间的距离公式时，要注意先把两直线方程中x，y的系数化成相等的形式．一、两直线的平行【例1】直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为()．A．2B．－3C．2或－3D．－2或－3方法提炼1．判定两直线平行的方法：(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1＝k2，且b1≠b2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0.2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，这也是经常采用的解题技巧．请做[针对训练]1二、两直线的垂直【例2】求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．方法提炼1．判定两直线垂直的方法：(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1k2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两直线也垂直．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．与Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0，这也是经常采用的解题技巧．请做[针对训练]2三、距离公式的应用【例3－1】已知直线l过两直线3x＋4y－5＝0,2x－3y＋8＝0的交点P，且与A(2,3)，B(－4,5)两点距离相等，求直线l的方程．【例3－2】已知直线l过点P(3,1)，且被两平行线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．方法提炼运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式．请做[针对训练]3四、对称问题【例4－1】已知直线l1：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l1的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l1的对称直线l2的方程；(3)直线l1关于点A对称的直线l3的方程．【例4－2】已知直线l1：2x＋y－4＝0，求l1关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．方法提炼1．在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称．处理这种问题关键是抓住垂直与平分两个几何条件，转化为代数关系列方程求解；线关于线的对称问题，可以转化为点关于直线的对称问题来解决；直线关于点的对称可转化为点关于点的对称来处理，结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题也是这类问题的一个通法．2．求与距离有关的最值问题，一般是通过作图，转化为对称问题加以解决．请做[针对训练]4考情分析通过分析近几年的高考试题可以看出，对于本节内容的考查，主要侧重以下几个方面：(1)判断两直线平行与垂直的位置关系，或以平行、垂直的位置关系为载体求相关参数的值；(2)对距离公式的考查，主要是把它作为工具来使用；(3)对称问题侧重点与点关于直线的对称．思想方法主要侧重分类讨论、数形结合、方程思想等．考查的形式以选择题、填空题为主．针对训练1．与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程为__________．2．(2011浙江高考，文12)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.3．若P(a，b)在直线x＋y＋1＝0上，求a2＋b2－2a－2b＋2的最小值．4．(1)在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)在直线l：3x－y－1＝0上求一点Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)k1＝k2，且b1≠b2A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(2)－1A1A2＋B1B2＝02．相交平行重合3．(1)(x2－x1)2＋(y2－y1)2(2)|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(3)②|C1－C2|A2＋B24．(1)x1＋x22，y1＋y22(2)x＝2a－x1，y＝2b－y1基础自测1．A解析：∵所求直线与直线x－2y－2＝0平行，∴所求直线的斜率为12，方程为y－0＝12(x－1)，即x－2y－1＝0.2．B解析：根据题意知，|OP|的最小值为原点O到直线x＋y－4＝0的距离．根据点到直线的距离公式，得42＝22.3．D解析：∵两直线垂直，∴a(a＋2)＝－1.∴a＝－．B解析：解方程组2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，得x＝－1，y＝－2，∴三条直线交于点(－1，－2)．∴－1－2b＝0，即b＝－12.5．解：设与直线x－y＋2＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，根据平行线间的距离公式，得|2－m|2＝32⇒|2－m|＝6⇒m＝－4或m＝8，即所求的直线方程为x－y－4＝0，或x－y＋8＝0.考点探究突破【例1】C解析：解法一：当m＝－1时，l1：2x＋4＝0，l2：－x＋3y－2＝0显然l1与l2不平行；当m≠－1时，因为l1∥l2，所以应满足－2m＋1＝－m3且－4m＋1≠23，解得m＝2或m＝－解法二：若l1∥l2，需2×3－m(m＋1)＝0，解得m＝－3或m＝2.当m＝－3或2时，－2(m＋1)－12≠0.∴m＝－3或2为所求．【例2】解：解法一：∵直线2x＋y－10＝0的斜率不为0，∴直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k.∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，∴k(－2)＝－1.∴k＝12.又∵l经过点A(2,1)，∴所求直线l的方程为y－1＝12(x－2)，即x－2y＝0.解法二：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.∵直线l经过点A(2,1)，∴2－2×1＋m＝0.∴m＝0.∴所求直线l的方程为x－2y＝0.【例3－1】解：解方程组3x＋4y－5＝0，2x－3y＋8＝0，得x＝－1，y＝2.故交点P(－1,2)．(1)当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意得|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，解得k＝－13，∴直线l方程为y－2＝－13(x＋1)即x＋3y－5＝0.(2)当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x＝－1，此时也符合题目要求．综合(1)(2)知，所求直线方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.【例3－2】解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1，l2的交点分别是A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意．当直线l的斜率存在时，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1，分别与直线l1，l2的方程联立，由y＝k(x－3)＋1，x＋y＋1＝0，解得A3k－2k＋1，1－4kk＋1.由y＝k(x－3)＋1，x＋y＋6＝0，解得B3k－7k＋1，1－9kk＋1.由两点间的距离公式，得3k－2k＋1－3k－7k＋12＋1－4kk＋1－1－9kk＋12＝25，解得k＝0，即所求直线方程为y＝综上可知，直线l的方程为x＝3，或y＝1.解法二：因为两平行线间的距离d＝|6－1|2＝522，如图，直线l被两平行线截得的线段长为5，设直线l与两平行线的夹角为θ，则，所以θ=45°.因为两平行线的斜率是，故所求直线的斜率不存在，或为0.又因为直线l过点P(3,1)，所以直线l的方程为x=3，或【例4－1】解：(1)设A′(x，y)，由已知得y＋2x＋123＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，解得x＝－3313，y＝故A′－3313，(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M关于l1的对称点必在l2上．设对称点为M′(a，b)，则由2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1，得M′613，30设m与l1的交点为N，由2x－3y＋1＝0，3x－2y－6＝0，得N(4,3)．又l2过N点，由两点式得直线l2的方程为9x－46y＋102＝0