数列的概念与简单表示法第二课时(改)

复习回顾:按一定顺序排成的一列数叫做数列.如果数列的第n项与项数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.nana4.数列的通项公式：1.数列的定义：5.数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,...n})为定义域的函数an=f(n)3.数列的分类无穷数列有穷数列递增数列递减数列摆动数列常数列数列的一般形式可以写成：简记为{an}123naaaa，，，，，2.数列中的每一个数叫做这个数列的项。各项依次叫做这个数列的首项，第2项，···，第n项，···0123456149162xxf连续的曲线2nan孤立的点与函数一样，数列也可以用图象、列表等方法来表示图象做出常数数列：,4,4,4,412345123450图象，，，，做出摆动数列：11-11-是些孤立点列表法：以数列:2,4,6,8,10,12,···为例图象法：通项公式法:an=2nn12345…an246810…(n1)根据数列的前若干项写出的通项公式的形式唯一吗？请举例说明。例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：;515,414,313,212)1(22222111nnan201,121,61,21)2(1(1)(1)nnann(3)9，99，999，9999,99999.nn10-1a(4)1，11，111，1111，11111．nn1(10-1)9a1、递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的另一项ak（或另几项）之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.nana(递推关系式)（1）递推公式也是给出数列的一种方法.（2）注意定义中的逻辑联结词“且”所给出的含义.例如.已知数列{an}满足：)2(2*1Nnnaann且且,31a(初始条件)（3）数列的递推公式和通项公式的异同点是什么？数列的递推公式(1)通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，通过通项公式就可以求出该项an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.(2)如何用递推公式给出一个数列用递推公式给出一个数列，必须给出①“基础”——数列an的第1项或前几项；②递推关系——数列an的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示．例2.已知数列｛an｝的第1项是1，以后的各项由公式给出，写出这个数列的前5项.111nnaa-=+解:据题意可知：a1=1,2111112,1aa=+=+=3211311,22aa=+=+=4312511,33aa=+=+=5413811.55aa=+=+=na的前5项是:.58,35,23,2,1题型一根据递推关系求数列的项例3.数列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an(1)求{an}的前4项;(2)猜想{an}的通项公式题型二由递推关系式求数列的通项公式41212aa62323aa83434aanan22．数列的前n项和：数列{an}中，a1+a2+…+an称为数列的前n项和，记为Sn.S1表示前1项之和：S1=a1S2表示前2项之和：S2=a1+a2……Sn-1表示前n-1项之和：Sn-1=a1+a2+…+an-1Sn表示前n项之和：Sn=a1+a2+…+an.∴当n≥1时Sn才有意义；当n-1≥1即n≥2时Sn-1才有意义.2020/3/16113．Sn与an之间的关系：由的定义可知，当n=1时，S1=a1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1，说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.11(1)(2)nnnSnaSSn即2020/3/1612A组专项基础训练例4已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.解(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式；当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2·3n－1，n≥2.A组专项基础训练练习．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5ak8，则k的值为________．∵Sn＝n2－9n，∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，a1＝S1＝－8适合上式，∴an＝2n－10(n∈N*)，∴52k－108，得7.5k9.∴k＝8.84判断数列的单调性[思路探索]作差法，比较相邻两项an＋1与an的大小．已知数列{an}的通项公式为an＝n2n2＋1，试判断该数列的单调性．【例5】解an＋1－an＝n＋12n＋12＋1－n2n2＋1＝n＋12n2＋1－n2[n＋12＋1][n＋12＋1]n2＋1＝2n＋1[n＋12＋1]n2＋1，由n∈N*，得an＋1－an0，即an＋1an.∴数列{an}是递增数列．单调性是数列的一个重要性质．判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N*)的大小，若an＋1an恒成立，则{an}为递增数列；若an＋1an恒成立，则{an}为递减数列．用作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．[思路探索](1)令an＜0即可；(2)利用求函数最值的方法求解；或利用an≤an＋1及an≤an－1求最小项．解(1)由n2－5n＋40，解得1n4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．5求数列的最大(小)项【例5】(2)法一∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94，可知对称轴方程为n＝52＝2.5.又∵n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.法二设第n项最小，由an≤an＋1，an≤an－1，得n2－5n＋4≤n＋12－5n＋1＋4，n2－5n＋4≤n－12－5n－1＋4.解这个不等式组，得2≤n≤3，∴n＝2,3.∴a2＝a3且最小．∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.求数列{an}的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由an≤an＋1，an≤an－1.来确定n，求最大项可由an≥an＋1，an≥an－1.来确定n.若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)1011n(n∈N*)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．解法一假设数列{an}中存在最大项．∵an＋1－an＝(n＋2)1011n＋1－(n＋1)1011n＝1011n·9－n11，当n9时，an＋1－an0，即an＋1an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n9时，an＋1－an0，即an＋1an，故a1a2a3…a9＝a10a11a12…，【变式2】所以数列中有最大项，最大项为第9,10项，且a9＝a10＝1010119.法二假设数列{an}中有最大项，并设第k项为最大项，则ak≥ak－1ak≥ak＋1对任意的k∈N＋且k≥2都成立．即k＋11011k≥k1011k－1，k＋11011k≥k＋21011k＋1.∴1011k＋1≥k，k＋1≥1011k＋2.解得9≤k≤10.又k∈N＋，∴数列{an}中存在的最大项是第9项和第10项．且a9＝a10＝1010119.补充提高：数列𝑎𝑛通项为𝑎𝑛=𝑛2+𝑚𝑛,若此数列是递增数列，求实数𝑚的取值范围。1、递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的另一项ak（或另几项）之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.nana2、an与前n项和Sn之间的关系式为：an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2注意：由前n项和sn求通项公式an=f(n)时，要n=1与n≥2两种情况分别进行运算，然后验证两种情况可否用统一式子表示。若不能，就用分段函数表示.3、判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N*)的大小思路一思路二数列是一个特殊的函数，我们可以利用函数求最值的方法去求解数列中的最值问题.利用数列的单调性求解.判断数列的单调性往往只需要比较相邻两项an和an+1的大小。这一点源于函数的单调性而有充分利用了数列的特殊性.思路三利用an最大的一个必要条件首先求得满足条件的n的取值范围，然后找出此范围内的正整数的值，最后比较它们对应项的大小，其中最大的一项就是an的最大值.an≥an-1an≥an+1求解.