2011届高中数学总复习课件之直线与圆锥曲线的位置关系

•1.直线过点（2,4）与抛物线y2=8x只有一个公共点，这样的直线共有（）•A.1条B.2条•C.3条D.4条B•因为点(2,4)在曲线上，所以当直线与抛物线相切时只有一条，而当直线与抛物线的对称轴平行时也有一条，故共有2条，故选B.•易错点：直线与抛物线相交，交点的问题应注意到直线的斜率k不存在，以及直线平行抛物线对称轴时的两种情况.•2.若双曲线的两条渐近线恰好是抛物线y=ax2+的两条切线，则a的值为（）•A.B.C.D.•易得双曲线的渐近线方程为y=±•x，由对称性可知，直线y=x与曲线y=ax2+•相切，联立两方程消去y得ax2-x+=0，由Δ=，得a=，故选B.22194xy13B34193513232313231344093a13•3.已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（）•A.（1,2）B.（1,2］•C.D.（2,+∞）221124xyC33,33［］•可得双曲线的渐近线方程为y=±x，过点F分别作两条渐近线的平行线l1和l2，由图形可知，符合题意的直线斜率的取值范围为，故选C.•易错点：直线与双曲线相交问题，应结合图形分析直线与渐近线平行、相切等极端位置.3333,33［］•4.过抛物线y2=4x的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于P，Q两点，O为坐标原点，则△OPQ的面积是.3π422•因为直线方程为x+y-1=0，即x=1-y.•代入y2=4x，得：y2+4y-4=0，•设P（x1,y1），Q（x2,y2），•所以y1+y2=-4,y1·y2=-4，•所以•所以•故填161642，21212124yyyyyy（）121·2OABSOFyy1=142=222，22.•5.已知抛物线y2=2px（p0）的顶点为O焦点为F，点P为抛物线上一点，对于△POF的形状有下列说法：①可能为等腰三角形；②可能为等腰直角三角形；③可能为正三角形，其中正确的序号是.•结合图形当时，，不等于，也不等于，又因为通径长（过焦点F与对称轴垂直的弦长）为2p，则②③均不可能发生.故填①.4px22yp4p34p①，•1.直线与圆锥曲线的位置关系•直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点（特殊情况除外），相切只有一个交点，相离无交点.判断直线与圆锥曲线的位置关系，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y（或x）得变量x（或y）的方程：ax2+bx+c=0（或ay2+by+c=0）•若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：•Δ＞0•Δ=0•Δ0.•若a=0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点.若曲线为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行；若曲线为抛物线，则直线与抛物线的对称轴平行.•2.圆锥曲线的弦长问题设直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1,y1)，B(x2,y2)，•则弦长212122111.ABkxxyyk•重点突破：直线与圆锥曲线的位置关系•(Ⅰ)已知A(-3,4)，B(4,4)，若线段AB•与椭圆没有公共点，求正数a的取•值范围.•(Ⅱ)若直线y=kx+1与双曲线3x2-4y2=12有两个不同的交点，求实数k的取值范围.例12222yxa•(Ⅰ)利用图形进行分析，分两种情况解答，即线段AB在椭圆内和椭圆外.•(Ⅱ)联立直线与双曲线方程消去y得到关于x的二次方程，在二次项系数不等于零的情况下利用Δ＞0求解.•(Ⅰ)线段AB的方程为y=4(-3≤x≤4).①当线段AB在椭圆外时，a4，解得0a2•②当线段AB在椭圆内时，根据椭圆的对称性可知，解得a2，综上知正数a的取值范围是0a2或a2.2；2222442a，626•(Ⅱ)由y=kx+1与双曲线3x2-4y2=12联立消去y得(3-4k2)x2-8kx-16=0，•由题意知3-4k2≠0，即k≠±，则Δ=64k2+64（3-4k2）0，得k21，即-1k1，•综上所得3233331,,,1.2222k（）（）（）•(Ⅰ)解答直线与椭圆的位置关系有两种，即判别式法与数形结合法.•(Ⅱ)判断直线与双曲线的位置关系利用判别式法时，注意对二次项系数的讨论，二次项系数等于零实质是直线与渐近线平行的情况.•当k=时，直线y=k(x+1)与抛物线y2=4x恰有一个公共点.•由y=k(x+1)与y2=4x联立消去x，•得ky2-4y+4k=0，•当k=0时，直线与抛物线只有一个公共•当k≠0时，Δ=16-16k2=0，解得k=±1.•综上，k=-1,0,1.变式练习1-1，0，1点；•重点突破：中点弦及弦长问题•已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2+3y2=4上，点C在直线l：y=x+2上，且AB∥l.•(Ⅰ)当AB边通过坐标原点O时，求线段AB的长及△ABC的面积；•(Ⅱ)当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程.例2•(Ⅰ)求出直线AB的方程，与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系求出弦长AB，进而求出△ABC的面积；•(Ⅱ)先设直线AB的方程，然后建立斜边长AC是某一变量的函数关系式，求出取得最值时，相应的变量，即可求得直线AB的方程.•(Ⅰ)因为AB∥l，且AB边过点(0，0)，则AB所在直线的方程为y=x，•设A，B两点坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，•x2+3y2=4•y=x•所以•又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以h=，所以由，得x=±1，12222.ABxx21·2.2ABCSABh•(Ⅱ)设AB所在直线的方程为y=x+m，由•x2+3y2=4•y=x+m•因为A，B在椭圆上，所以Δ=-•设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，•则•所以，得4x2+6mx+3m2-4=0.12m2+640.y2)，2121233424mmxxxx，，21232622mABxx，•又因为BC的长等于点(0，m)到直线l的距离•即•所以•=-(m+1)2+11，•所以当m=-1时，AC边最长，(这时Δ=-12+•640)，此时AB所在直线的方程为y=x-1.•利用韦达定理、弦长公式可解答与弦中点有关的问题、弦长问题及弦所围成的三角形面积等高考常见热点问题.22mBC，2222210ACABBCmm•已知抛物线y2=8x上一个定点M(x0,y0)(y00)，过点N(x0+4,0)与MN垂直的直线交抛物线于P，Q两点，若•求△MPQ的面积.•据题意得：•=8x0••所以x0=2，y0=4，所以M(2,4)，N(6,0)，•所以变式练习242MN，20y2002(4)420MNxxy又因为y00，，40126MNk，•因为MN⊥PQ,所以kPQ=1，•则直线PQ方程为：y=x-6，•y=x-6•y2=8x•所以•又点M到直线PQ的距离为•所以SΔMPQ=×16×4=64.联立，得：y2-8y-48=0，122111164192PQyyk162，222464211d，1222•重点突破：最值与范围问题•设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，顶点A(0,-1).•(Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点，求•的最大值和最小值；•(Ⅱ)是否存在斜率为k(k≠0)的直线l，使l与已知椭圆交于不同的两点M、N，且•若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.例32213xy12·PFPFAMAN？•(Ⅰ)设点P(x,y)，利用函数的最值来求解.•(Ⅱ)假设存在，设出直线方程，与椭圆联立，由转化为AP是线段MN的垂直平分线，利用根与系数的关系可判断.AMAN•(Ⅰ)由题意知•所以F1(-,0)，F2(,0)，•设P(x,y)，•则•因为x∈［］，故当x=0时，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值-1；•当x=±时，即点P为椭圆长轴端点时，•有最大值1.3,1,2abc，22212·(2,)(2,)PFPFxyxyx222222121.33xyxx3,312·PFPF312·PFPF•(Ⅱ)设存在满足条件的直线l，其方程为y=kx+b(k≠0)，•y=kx+b••则Δ=36k2b2-4(3k2+1)(3b2-3)=36k2-12b2+•①•设M(x1,y1)，N(x2,y2)，得：由2213xy得：(3k2+1)x2+6bkx+3b2-3=0，120.1226.31bkxxk•从而MN的中点P的坐标为•因为所以AP是线段MN的垂直平分线，所以AP⊥MN，•于是•代入①并整理得：（3k2+1）（k2-1）0，所以-1k1，•故满足条件的直线l存在，其斜率k的范围为-1k1且k≠0.223-,.3131bkbkk（）AMAN，22211131,3132031bkbkbkkk（）（），•圆锥曲线中求最值与范围问题是高考中的常考问题，解决此类问题一般有两种思路：(1)构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来求解；(2)构造关于所求值的不等式，通过求不等式来获得问题的解.注意在解决此类问题的过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等.变式练习3•已知点A，B分别是椭圆•长轴的左、右端点，F点是椭圆的右焦点，点P在椭圆上且位于x轴的上方，PA⊥PF.•(Ⅰ)求点P的坐标.•(Ⅱ)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.236x2120y•(Ⅰ)由已知可得点A(-6,0),F(4，0),设点P(x,y)，y＞0，则=(x+6,y)，•(x+6)(x-4)+y2=0，•可得2x2+9x-18=0，解得x=,或x=-6，•由于y0，只能x=,于是y=，所以点P的坐标是(,).AP=(x-4,y)，由已知可得：2213620xyFP323253232532•(Ⅱ)易得直线AP的方程是x-y+6=0，设点M(m,0)，则M到直线AP的距离是，于是=|m-6|，•又-6≤m≤6，解得m=2，•所以椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有•d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-•由于-6≤x≤6，•所以当x=时，d取得最小值.362m62m259x2491592x（），9215•已知圆O：x2+y2=1，点O为坐标原点，一条直线l：y=kx+b(b0)与圆O相切并与椭圆交于不同的两点A，B.•(Ⅰ)设b=f(k)，求f(k)的表达式；•(Ⅱ)若，求直线l的方程；•(Ⅲ)若求三角形OAB面积的取值范围.例42212xy2·3OAOB23·34OAOBmm（），•(Ⅰ)由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径可求得.•(Ⅱ)联立直线与椭圆方程，由根与系数关系可求得.•(Ⅲ)利用弦长公式及求最值的方法可得.•(Ⅰ)因为y=kx+b(b＞0)与圆x2+y2=1相切，•则即b2=k2+1(k≠0)，所以21,1bk21.bk•y=kx+b•，•消去y得：(2k2+1)x2+4kbx+2b2-2=0,•所以Δ=8k2＞0(因为k≠0)，设A(x1,y1),•B(x2,y2),•则•所以k2=1，k=±1，则b2=2，•又b0，所以b=，•所以直线l的方程为y=x+或y=-x+.(Ⅱ)由2212xy21212212·,213kOAOBxxyyk222•(Ⅲ)由(Ⅱ)知：•因为所以•所以≤k2≤1，•由弦长公式得：•设O到直线AB的距离为d，则d=1，22121kmk，2334m，222133214kk，1222222121kABkk　，•所以•解得：•本题考查直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆与向量，不等式等知识的综合交汇，考查转化与化归思想.222121||1221kkSABk（），62.43S•1.直线与圆锥曲线的位置关系可通过对直线方程与圆