初中数学竞赛专项训练--找规律题

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1观察——归纳—猜想——找规律给出几个具体的、特殊的数、式或图形,要求找出其中的变化规律,从而猜想出一般性的结论.解题的思路是实施特殊向一般的简化;具体方法和步骤是:(1)通过对几个特例的分析,寻找规律并且归纳;(2)猜想符合规律的一般性结论;(3)验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题.一、数字类基本技巧(一)标出序列号:例如,观察下列各式数:0,3,8,15,24,……。我们把有关的量放在一起加以比较:给出的数:0,3,8,15,24,……。序列号:1,2,3,4,5,……。容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1。因此,第n项是2n-1(二)公因式法:每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n,或2n、3n有关。例如:1,9,25,49,(81),(121),的第n项为(2)12(n),1,2,3,4,5.。。。。。。,从中可以看出n=2时,正好是2×2-1的平方,n=3时,正好是2×3-1的平方,以此类推。(三)增副A:2、9、28、65.....增幅是7、19、37....,增幅的增幅是12、18答案与3有关且是n的3次幂,即:n3+1B:2、4、8、16.......增幅是2、4、8.......答案与2的乘方有关即:n2(四)有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用(一)、(二)、(三)技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来。例:2、5、10、17、26……,同时减去2后得到新数列:0、3、8、15、24……,序列号:1、2、3、4、5,从顺序号中可以看出当n=1时,得1*1-1得0,当n=2时,2*2-1得3,3*3-1=8,以此类推,得到第n个数为12n。再看原数列是同时减2得到的新数列,则在12n的基础上加2,得到原数列第n项12n(五)有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并恢复到原来。例:4,16,36,64,?,144,196,…?(第一百个数)同除以4后可得新数列:1、4、9、16…,很显然是位置数的平方,得到新数列第n项即n2,原数列是同除以4得到的新数列,所以求出新数列n的公式后再乘以4即,4n2,则求出第一百个数为4*1002=40000(一)等差数列例题:2,5,8,()。例题5:12,15,18,(),24,27。A.20B.21C.22D.23(二)等比数列2例题1:2,1,1/2,()。A.0B.1/4C.1/8D.-1例题2:2,8,32,128,()。(三)平方数列1、完全平方数列:正序:1,4,9,16,25逆序:100,81,64,49,362、一个数的平方是第二个数。1)直接得出:2,4,16,(256)解析:前一个数的平方等于第二个数,答案为256。2)一个数的平方加减一个数等于第二个数:1,2,5,26,(677)前一个数的平方加1等于第二个数,答案为677。3、隐含完全平方数列:1)通过加减一个常数归成完全平方数列:0,3,8,15,24,(35)前一个数加1分别得到1,4,9,16,25,分别为1,2,3,4,5的平方,答案352)相隔加减,得到一个平方数列:例:65,35,17,(3),1A.15B.13C.9D.3解析:不难感觉到隐含一个平方数列。进一步思考发现规律是:65等于8的平方加1,35等于6的平方减1,17等于4的平方加1,再观察时发现:奇位置数时都是加1,偶位置数时都是减1,所以下一个数应该是2的平方减1等于3,答案是D。*(四)立方数列立方数列与平方数列类似。例题1:1,8,27,64,(125)解析:数列中前四项为1,2,3,4的立方,显然答案为5的立方,为125。例题2:0,7,26,63,(124)解析:前四项分别为1,2,3,4的立方减1,答案为5的立方减1,为124。(五)、加法数列数列中前两个数的和等于后面第三个数:n1+n2=n3例题1:1,1,2,3,5,(8)。A8B7C9D10解析:第一项与第二项之和等于第三项,第二项与第三项之和等于第四项,第三项与第四项之和等于第五项,按此规律3+5=8答案为A。例题2:4,5,(9),14,23,37A6B7C8D9解析:与例一相同答案为D例题3:22,35,56,90,(145)99年考题A162B156C148D145解析:22+35-1=56,35+56-1=90,56+90-1=145,答案为D(六)、减法数列前两个数的差等于后面第三个数:n1-n2=n3例题1:6,3,3,(0),3,-3A0B1C2D3解析:6-3=3,3-3=0,3-0=3,0-3=-3答案是A。(提醒您别忘了:“空缺项在中间,从两边找规律”)(七)、乘法数列1、前两个数的乘积等于第三个数3例题1:1,2,2,4,8,32,(256)前两个数的乘积等于第三个数,答案是256。例题2:2,12,36,80,()(2007年考题)A.100B.125C.150D.175解析:2×1,3×4,4×9,5×16自然下一项应该为6×25=150选C,此题还可以变形为:212,322,432,245…..,以此类推,得出)1(2nn2、两数相乘的积呈现规律:等差,等比,平方等数列。例题2:3/2,2/3,3/4,1/3,3/8(A)(99年海关考题)A1/6B2/9C4/3D4/9解析:3/2×2/3=12/3×3/4=1/23/4×1/3=1/41/3×3/8=1/83/8×?=1/16答案是A。(八)、除法数列与乘法数列相类似,一般也分为如下两种形式:1、两数相除等于第三数。2、两数相除的商呈现规律:顺序,等差,等比,平方等。(九)、质数数列由质数从小到大的排列:2,3,5,7,11,13,17,19…(十)、循环数列几个数按一定的次序循环出现的数列。例:3,4,5,3,4,5,3,4,5,3,4以上数列只是一些常用的基本数列,考题中的数列是在以上数列基础之上构造而成的,下面我们主要分析以下近几年考题中经常出现的几种数列形式。1、二级数列这里所谓的二级数列是指数列中前后两个数的和、差、积或商构成一个我们熟悉的某种数列形式。例1:26122030(42)A.38B.42C.48D.56解析:后一个数与前个数的差分别为:4,6,8,10这显然是一个等差数列,因而要选的答案与30的差应该是12,所以答案应该是B。例2:2022253037()A.39B.45C.48D.51解析:后一个数与前一个数的差分别为:2,3,5,7这是一个质数数列,因而要选的答案与37的差应该是11,所以答案应该是C。例3:25112032(47)A.43B.45C.47D.49解析:后一个数与前一个数的差分别为:3,6,9,12这显然是一个等差数列,因而要选的答案与32的差应该是15,所以答案应该是C。例4:4571l19(35)A.27B.31C.35D.41解析:后一个数与前一个数的差分别为:1,2,4,8这是一个等比数列,因而要选的答案与19的差应该是16,所以答案应该是C。例5:34716(43)A.23B.27C.39D.43解析:后一个数与前一个数的差分别为:1,3,9这显然也是一个等比数列,因而要选的答案与16的差应该是27,所以答案应该是D。例6:3227232018(17)4A.14B.15C.16D.17解析:后一个数与前一个数的差分别为:-5,-4,-3,-2这显然是一个等差数列,因而要选的答案与18的差应该是-1,所以答案应该是D。例7:1,4,8,13,16,20,(25)A.20B.25C.27D.28解析:后一个数与前一个数的差分别为:3,4,5,3,4这是一个循环数列,因而要选的答案与20的差应该是5,所以答案应该是B。例8:1,3,7,15,31,(63)A.61B.62C.63D.64解析:后一个数与前一个数的差分别为:2,4,8,16这显然是一个等比数列,因而要选的答案与31的差应该是32,所以答案应该是C。例9:(69),36,19,10,5,2A.77B.69C.54D.48解析:前一个数与后一个数的差分别为:3,5,9,17这个数列中前一个数的2倍减1得后一个数,后面的数应该是17*2-1=33,因而33+36=69答案应该是B。例10:1,2,6,15,31,(56)A.53B.56C.62D.87解析:后一个数与前一个数的差分别为:1,4,9,16这显然是一个完全平方数列,因而要选的答案与31的差应该是25,所以答案应该是B。例11:1,3,18,216,(5184)A.1023B.1892C.243D.5184解析:后一个数与前一个数的比值分别为:3,6,12这显然是一个等比数列,因而要选的答案与216的比值应该是24,所以答案应该是D:216*24=5184。例12:-21716(28)43A.25B.28C.3lD.35解析:后一个数与前一个数的差值分别为:3,6,9这显然是一个等差数列,因而要选的答案与16的差值应该是12,所以答案应该是B。例13:1361015()A.20B.21C.30D.25解析:相邻两个数的和构成一个完全平方数列,即:1+3=4=22,6+10=16=42,则15+?=36=62呢,答案应该是B。例14:102,96,108,84,132,(36),(228)解析:后项减前项分别得-6,12,-24,48,是一个等比数列,则48后面的数应为-96,132-96=36,再看-96后面应是96X2=192,192+36=228。二、设计类【例1】在数学活动中,小明为了求的值(结果用n表示),设计如图a所示的图形。(1)请你利用这个几何图形求的值为。5(2)请你利用图b,再设计一个能求的值的几何图形。三、动态类【例3】右图是一回形图,其回形通道的宽与OB的长均为1,回形线与射线OA交于点A1,A2,A3,…。若从O点到A1点的回形线为第1圈(长为7),从A1点到A2点的回形线为第2圈,……,依此类推。则第10圈的长为。【例4】已知甲运动方式为:先竖直向上运动1个单位长度后,再水平向右运动2个单位长度;乙运动方式为:先竖直向下运动2个单位长度后,再水平向左运动3个单位长度。在平面直角坐标系内,现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点P1,第2次从点P1出发按乙方式运动到点P2,第3次从点P2出发再按甲方式运动到点P3,第4次从点P3出发再按乙方式运动到点P4,……。依此运动规律,则经过第11次运动后,动点P所在位置P11的坐标是。解析:【例3】我们从简单的情形出发,从中发现规律,第1圈的长为1+1+2+2+1,第2圈的长为2+3+4+4+2,第三圈的长为3+5+6+6+3,第四圈的长为4+7+8+8+4,……归纳得到第10圈的长为10+19+20+20+10=79。【例4】(-3,-4)四、计算类【例10】观察下列等式:,……则第n个等式可以表示为。解析:【例10】【例11】观察下列各式:,,,……根据前面的规律,得:。(其中n为正整数)6解析:【例11】【例12】观察下列等式:观察下列等式:4-1=3,9-4=5,16-9=7,25-16=9,36-25=11,……这些等式反映了自然数间的某种规律,设n(n≥1)表示了自然数,用关于n的等式表示这个规律为。解析:【例12】(n≥1,n表示了自然数)五、图形类【例13】在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点。观察图中每一个正方形(实线)四条边上的整点的个数,请你猜测由里向外第10个正方形(实线)四条边上的整点共有个。解析:【例13】第一个正方形的整点数为2×4-4=4,第二个正方形的正点数有3×4-4=8,第三个正方形的整点数为4×4-4=12个,……故第10个正方形的整点数为11×4-4=40,【例14】“”代表甲种植物,“”代表乙种植物,为美化环境,采用如图所示方案种植。按此规律,第六个图案中应种植乙种植物株。【例14】第一个图案中以乙中植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