2017年中考数学专题训练压轴题含解析

1压轴题1、已知，在平行四边形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t秒．（1）求直线AC的解析式；（2）试求出当t为何值时，△OAC与△PAQ相似；（3）若⊙P的半径为58，⊙Q的半径为23；当⊙P与对角线AC相切时，判断⊙Q与直线AC、BC的位置关系，并求出Q点坐标。解：（1）42033yx（2）①当0≤t≤2.5时，P在OA上，若∠OAQ=90°时，故此时△OAC与△PAQ不可能相似．当t2.5时，①若∠APQ=90°，则△APQ∽△OCA，∵t2.5，∴符合条件．②若∠AQP=90°，则△APQ∽△∠OAC，∵t2.5，∴符合条件．2综上可知，当时，△OAC与△APQ相似．（3）⊙Q与直线AC、BC均相切，Q点坐标为（109,531）。2、如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．解：（1）(31)E，；(12)F，．（2）在RtEBF△中，90B，2222125EFEBBF．设点P的坐标为(0)n，，其中0n，顶点(12)F，，∴设抛物线解析式为2(1)2(0)yaxa．①如图①，当EFPF时，22EFPF，221(2)5n．解得10n（舍去）；24n．(04)P，．24(01)2a．解得2a．抛物线的解析式为22(1)2yx（第2题）3②如图②，当EPFP时，22EPFP，22(2)1(1)9nn．解得52n（舍去）．③当EFEP时，53EP，这种情况不存在．综上所述，符合条件的抛物线解析式是22(1)2yx．（3）存在点MN，，使得四边形MNFE的周长最小．如图③，作点E关于x轴的对称点E，作点F关于y轴的对称点F，连接EF，分别与x轴、y轴交于点MN，，则点MN，就是所求点．(31)E，，(12)FNFNFMEME，，，．43BFBE，．FNNMMEFNNMMEFE22345．又5EF，55FNNMMEEF，此时四边形MNFE的周长最小值是55．43、如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC,点P为边AB上一个动点，过P点作PF//AC交线段BD于点F,作PG⊥AB交AD于点E,交线段CD于点G,设BP=x.（1）①试判断BG与2BP的大小关系,并说明理由;②用x的代数式表示线段DG的长,并写出自变量x的取值范围;（2）记△DEF的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出S的最大值;（3）以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似？如果能相似，请求出BP的长，如果不能，请说明理由。解：（1）①在等边三角形ＡＢＣ中，∠Ｂ＝60°，∵ＰＧ⊥ＡＢ，∴∠ＢＧＰ＝30°，∴ＢＧ＝2ＢＰ．②∵ＰＦ／／ＡＣ，∴△ＰＢＦ为等边三角形，∴ＢＦ＝ＰＦ＝ＰＢ＝x.又∵ＢＧ＝2x，ＢＤ＝1，∴ＤＧ＝2x－1，∴０＜2x－1≤１，∴112x?.（2）S=12DE×DF=1321123xx=2333326xx当34x时，348maxS.（3）①如图１，若∠ＰＦＥ＝Ｒt∠，则两三角形相似，此时可得ＤＦ＝ＤＧ即121xx-=-解得：23x=．GEFDCABP第3题GEFDCABPGEFDCABP5②如图２，若∠ＰＥＦ＝Ｒt∠，则两三角形相似，此时可得ＤＦ＝12ＥＦ＝14ＢＰ，即114xx-=．解得：45x=．4、如图，二次函数cbxxy241的图像经过点4,4,0,4BA，且与y轴交于点C.（1）试求此二次函数的解析式；（2）试证明：CAOBAO（其中O是原点）；（3）若P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过P作y轴的平行线，分别交此二次函数图像及x轴于Q、H两点，试问：是否存在这样的点P，使QHPH2？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）∵点0,4A与4,4B在二次函数图像上，∴cbcb444440，解得221cb，∴二次函数解析式为221412xxy.（2）过B作xBD轴于点D，由（1）得2,0C，则在AOCRt中，62142tanAOCOCAO，又在ABDRt中，2184tanADBDBAD，∵BADCAOtantan，∴BAOCAO.（3）由0,4A与4,4B，可得直线AB的解析式为221xy，设44,221,xxxP，则22141,2xxxQ，∴22141,2122212xxQHxxPH.∴2214122122xxx.当4212122xxx，解得4,121xx（舍去），∴25,1P.当4212122xxx，解得4,321xx（舍去），∴27,3P.综上所述，存在满足条件的点，它们是25,1与27,3.7图1CQ→BDAP↓图2G24681012108642yOx5、如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8厘米，点D在AC上，CD＝3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒80＜x＜，△DCQ的面积为y1平方厘米，△PCQ的面积为y2平方厘米．（1）求y1与x的函数关系，并在图2中画出y1的图象；（2）如图2，y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P的速度及AC的长；（3）在图2中，点G是x轴正半轴上一点（0＜OG＜6＝，过G作EF垂直于x轴，分别交y1、y2于点E、F．①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；②当0＜x＜６时，求线段EF长的最大值．解：（1）∵CDCQSDCQ21，CD＝3，CQ＝x，∴xy231．图象如图所示．（2）方法一：CPCQSPCQ21，CP＝8k－xk，CQ＝x，∴kxkxxkxky42182122．∵抛物线顶点坐标是（4，12），∴12444212kk．解得23k．则点P的速度每秒23厘米，AC＝12厘米．方法二：观察图象知，当x=4时，△PCQ面积为12．此时PC＝AC－AP＝8k－4k＝4k，CQ＝4．∴由CPCQSPCQ21，得12244k．解得23k．则点P的速度每秒23厘米，AC＝12厘米．方法三：设y2的图象所在抛物线的解析式是cbxaxy2．8GFEDCBA∵图象过（0，0），（4，12），（8，0），∴.0864124160cbacbac，，解得.0643cba，，∴xxy64322．①∵CPCQSPCQ21，CP＝8k－xk，CQ＝x，∴kxkxy42122．②比较①②得23k.则点P的速度每秒23厘米，AC＝12厘米．（3）①观察图象，知线段的长EF＝y2－y1，表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ面积）．②由⑵得xxy64322.（方法二，xxxxy643232382122）∵EF＝y2－y1，∴EF＝xxxxx29432364322，∵二次项系数小于０，∴在60＜x＜范围，当3x时，427EF最大．6、如图，在ABC中，6,5BCACAB，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持BCDE∥，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG.（1）试求ABC的面积；（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；（3）设xAD，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（4）当BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长。解：（1）过A作BCAH于H，∵6,5BCACAB，∴321BCBH.9则在ABHRt中，422BHABAH，∴1221BCAHSABC.（2）令此时正方形的边长为a，则446aa，解得512a.（3）当20x时，22253656xxy.当52x时，2252452455456xxxxy.（4）720,1125,73125AD.7、如图已知点A(-2，4)和点B(1，0)都在抛物线22ymxmxn上．（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为点C，试在x轴上找点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与ABC△相似．解：（1）根据题意，得：02444nmmnmm解得434nm（2）四边形AA′B′B为菱形，则AA′=B′B=AB=5∵438342xxy=3164342x∴向右平移5个单位的抛物线解析式为3164342,xyBAO11－1－1xyA′B′10（3）设D（x，0）根据题意，得：AB=5，5',10,53CBBCAC∵∠A=∠BB′Aⅰ)△ABC∽△B′CD时，∠ABC=∠B′CD，∴BD=6－x，由得x65355解得x=3，∴D（3，0）ⅱ）△ABC∽△B′DC时，CBACDBAB''∴55365x解得313x∴)0,313(D8、如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝8，CD＝10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度、沿B→A→D→C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度、沿C→D→A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．解：yBAO11－1－1xCB′DDBACCBAB''EQCDABPCDABEQCDABP（备用图）111DDHBCHABHDDHAB8BHAD2（）过作于点显然四边形是矩形；在Ｒt△DCH中，2221086DH2CH=CDABCD11SADBCAB28822（）（）40(2)①周长平分。将梯形秒时，当ABCDPQ3t经计算，PQ不平分梯形ABCD的面积②2222208QQIBCQHABIHAP8,2(8)2t166834CI,55348,554155ttADPDAPADtttQItQHBItBHQItPHttt第一种情况：时过点作，，垂足为、2222231248PQQHPH8-)()6455