2017年中考数学常见压轴题型分类

第1页共40页2017年中考数学常见压轴题型分类第一部分函数图象中点的存在性问题§1.1.因动点产生的相似三角形问题例1：如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．思路点拨1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．图1参考解答（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，所以AH＝1，OH＝3．所以A(1,3)．因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，设y＝ax(x－2)，代入点A(1,3)，可得33a．图2所以抛物线的表达式为23323(2)333yxxxx．（2）由2232333(1)3333yxxx，得抛物线的顶点M的坐标为3(1,)3．所以3tan3BOM．所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．（3）由A(1,3)、B(2,0)、M3(1,)3，得3tan3ABO，23AB，233OM．所以∠ABO＝30°，3OAOM．因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．△ABC与△AOM相似，存在两种情况：第2页共40页①如图3，当3BAOABCOM时，23233BABC．此时C(4,0)．②如图4，当3BCOABAOM时，33236BCBA．此时C(8,0)．图3图4例2：如图1，已知抛物线211(1)444byxbx（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．图1参考解答（1）B的坐标为(b,0)，点C的坐标为(0,)．（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．因此PD＝PE．设点P的坐标为(x,x)．如图3，联结OP．所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝1152428bxbxbx＝2b．解得165x．所以点P的坐标为(1616,55)．图2图3第3页共40页（3）由2111(1)(1)()4444byxbxxxb，得A(1,0)，OA＝1．①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．当BAQAQAOA，即2QABAOA时，△BQA∽△QOA．所以2()14bb．解得843b．所以符合题意的点Q为(1,23)．②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。因此△OCQ∽△QOA．当BAQAQAOA时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．所以C、Q、B三点共线．因此BOQACOOA，即14bQAb．解得4QA．此时Q(1,4)．图4图5例3：如图1，已知抛物线的方程C1：(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M(2,2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．思路点拨1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程。图1参考解答（1）将M(2,2)代入，得124(2)mm．解得m＝4．（2）当m＝4时，2111(2)(4)2442yxxxx．所以C(4,0)，E(0,2)．所以S△BCE＝1162622BCOE．（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．第4页共40页设对称轴与x轴的交点为P，那么HPEOCPCO．因此234HP．解得32HP．所以点H的坐标为3(1,)2．（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以当CEBCCBBF，即2BCCEBF时，△BCE∽△FBC．设点F的坐标为1(,(2)())xxxmm，由''FFEOBFCO，得1(2)()22xxmmxm．解得x＝m＋2．所以F′(m＋2,0)．由'COBFCEBF，得244mmBFm．所以2(4)4mmBFm．由2BCCEBF，得222(4)4(2)4mmmmm．整理，得0＝16．此方程无解．图2图3图4②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以BEBCBCBF，即2BCBEBF时，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得1(2)()2xxmxm．解得x＝2m．所以F′(2,0)m．所以BF′＝2m＋2，2(22)BFm．由2BCBEBF，得2(2)222(22)mm．解得222m．综合①、②，符合题意的m为222．考点伸展第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．例4：如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请第5页共40页说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．思路点拨1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．图1参考解答（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的坐标（0，－2），解得21a．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212xxxxy．（2）设点P的坐标为))4)(1(21,(xxx．①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，)4)(1(21xxPM，xAM4．如果2COAOPMAM，那么24)4)(1(21xxx．解得5x不合题意．如果21COAOPMAM，那么214)4)(1(21xxx．解得2x．此时点P的坐标为（2，1）．②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，)4)(1(21xxPM，4xAM．解方程24)4)(1(21xxx，得5x．此时点P的坐标为)2,5(．解方程214)4)(1(21xxx，得2x不合题意．③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，)4)(1(21xxPM，xAM4．解方程24)4)(1(21xxx，得3x．此时点P的坐标为)14,3(．解方程214)4)(1(21xxx，得0x．此时点P与点O重合，不合题意．第6页共40页综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）或)14,3(或)2,5(．图2图3图4（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为221xy．设点D的横坐标为m)41(m，那么点D的坐标为)22521,(2mmm，点E的坐标为)221,(mm．所以)221()22521(2mmmDEmm2212．因此4)221(212mmSDACmm424)2(2m．当2m时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．图5图642)4(21)2(214)22(21nmmnnmnS．由于225212mmn，所以mmS42．§1.2.因动点产生的等腰三角形问题例5：如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．思路点拨1、第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积．设点D的横坐标为（m，n）)41(m，那么第7页共40页参考解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3,0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．由BHPHBOCO，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以点P的坐标为(1,2)．（3）点M的坐标为(1,1)、(1,6)、(1,6)或(1,0)．理由如下：设点M的坐标为(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此时点M的坐标为(1,1)．②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得6m．此时点M的坐标为(1,6)或(1,6)．③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．当M(1,6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．图3图4图5例6：如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P