2011年高考数学一轮精品复习课件：第3章《三角函数》――三角函数的性质

学案4三角函数的性质返回目录1.三角函数的图象和性质:y=sinxy=cosxy=tanx定义域性质函数RRZk,kx|x2返回目录图象值域对称性对称轴:对称中心:对称轴:对称中心:对称中心:周期［-1,1］［-1,1］Zkkx,Z)(k,0)k(Z,0)K2kπ(Zkkx,2Zk(k),0,222R返回目录单调性单调增区间单调减区间单调增区间单调减区间单调增区间奇偶性偶奇奇)(2,2Zkkk)(22,2Zkkk)(22,22Zkkk)(232,22Zkkk)(2,2Zkkk2.一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做.叫做这个函数的周期.把所有周期中存在的最小正数,叫做(函数的周期一般指最小正周期).函数y=Asin(ωx+)或y=Acos(ωx+)(ω0且为常数)的周期T=,函数y=Atan(ωx+)(ω0)的周期T=.周期函数非零常数T最小正周期2返回目录φφφ返回目录求下列函数的定义域:(1)y=lgsin(cosx);(2)y=.【分析】本题求函数的定义域:(1)需注意对数的真数大于零,然后利用弦函数的图象求解;(2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零,然后利用函数的图象或三角函数线求解.考点一求三角函数的定义域cosx-sinx返回目录【解析】(1)要使函数有意义,必须使sin(cosx)0.∵-1≤cosx≤1,∴0cosx≤1.解法一:利用余弦函数的简图(如图)得知定义域为｛x|-+2kπx+2kπ,k∈Z｝.22解法二:如图,利用单位圆中的余弦线OM,依题意知0OM≤1,∴OM只能在x轴的正半轴上,∴其定义域为｛x|-+2kπx+2kπ,k∈Z｝.22返回目录返回目录(2)要使函数有意义,必须使sinx-cosx≥0.解法一:利用图象.在同一坐标系中画出［0,2π］上y=sinx和y=cosx的图象,如图3-4-3所示.在［0,2π］内,满足sinx=cosx的x为,，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为｛x|+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z｝.445445解法二:利用三角函数线,如图中MN为正弦线,OM为余弦线,要使sinx≥cosx,即MN≥OM,则≤x≤(在［0,2π］内).∴定义域为｛x|+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z｝.445445返回目录返回目录解法三:sinx-cosx=sin(x-)≥0,将x-视为一个整体,由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2kπ≤x-≤π+2kπ,解得2kπ+≤x≤+2kπ,k∈Z.所以定义域为｛x|+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z｝.4452444445【评析】(1)对于含有三角函数式的(复合)函数的定义域,仍然是使解析式有意义即可.(2)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式).(3)求三角函数的定义域经常借助两个工具,即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象,有时也利用数轴.返回目录＊对应演练＊求f(x)=的定义域和值域.由函数≥0,得sinx≤,利用单位圆或三角函数的图象,易得所求函数的定义域是｛x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z｝.当sinx=cos(-x)=时,ymin=0;当sinx=cos(-x)=-1时,ymax=.所以函数的值域为［0,］.x)-2cos(2-1x)-2cos(2-1返回目录4542222212122返回目录求下列函数的值域：（1）y=;（2）y=sinx+cosx+sinxcosx;（3）y=2cos(+x)+2cosx.【分析】求三角函数式的值域时，先观察解析式的结构，针对不同的结构类型采用不同的方法求其值域.考点二求三角函数的值域或最值cosx-1sin2xsinx3【解析】（1）∵y==2cos2x+2cosx=2(cosx+)2-.于是当且仅当cosx=1时,ymax=4,但cosx≠1,∴y4.且ymin=-，当且仅当cosx=-时取得.故函数值域为(-,4).返回目录cosx-1x)cos-2cosx(1cosx-1inx2sinxcosxs22121212121返回目录（2）令t=sinx+cosx，则有t2=1+2sinxcosx,即sinxcosx=.∴y=f(t)=t+=(t+1)2-1.又t=sinx+cosx=sin(x+),∴-≤t≤.故y=f(t)=(t+1)2-1(-≤t≤),从而知：f(-1)≤y≤f()，即-1≤y≤+.则函数的值域为〔1,+〕.21-t221-t221242122222221221（3）y=2cos(+x)+2cosx=2coscosx-2sinsinx+2cosx=3cosx-sinx=2(cosx-sinx)=2cos(x+).∵cos(x+)≤1,∴该函数值域为［-2,2］.【评析】①能够转化为y=Asin(ωx+φ)+B型的函数，求值域时注意A的正负号；②能够化为y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c型或可化为此型的函数求值，一般转化为二次函数在给定区间上的值域问题.返回目录33333232136633返回目录＊对应演练＊若函数f(x)=的最大值为2，试确定常数a的值.f(x)=其中角满足sin=,cos=.由已知有=4.解之得a=±.)2x-cos(2xasin-x)24sin(cos2x1)sin(x441sinx2cosx212xcos2xasin4cosxx2cos22φaa++=+=+211a21aa4412a15φφφ返回目录【分析】可以看成y=cosu与u=f(t)的复合函数求单调区间与y=sinx,y=cosx等基本函数的单调区间类比可得.【解析】方法一：∵y=cos(-2x+)=cos(2x-),∴由2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)，即所求单调减区间为〔kπ+,kπ+〕(k∈Z).考点三求三角函数的单调性求函数y=cos(-2x+)的单调减区间.3333632632返回目录方法二：∵t=-2x+为减函数，且y=cost的单调增区间为［2kπ-π,2kπ］(k∈Z),∴由2kπ-π≤-2x+≤2kπ,k∈Z,得-kπ+≤x≤-kπ+(k∈Z).∴所求单调减区间为〔kπ+,kπ+〕(k∈Z).36323632【评析】关于函数单调性问题，应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性的规律.此题易出现以下错解：∵y=cosx的单调减区间为［2kπ,2kπ+π］，k∈Z,∴2kπ≤-2x+≤2kπ+π.∴-kπ-≤x≤-kπ+.∵k∈Z,∴单调减区间为〔kπ-,kπ+〕(k∈Z).为了避免上述错误的出现，我们通常要用诱导公式把y=Asin(ωx+)和y=Acos(ωx+)式中的ω化成大于0的形式，然后再求单调区间.返回目录63363φφ返回目录＊对应演练＊求函数y=2sin(-x)的单调区间.解法一:y=2sin(-x)化成y=-2sin(x-).∵y=sinu(u∈R)的递增、递减区间分别为〔2kπ-,2kπ+〕(k∈Z),〔2kπ+,2kπ+〕(k∈Z),∴函数y=-2sin(x-)的递增、递减区间分别由下面的不等式确定4442222342kπ+≤x-≤2kπ+(k∈Z),即2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),2kπ-≤x-≤2kπ+(k∈Z),即2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).∴函数y=2sin(-x)的单调递减区间、单调递增区间分别为〔2kπ-,2kπ+〕(k∈Z）,〔2kπ+,2kπ+〕(k∈Z).返回目录4223434724244344434347返回目录已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(，0)对称，且在区间(0,)上是单调函数，求和ω的值.【分析】该题可采用顺向求解的解答思路，即将题设条件式子化，获得和ω所应满足的等式，应用正、余弦函数的性质导出结果.式子化简的方法有多种，下面写出两种解法.考点四求三角函数的奇偶性432φφφ返回目录【解析】方法一：由f(x)是偶函数，得f(-x)=f(x),即sin(-ωx+)=sin(ωx+),所以-cossinωx=cossinωx对任意x都成立，且ω0，所以得cos=0,依题设0≤≤π，所以解得=.由f(x)的图象关于点M对称，得f(-x)=-f(+x).取x=0，得f()=-f()，所以f()=0.43243434343φφφφφφφ∵f()=sin(+)=cos,∴cos=0,由ω0,得=+kπ,k=0,1,2,…,∴ω=(2k+1),k=0,1,2,….当k=0时，ω=,f(x)=sin(x+)在〔0,〕上是减函数；当k=1时，ω=2,f(x)=sin(2x+)在〔0，〕上是减函数；返回目录2434324343432323232222当k≥2时，ω≥,f(x)=sin(ωx+)在〔0,〕上不是单调函数.所以，综上得ω=或ω=2.2310232返回目录返回目录方法二：由f(x)是偶函数和ω0，知f()=f()，即sin(+)=sin(+)，所以-cos=cos,得cos=0,又0≤≤π,所以求得=.因此，f(x)=sin(ωx+)=cosωx,由f(x)的图象关于点M(,0)对称，知f()=0,即cos=0①222222434343φφφφφφφ返回目录【评析】本小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力.方法二的思维闪光点是得到①式后，立即联想到点M的坐标(,0)，自然得到cos=0，于是问题迎刃而解.由f(x)在区间〔0,〕上是单调函数和余弦函数的性质，知函数的周期T=≥2×，即0ω≤2.所以，由①式得ω=或ω=2.222324343＊对应演练＊设函数f(x)=Asin(ωx+)(其中A0,ω0).(1)取何值时，f(x)为奇函数；(2)取何值时，f(x)为偶函数.(1)∵x∈R,∴要使f(x)是奇函数，即f(x)+f(-x)=0,即A·sin(ωx+)+A·sin(-ωx+)=0,∴2A·sin·cosωx=0.∵cosωx不恒为0，∴sin=0,解得=kπ(k∈Z).即=kπ(k∈Z)时，f(x)为奇函数.返回目录φφφφφφφφφ返回目录（2）∵f(x)是偶函数，∴f(x)-f(-x)=0,即Asin(ωx+)-Asin(-ωx+)=0.得2A·cos·sinωx=0,∵sinωx不恒为0，∴cos=0,得=kπ+(k∈Z).即=kπ+(k∈Z)时，f(x)为偶函数.22φφφφφφ返回目录1.利用函数的有界性(-1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1),求三角函数的值域(最值).2.利用函数的单调性求函数的值域或最值.3.利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号).4.正余弦函数的线性关系式可以转化为f(x)=asinx+bcosx=sin(x+),特别注意把sinα±cosα,sinα±cosα的转化为y=2sin(α+)形式时,为特殊角.5.注意sinx+cosx与cosxsinx的联系,令t=sinx+cosx(-≤t≤)时,sinxcosx=(t2-1).22ba332221φφφ返回目录6.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响.7.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如y=Asin(ωx+)(ω0)的形式,再根据基本三角函数的单调区间,求出x所在的区间.应特别