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学案3推理与证明返回目录一、合情推理1.由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.简言之，归纳推理是、.由部分到整体由个别到一般的推理考点分析返回目录2.由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.简言之，类比推理是.3.和都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.二、演绎推理1.从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是.2.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：由特殊到特殊的推理归纳推理类比推理由一般到特殊的推理返回目录（1）——已知的一般原理；（2）——所研究的特殊情况；（3）——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.三、直接证明1.一般地,利用已知条件和某些数学、、等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.2.一般地,从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为为止,这种证明方法叫做分析法.大前提小前提结论定义公理定理判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）返回目录四、间接证明反证法是间接证明的一种基本方法.一般地，假设不成立(即在原命题的条件下,结论不成立)，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.原命题矛盾五、数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）；（2）（归纳递推）.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.假设n=k(k≥n0,k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立返回目录返回目录【分析】根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项考点一归纳推理在数列{an}中，a1=1,an+1=(n∈N+),猜想这个数列的通项公式.nna22a+考点分析【解析】{an}中，a1=1,a2=a3=a4=,…,所以猜想{an}的通项公式an=.证明如下：因为a1=1,an+1=,所以即所以数列是以=1为首项,公差为的等差数列.所以.所以通项公式an=.返回目录,32a22a11=+,4221a22a22==+52a22a33=+1n2+.21+a1=2aa+2=a1nnn1+n,21a1-a1n1+n=}a1{n1a12121+n21=21•1)-(n+1=a1n1n2+nna22a+【评析】通过归纳推理得出的结论可能正确，也可能不正确，它的正确性需通过严格的证明，猜想所得结论即可用演绎推理给出证明.虽然由归纳推理所得出的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程，对于数学的发现、科学的发明是十分有用的.通过观察实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，也是数学研究的基本方法之一，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.返回目录＊对应演练＊设f(n)=n2+n+41,n∈N*,计算:f(1),f(2),f(3),f(4),…,f(10)的值,同时作出归纳推理,并用n=40验证猜想是否正确.返回目录返回目录f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61,f(5)=52+5+41=72,f(6)=62+6+41=83,f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113,f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151.∵43,57,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数,∴归纳猜想:当n∈N*时,f(n)=n2+n+41的值都为质数,当n=40时,f(40)=402+40+41=40×(40+1)+41=41×41.∴f(40)的值是合数,因此,由上面归纳推理得到的猜想不正确.返回目录在△ABC中，AB⊥AC于A,AD⊥BC于D，求证:，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.【分析】首先利用综合法证明结论正确，然后依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜想结论，并予以证明.考点二类比推理222AC1+AB1+AD1返回目录【证明】如图11-3-1所示，由射影定理得AD2=BD·DC,AB2=BD·BC,AC2=BC·DC.∴又BC2=AB2+AC2,∴∴猜想：类比AB⊥AC,AD⊥BC猜想四面体ABCD中，AB,AC,AD两两垂直,.·ACABBC=CBD·BC·DC·BBC=BD·DC1=AD122222.AC1AB1·ACABACABAD12222222+=+=.AC1AB1AD1222+=AE⊥平面BCD.则如图，连结BE交CD于F，连结AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD,∴AB⊥平面ACD，而AF面ACD,∴AB⊥AF.而Rt△ABF中，AE⊥BF,∴在Rt△ACD中，AF⊥CD,∴∴故猜想正确.返回目录.AD1AC1AB1AE12222++=⊂222AF1AB1AE1+=222AD1AC1AF1+=.AD1AC1AB1AE12222++=【评析】根据两类不同事物之间具有的某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质，这样的推理叫类比推理（简称类比）.类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的结论可能是真的，也可能是假的，所以类比推理属于合情推理.虽然类比推理的结论可能为真，也可能为假，但是它由特殊到特殊的认识功能，对于发现新的规律和事实却十分有用.类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想.平面图形中的面积与空间图形中的体积常常是类比的两类对象.类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性;（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.返回目录返回目录＊对应演练＊在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n＜19,n∈N*)成立，类比上述性质，相应地:在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式成立.返回目录b1b2…bn=b1b2…b17-n(n＜17,n∈N*)(由题设可知，如果am=0，则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a2m-1-n(n＜2m-1,n∈N*)成立，如果m+n=p+q，其中m，n,p,q是自然数，对于等差数列，则有am+an=ap+aq，而对于等比数列，则有bmbn=bpbq，所以可以得到结论，若bm=1，则有等式b1b2…bn=b1b2…b2m-1-n(n＜2m-1,n∈N*)成立，在本题中m=9.)返回目录在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D,E是垂足.求证：AB的中点M到D,E的距离相等.考点三演绎推理【分析】解答本题需要利用直角三角形斜边上的中线性质作为大前提.【证明】（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形——大前提在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB=90°——小前提所以△ABD是直角三角形——结论（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半——大前提而M是Rt△ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线——小前提所以DM=AB.同理EM=AB.所以DM=EM.返回目录2121返回目录【评析】演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理.三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断结论.演绎推理是一种必然性推理,演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论.返回目录＊对应演练＊证明:根据题意,0α,0β,∴0α+βπ,又tanα=,tanβ=,∴tan(α+β)=∵0α+βπ,∴α+β=.如图是三个拼在一起的正方形，求证：α+β=.4π2π2π21311.3121-13121·tantan-1tantan=•+=+βαβα4π返回目录【证明】要证只要证∵a0,故只要证考点四分析法证明已知a0,求证:【分析】所给条件简单,所证结论复杂,一般采用分析法.2.-a1+a≥2-a1+a222,-a1+a2-a1+a22≥.2a1+a2a1+a22++≥.)2a1+a2)a1+a(2222++(≥从而只要证只要证即,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.返回目录2a1+a22≥2)1(22a12a4a1+a4a1+a222222+++++++aa≥)1(2a1+a222aa+≥)12(2a1+(a42222aa++≥)即返回目录【评析】分析法是数学中常用到的一种直接证明方法,就证明程序来讲,它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法.具体地说,即先假设所要证明的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时命题得证.＊对应演练＊已知0a≤1,0b≤1,0c≤1,求证:返回目录1abccbacabcab1≥++++++证明:∵a0,b0,c0,∴要证,只需证1+ab+bc+ca≥a+b+c+abc,即1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)≥0.∵1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)=(1-a)(1-b)(1-c),且a≤1,b≤1,c≤1,∴(1-a)(1-b)(1-c)≥0,∴1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)≥0成立,∴.返回目录1abccbacabcab1≥++++++1abccbacabcab1≥++++++【分析】不等式中的a,b,c为对称的，所以从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数的均值定理，再根据不等式性质推导出证明的结论.考点五综合法证明已知a,b,c＞0.求证：a3+b3+c3≥(a2+b2+c2)(a+b+c).返回目录31返回目录【证明】∵a2+b2≥2ab,a＞0,b＞0,∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b).∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2.∴a3+b3≥a2b+ab2.同理:b3+c3≥b2c+bc2,a3+c3≥a2c+ac2.将三式相加得:2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+bc2+b2c+a2c+ac2,∴3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2).∴a3+b3+c3≥(a2+b2+c2)(a+b+c).31【评析】（1）在用综合法证明不等式时，常利用不等式的基本性质，如同向不等式相加、同向不等式相乘等，但在运用这些性质时，一定要注意这些性质成立的前提条件.简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法.（2）一般问题都是用综合法解决的，要保证前提条件正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确性.返回目录在锐角三角形ABC中,求证：sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC.返回目录＊对应演练＊证明:∵锐角三角形ABC中，A+B＞,∴A＞-B.∴0＜-B＜A＜.又∵在（0,）内正弦函数是单调递增函数,∴sinA＞sin（-B）=cosB.即sinA＞cosB.①同理，sinB＞cosC,②s