2011年高考数学二轮专题复习课件：平面向量及其应用

第5讲平面向量及其应用第５讲│主干知识整合1．平行向量①概念：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．②表示方法：如果a、b、c是非零向量且方向相同或相反(向量所在的直线平行或重合)，则可记为a∥b∥c.③注意点：任一向量都与它自身是平行向量，并且规定：零向量与任一向量是平行向量．2．共线向量①概念：共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，其所在直线可以平行也可以重合．②含义：“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义．实际上，共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．因此，任意一组共线向量都可以移到同一条直线上．③关于两向量共线的判定：对于两非零向量a，b，如果存在λ，使a＝λb(λ∈R)，那么a∥b；反之，如果两向量平行，且b≠0，那么a＝λb.这里的“反之”中，没有指出a是非零向量．这就是说a＝0时，与λb的方向规定为平行．3．相等向量①概念：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．②识别依据：两个向量只有当它们的模相等，同时方向又相同时，才能称它们相等．如a＝b，就意味着|a|＝|b|，且a与b的方向相同．③理解拓展：由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的，都可以用同一条有向线段表示，因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点．4．平行向量、共线向量、相等向量三者的异同点①共线向量即为平行向量；②共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．5．向量的数量积①已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.②求向量的夹角可用公式：cosθ＝cos〈a，b〉＝a·ba·b＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ＝0°，当且仅当a与b反方向时θ＝180°，同时0与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题．③设a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2，对于求模有时还运用平方法．第５讲│要点热点探究例1设两个非零向量e1和e1不共线．(1)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1＋4e2，CD→＝3e1－e2.求证：A，B，D三点共线；(2)若e1＝2，e2＝3，e1与e2的夹角为60°，试确定k的值，使ke1＋e2与e1＋ke2垂直．►探究点一向量的概念及线性运算【解答】(1)∵BD→＝BC→＋CD→＝2(e1＋4e2)＋3(e1－e2)＝5(e1＋e2)，∴BD→＝5AB→，又BD→与AB→有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵e1·e2＝2×3×12＝3，∴(ke1＋e2)·(e1＋ke2)＝ke21＋(k2＋1)e1·e2＋ke22＝4k＋3(k2＋1)＋9k＝0，∴k＝－13±1336【点评】本题第一问运用了共线的条件，即a与b共线⇔存在λ使b＝λa.第二问运用了垂直条件，用方程思想得到待求未知数k.设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)．(1)求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．【解答】(1)∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，∴BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→.∴AB→、BD→共线，又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.例2在△ABC中，AB→·AC→＝|BC→|＝2.(1)求AB→2＋AC→2的值；(2)求△ABC面积的最大值．►探究点二平面向量的数量积【解答】(1)∵|BC→|＝|AC→－AB→|＝2，∴AC→2－2AC→·AB→＋AB→2＝4，又∵AB→·AC→＝2，∴AB→2＋AC→2＝8；(2)设|AB→|＝c，|AC→|＝b，|BC→|＝a，由(1)知b2＋c2＝8，a＝2，又∵cosA＝b2＋c2－a22bc＝8－42bc＝2bc，∴S△ABC＝12bcsinA＝12bc1－cos2A＝12b2c2－b2c2·4b2c2≤12b2＋c222－4＝3，当且仅当b＝c时取“＝”，所以△ABC面积的最大值为3.【点评】向量数量积，是江苏高考八大C级要求之一，是高考命题的热点．数量积公式的表现形式有二：(1)坐标形式：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2；(2)一般形式：设向量a、b的夹角为θ，则a·b＝|a|·|b|cosθ.一般地说，题目以什么形式出现，就选用什么形式解题．向量数量积主要应用于以下三类问题：一是角度问题，二是求模问题，三是与三角形结合解决有关问题．△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3OA→＋4OB→＋5OC→＝0.(1)求数量积OA→·OB→，OB→·OC→，OC→·OA→；(2)求△ABC的面积．【解答】(1)由3OA→＋4OB→＋5OC→＝0可得3OA→＋4OB→＝－5OC→，平方得：9OA→2＋16OB→2＋24OA→·OB→＝25OC→2，得OA→·OB→＝0.同理可得OB→·OC→＝－45，OC→·OA→＝－35.(2)因为OB→·OC→＝－45，OC→·OA→＝－35，所以cos∠BOC＝－45，cos∠AOC＝－35，故sin∠BOC＝35，sin∠AOC＝45.S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝12×1＋12×45＋12×35＝65.如图2－5－1所示，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，OP→＝x·OA→＋y·OB→.(1)若BP→＝PA→，求x，y的值；(2)若BP→＝3PA→，|OA→|＝4，|OB→|＝2，且OA→与OB→的夹角为60°，求OP→·AB→的值．图2－5－1►探究点三平面向量的综合应用【解答】(1)∵BP→＝PA→，∴BO→＋OP→＝PO→＋OA→，即2OP→＝OB→＋OA→，∴OP→＝12OA→＋12OB→，即x＝12，y＝12.(2)∵BP→＝3PA→，∴BO→＋OP→＝3PO→＋3OA→，即4OP→＝OB→＋3OA→，∴OP→＝34OA→＋14OB→，∴x＝34，y＝14.OP→·AB→＝34OA→＋14OB→·(OB→－OA→)＝14OB→·OB→－34OA→·OA→＋12OA→·OB→＝14×22－34×42＋12×4×2×12＝－9.【点评】对向量的考查，要关注向量的坐标运算和它们的几何意义，加强数与形相结合的关注度，同时也要对向量与其他知识的综合运用给予足够重视．第５讲│规律技巧提炼1．以“基底”形式出现的向量问题通常将题中的向量化为以某一点为统一起点，再进行向量运算会非常方便；2．以坐标形式出现的向量问题要尽可能利用解析思想，转化为函数或方程方法求解；3．求向量的夹角可用公式：cosθ＝cos〈a，b〉＝a·ba·b＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ＝0°，当且仅当a与b反方向时，θ＝180°，同时0与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题．解题时要注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的，取值范围为0°≤θ≤180°，夹角为钝角或锐角时求有关字母的范围要注意共线情况．第５讲│高考真题剖析[2010·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)、B(2,3)、C(－2，－1)．(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值．【解答】(1)(方法一)由题设知AB→＝(3,5)，AC→＝(－1,1)，则AB→＋AC→＝(2,6)，AB→－AC→＝(4,4)．所以|AB→＋AC→|＝210，|AB→－AC→|＝42.故所求的两条对角线的长分别为42、210.(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：E为BC的中点，E(0,1)．又E(0,1)为AD的中点，所以D(1,4)．∴BC→＝(－4，－4)，AD→＝(2,6)．故所求的两条对角线的长分别为BC＝42，AD＝210；(2)由题设知OC→＝(－2，－1)，AB→－tOC→＝(3＋2t，5＋t)．由(AB→－tOC→)·OC→＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－115.或者AB→·OC→＝tOC→2，AB→＝(3,5)，t＝AB→·OC→|OC→|2＝－115.【点评】本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力．近三年江苏高考对向量的考查主要有三个方面：其一是主要考查平面向量的概念、性质和运算法则，理解和运用其直观的几何意义，并能正确地进行计算．其二考查向量坐标表示，向量的线性运算．其三是和其他知识结合在一起，在知识的交汇点设计试题，考查向量与学科知识间综合运用能力．试题难度中等．