2011年高考数学总复习精品课件(苏教版)：第四单元第一节 导数的概念及运算

第一节导数的概念及运算基础梳理1212x-x)f(x-)f(x数量化视觉化1.函数f(x)在区间［x1,x2］上的平均变化率(1)函数f(x)在区间［x1,x2］上的平均变化率为,(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“”.2.函数f(x)在x=x0处的导数（1）定义设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义，若Δx无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作.0x(a,b),`0f(x))f(x-)f(xx0x0xy(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点.处的.相应地，切线方程为.3.函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的而，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作.00(,)xfx切线的斜率`000y-f(x)=f()()xxx变化变化f′(x).原函数导函数f(x)=kx+b(k,b为常数)f′(x)=.f(x)=Cf′(x)=.f(x)=xf′(x)=.f(x)=x2f′(x)=.f(x)=x3f′(x)=..f(x)=.f(x)=xa(a为常数)f(x)=ax(a＞0且a≠1)4.基本初等函数的导数公式1f(x)xxf′(x)=.f′(x)=.k012x23xf(x)21-xf(x)12xa-1axxalnaf(x)=logax(a＞0且a≠1).f(x)=f′(x)=.f(x)=lnx.f(x)=sinxf′(x)=.f(x)=cosxf′(x)=.xef(x)1xlnaxef(x)1xcosxsinx5.导数运算法则(1)［f(x)±g(x)］′=;(2)［Cf(x)］′=(C为常数);(3)［f(x)·g(x)］′=;f′(x)±g′(x)Cf′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)0][g(x)g(x)(x)gf(x)-(x)g(x)fg(x)f(x)(4)2典例分析题型一利用导数的定义求导数【例1】用导数定义求y=x2在x=1处的导数值.分析利用导数的定义,按求导数的步骤求解.解∵∴当Δx无限趋近于0时，趋近于2,∴y′|x=1=2.学后反思利用导数的定义求在一点x0的导数的关键是对ΔyΔx进行灵活变形，若求f(x)在开区间(a,b)内的导数，只需将x0看成是(a,b)内的任意点x,即可求得f′(x).2xxx2xx1-x)(1xf(1)-x)f(1xy222xy举一反三1.已知，利用定义求y′,y′|x=1.xy题型二利用求导公式求导数【例2】求下列函数的导数..1-e1e(2)ysinx;x(1)yxx2xxx1xxxxxxx-xxxy,x-xxy''x=100111ylimlim,|2xxx2xxyyxx解析分析直接利用导数公式及四则运算法则进行计算..1)-(e2e-1)-(e1)(ee-1)-(ee1)-(e1)-1)(e(e-1)-(e)1(ey1-e1ey2xx2xxxxx2xxxxxxx学后反思准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.解(1)y′=()′sinx+·(sinx)′=2xsinx+x2cosx.(2)2x2x举一反三2.求函数的导数.题型三导数的物理意义及在物理上的应用【例3】一质点运动的方程为s=8-3t2.(1)求质点在［1,1+Δt］这段时间内的平均速度；(2)求质点在t=1的瞬时速度.1111yxx'''2211112,111112122111xxyxxxxxxyxxx解析分析第（1）问可利用公式求解；第（2）问可利用第（1）问的结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.ts解(1)质点在［1,1+Δt］这段时间内的平均速度为(2)方法一（定义法）：质点在t=1时的瞬时速度v=t3--6ts(1)-t)s(1ts6-tslim0t方法二（求导法）：质点在t时刻的瞬时速度v=s′(t)=-6t,当t=1时，v=-6.学后反思导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的，所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题举一反三3.以初速度作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为,求物体在时刻时的瞬时速度.201s(t)=vt-gt200v(v0)0t解析：∴物体在时刻的瞬时速度为.'001s()22tvgtvgt0t'000s()tvgt题型四导数的几何意义及在几何上的应用【例4】(14分)已知曲线(1)求曲线在点P（2，4）处的切线方程；(2)求曲线过点P（2，4）的切线方程.34x31y3分析(1)点P处的切线以点P为切点,关键是求出切线斜率k=f′(2).(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.解（1)∵y′=x2,………………………………………………2′∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=4,………………………3′∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0……………………………………………………………….4′(2)设曲线与过点P（2，4）的切线相切于点,则切线的斜率k=y′|x=x0=x20………………….…6′34x31y3)34x31,A(x300∴切线方程为即∵点P（2，4）在切线上，∴即x30-3x20+4=0,∴x30+x20-4x20+4=0,∴x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,……………………………….12′故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0………………………….14′学后反思（1）解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”.（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标(x0,y0),得出切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0),然后把已知点代入切线方程求(x0,y0)，进而求出切线方程.3200014y-(x)x(x-x),3323'0024yxx-x......................83323'002442xx-x......................1033举一反三4.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.解析：设曲线上过点的切线平行于直线2x-y+3=0,即斜率是2，则.解得,即点P(1,0),点P到直线2x-y+3=0的距离为,∴曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.00(,)Pxy00''x=xx=x012y|=2x-1|==22x-12x-10x100所以y222-0+352(1)5题型五复合函数的导数【例5】求下列函数的导数..22(1)(1sin);(2)ln1yxyx分析先确定中间变量转化为常见函数，再根据复合函数的求导法则求导.也可直接用复合函数求导法则运算.'2''(1)1sin2(1sin)(1sin)2(1sin)cos2cossin2yxxxxxxx解''2'221'222221(2)(ln1)111111211yxxxxxxxx学后反思求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中间变量，弄清是谁对谁求导，其一般步骤是:(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）；（2）分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）.即：分解（复合关系）—求导（导数相乘）举一反三5.求下列函数的导数。1cos21(1);(2)1xyyxex解析：'13''22222322221(1)1112111yxxxxxxxx'''1cos1cos1cos'1cos1cos1cos1cos1cos(2)1cossin1sinxxxxxxxxyxeexeexexexexxxe易错警示【例】已知曲线上的点P（0,0）,求过点P(0,0)的切线方程.错解∵∴在点x=0处不可导，因此过P点的切线不存在.错解分析本题的解法忽视了曲线在某点处的切线的定义.在点P处的切线是指曲线在点P附近取点Q，当点Q趋近于点P时，割线PQ的极限位置的直线就是过点P的切线，因此过点P的切线存在，为y轴（如下图所示）.323x1xxxy3xy3xy正解如右图，按切线的定义，当Δx→0时割线PQ的极限位置为y轴（此时斜率不存在），因此，过点P的切线方程为x=0.考点演练10.已知函数的图象都过点P(2,0),且在点P处有相同的切线.求实数a,b,c的值.32fx2xaxgxbxc与解析：∵f(x)过点（2,0）,∴,解得a=-8,同理，g(2)=4b+c=0.∵f′(x)=6x2-8,∴在点P处切线斜率.又g′(x)=2bx,∴2b×2=16,∴b=4,∴c=-4b=-16.综上，a=-8,b=4,c=-16.3f222a202kf26281611.设函数f(x)满足，a,b,c为常数，|a|≠|b|，求f′(x)解析:将中的x换成，可得将其代入已知条件中得,1afxbfcxx1afxbfcxx1x11afxbf,()()cbcxfxfxxxaa2bcbcaf(x)+x-f(x)=aax'22222cacf(x)=(-bx),f(x)=()axaabbbx12.(2008·宁夏)设函数(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式；（2）证明函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形面积为定值，并求出此定值.1()fxaxxb解析:(1)f′(x)=.于是,解得21a-xb21232102abab914813aabb或1,,()1abZfxxx(2)证明:已知函数都是奇函数，∴函数也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形.由可知f(x)的图象是由g(x)的图象沿x轴正方向向右平移1个单位，再沿y轴正方向向上平移1个单位得到的.故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.121,yxyx1()gxxx11()1111fxxxxx（3）证明：在曲线上任取一点,由知，过此点的切线方程为.令x=1,得,∴切线与直线x=1的交点为.令y=x,得,∴切线与直线y=x的交点为.直线x=1与y=x交点为(1,1).从而所围三角形面积为所以所围三角形的面积为定值2.0001x,1xx'02011(1)fxx20002001111(1)xxyxxxx0011xyx001(1,)1xx021xx00(2