2011年高考数学总复习精品课件(苏教版)：第四单元第二节 导数的应用(Ⅰ)

第二节导数的应用（Ⅰ）1.函数的单调性对于函数y=f(x)，如果在某区间上f′(x)＞0,那么f(x)在该区间上是;如果f′(x)＜0，那么f(x)在该区间上是.2.函数的极值与最大值（1）如果在x0附近的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0,且f′(x0)0那么f(x0)是极大值；（2）如果在x0附近的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0,且0,那么是极小值.（3）函数的极大值、极小值统称为函数的极值.（4）如果在函数定义域I内存在,使得对任意的x∈I，总有,则称为函数在定义域上的.基础梳理0()fx'0()fx增函数减函数＞＜=＜=0f(x)f(x)0x0()fx最大值题型一利用导数求函数的单调区间【例1】已知f(x)=ex-ax-1,求f(x)的单调增区间.分析通过解f′(x)≥0,求f(x)的单调递增区间.解∵f(x)=ex-ax-1,∴f′(x)=ex-a.令f′(x)≥0,得ex≥a,当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立；当a＞0时，有x≥lna.综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);当a＞0时，f(x)的单调增区间为［lna,+∞).典例分析学后反思求函数的单调区间，就是解f′(x)＞0或f′(x)＜0，这些不等式的解就是使函数保持单调递增或递减的单调区间.对可导函数，求单调区间的步骤如下：（1）求f(x)的定义域；（2）求出f′(x)；（3）令f′(x)=0，求出全部驻点（补充定义:若函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)=0，则称点x0为函数f(x)的驻点）；（4）驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内f′(x)的符号，因而可确定f(x)的单调区间.举一反三1.(2009·辽宁改编)设且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行，求a的值，并讨论f(x)的单调性.x2f(x)=e(ax+x+1),解析:f′(x)=由条件知，f′(1)=0,故a+3+2a=0a=-1,于是f′(x)=故当x∈(-∞,-2)∪(1,+∞)时，f′(x)＜0;当x∈(-2,1)时，f′(x)＞0.从而f(x)在(-∞,-2),(1，+∞)上单调递减，在(-2,1)上单调递增x2e(ax+x+1+2ax+1)x2xe(-x-x+2)=-e(x+2)(x-1)题型二已知函数的单调性求参数范围【例2】已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.分析函数的增区间是f′(x)≥0恒成立的区间，函数的减区间是f′(x)≤0恒成立的区间（导数值为零的点为有限个）.解（1）由已知f′(x)=3x2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，∴f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.∵3x2≥0,∴只需a≤0.(2)由f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2在x∈(-1,1)上恒成立.∵-1＜x＜1,∴3＜3,∴只需a≥3.当a≥3时，f′(x)=3x2-a在x∈(-1,1)上恒有f′(x)＜0,即f(x)在（-1,1）上为减函数.故存在实数a≥3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.学后反思关于不等式的恒成立问题，可以转化为求函数的最值问题来研究，如a≥f(x)(x∈D)得a≥f(x)max(x∈D);a≤f(x)(x∈D)得a≤f(x)min(x∈D).这种转化思想很重要，要注意掌握.2x举一反三2.已知函数（1）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值;(2)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调，求a的取值范围.32f(x)=x+(1-a)x-a(a+2)x+b(a,bR)解析：（1）由题意得f′(x)=由,解得b=0,a=-3或a=1.（2）函数f(x)在区间(-1,1)不单调，等价于导函数f′(x)在(-1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数,即函数f′(x)在(-1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有f′(-1)·f′(1)＜0,即［3+2(1-a)-a(a+2)］［3-2(1-a)-a(a+2)］＜0,整理得,解得-5＜a＜-1.23x+2(1-a)x-a(a+2)'f(0)=b=0,f(0)=-a(a+2)=-32(a+5)(a+1)(a-1)0题型三利用导数求函数的极值【例3】求函数的极值.分析按照求极值的基本方法，首先从方程f′(x)=0求出在函数f(x)定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.2-1x2xf(x)2解f(x)的定义域为R.令y′=0,解得x=1或x=-1.当x变化时，y′、y的变化情况为：.1)(x)x-2(11)(x2x2x-1)2(x(x)f222222xc(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f′(x)-0+0-f(x)极小值-3极大值-1∴当x=-1时，f(x)有极小值-3;当x=1时，f(x)有极大值-1.学后反思求函数极值的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x);(3)求方程f′(x)=0的全部实根；（4）检查方程f′(x)=0的根左右两侧f′(x)的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.为判断方程f′(x)=0的根左右两侧f′(x)的符号，可用列表的方法：用方程f′(x)=0的根及无意义的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.根据极值定义找到相应的极值举一反三3.已知函数的图象与x轴切于点(1,0)，求f(x)的极值.32f(x)=x-px-qx解析：∵f(x)过点（1，0），∴f(1)=1-p-q=0.∵f′(x)=,且f(x)与x轴相切于点(1,0)，∴f′(1)=3-2p-q=0.解方程组得∴f′(x)=，其图象如图所示,23x-2px-qp=2q=-1,1-p-q=0,3-2p-q=0,23x-4x+1=(x-1)(3x-1)323211114f(x)()2333327()(1)12110ffxf极大值极小值题型四已知函数的极值求参数的值【例4】(14分)已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值，试讨论f(1)和f(-1)是函数的极大值还是极小值.分析本题考查函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质的方法，首先借助极值点求出函数的解析式,再利用导数求出函数的极值.解f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意得f′(1)=f′(-1)=0,………………2′所以f(x)=x3-3x,f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).令f′(x)=0,得x=-1或x=1………………………………………………6′若x∈(-∞,-1］∪[1,+∞),则f′(x)≥0.故f(x)在(-∞,-1］和[1,+∞)上是增函数…………………………10′若x∈[-1,1],则f′(x)≤0,故f(x)在[-1,1]上是减函数……12′所以f(-1)=2是极大值，f(1)=-2是极小值.14′学后反思注意多项式可导函数的极值点与导数为零的根之间关系的应用.即,解得a=1,b=0…………………………4′03-2b-3a0,3-2b3a举一反三4.已知函数.（1）设a=1，求函数f(x)的极值;(2)若a＞,且当x∈[1,4a]时，|f′(x)|≤12a恒成立，试确定a的取值范围.3223f(x)=x-3ax-9ax+a14解析（1）当a=1时，对函数f(x)求导数，得f′(x)=令f′(x)=0，解得.列表讨论f(x),f′(x)的变化情况：23x-6x-912x=-1,x=3x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f′(x)+0-0+f(x)极大值6极小值-26所以，f(x)的极大值是f(-1)=6,极小值是f(3)=-26.(2)f′(x)=的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.若＜a≤1,则f′(x)在[1,4a]上是增函数，从而f′(x)在[1,4a]上的最小值是f′(1)=,最大值是f′(4a)=.由|f′(x)|≤12a,得-12a≤≤12a，于是有f′(1)=≥-12a,且f′(4a)=≤12a,由f′(1)≥-12a,得≤a≤1,由f′(4a)≤12a,得0≤a≤.22369xaxa1423-6a-9a215a22369xaxa23-6a-9a215a1-345144,1,10,,,35511所以a即a44若a＞1,则f′(a)=＞12a,故当x∈[1,4a]时,f′(x)≤12a不恒成立.所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a的取值范围是212a14,45【例】函数在x=1处有极值10,求a、b的值.易错警示322f(x)=x+ax+bx+a错解f′(x)=,由题意知,f′(1)=0,且f(1)=10,即2a+b+3=0,且解得a=4,b=-11或a=-3,b=3.23x+2ax+b2a+a+b+1=10,错解分析错误的主要原因是把为极值的必要条件当作了充要条件.0f(x)正解f()为极值的充要条件是f′()=0且f′(x)在x=附近两侧的符号相反.所以“错解”后面应该加上：当a=4,b=-11时，f′(x)=3+8x-11=(3x+11)(x-1)在x=1附近两侧的符号相反，∴a=4,b=-11满足题意;当a=-3,b=3时，f′(x)=3在x=1附近两侧的符号相同，∴a=-3，b=3应舍去.∴a=4,b=-11.0x0x0x0x2(x-1)考点演练解析f′(x)=3x2-2ax-3,∵f(x)在[1,+∞)上是增函数,∴f′(x)在[1,+∞）上恒有f′(x)≥0，即3x2-2ax-3≥0在[1,+∞)上恒成立，则必有∴g(x)为增函数，∴当x=1时，g(x)取最小值0,∴≤0,即a≤0.2ax132x22'2x122g(),()2x2xxgxx令a3恒成立10.已知函数f(x)=x3-ax2-3x.若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.解析：(1)∵∴a=16.(2)由（1）知，f(x)=16ln(1+x)+-10x(x＞-1),∴.当x∈(-1,1)∪(3,+∞)时，f′(x)＞0;当x∈(1,3)时，f′(x)＜0.∴f(x)的单调递增区间是(-1,1),(3,+∞);f(x)的单调递减区间是(1,3).010-64a(3)f10,-2xx1a(x)fx13)4x-2(x(x)f22x11.(2008·四川改编)已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点.（1）求a;（2）求函数f(x)的单调区间.12.(2010·衡水模拟)设函数f(x)=(a＞0)，求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调函数.21xax解析:f′(x)=因为,所以(1)当a≥1时，f′(x)=恒成立，所以f(x)在区间[0,+∞)上是减函数.(2)当0＜a＜1时，由f′(x)＜0得x＜,所以f(x)在上是单调递减函数;由f′(x)＞0得x＞,.1'222211120.1xxaxaax211xx201xax21aa2(0,)1aa21aa所以f(x)在上是单调递增函数.综上所述,当且仅当a≥1时，f(x)在区间[0,+∞)上是单调函数2(,)1aa