2019-2020年中考数学复习专题三圆的证明与计算试题

2019-2020年中考数学复习专题三圆的证明与计算试题类型一切线的判定判定某直线是圆的切线，首先看是否有圆的半径过直线与圆的交点，有半径则证垂直；没有半径，则连接圆心与切点，构造半径证垂直．(xx·黄石)如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD，(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．【分析】(1)根据直径所对的圆周角为直角，利用勾股定理求AC的长；(2)连接OC，利用AC是∠DAB的平分线，证得∠OAC＝∠CAD，再结合半径相等，可得OC∥AD，进而结论得证．1．(xx·六盘水)如图，在⊙O中，AB为直径，D，E为圆上两点，C为圆外一点，且∠E＋∠C＝90°.(1)求证：BC为⊙O的切线；(2)若sinA＝35，BC＝6，求⊙O的半径．2．(xx·济宁)如图，已知⊙O的直径AB＝12，弦AC＝10，D是BC︵的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求AE的长．类型二切线的性质已知某条直线是圆的切线，当圆心与切点有线段连接时，直接利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；当圆心与切点没有线段相连时，则作辅助线连接圆心与切点，再利用切线的性质解题．(xx·资阳)如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连接BD.(1)求证：∠A＝∠BDC；(2)若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝1时，求MN的长．【分析】(1)连接OD，由切线的性质可得∠CDB＋∠ODB＝90°，由AB是直径，可得∠ADB＝90°，进而可得∠A＋∠ABD＝90°，进而求得∠A＝∠BDC；(2)由角平分线及三角形外角性质可得∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，再根据勾股定理求得MN的长．3．(xx·南平)如图，PA，PB是⊙O切线，A，B为切点，点C在PB上，OC∥AP，CD⊥AP于点D.(1)求证：OC＝AD；(2)若∠P＝50°，⊙O的半径为4，求四边形AOCD的周长(精确到0.1，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)．4．(xx·长沙)如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，CD︵＝CE︵.(1)求证：OA＝OB；(2)已知AB＝43，OA＝4，求阴影部分的面积．类型三圆与相似的综合圆与相似的综合主要体现在圆与相似三角形的综合，一般结合切线的判定及性质综合考查，求线段长或半径．一般的解题思路是利用切线的性质构造角相等，进而构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出所求线段或半径．(xx·荆门)如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E.(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径．【分析】(1)连接CO，证得∠OCA＝∠CAE，由平行线的判定得到OC∥FD，再证得OC⊥CE即可；(2)连接BC，由圆周角定理得到∠BCA＝90°，再证得△ABC∽△ACE，根据相似三角形的性质即可求得半径．5．(xx·德州)如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点．以AC为直径的⊙O交AB于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．6．(xx·黄冈)如图，已知MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN.求证：(1)DE是⊙O的切线；(2)ME2＝MD·MN.7．(xx·丹东)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.(1)求证：∠BDC＝∠A；(2)若CE＝4，DE＝2，求AD的长．参考答案【例1】(1)∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，∴AC＝AB2－BC2＝4.(2)如图，连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠CAD.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OCA＝∠CAD，∴OC∥AD.∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线．【变式训练】1．(1)证明：∵∠A与∠E所对的弧都是BD︵，∴∠A＝∠E.∵∠E＋∠C＝90°，∴∠A＋∠C＝90°，∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝90°.即AB⊥BC.∵AB是直径，∴BC为⊙O的切线．(2)解：∵sinA＝BCAC＝35，BC＝6，∴AC＝10.在Rt△ABC中，AB＝AC2－BC2＝8，∴AO＝12AB＝4，即⊙O的半径是4.2．(1)证明：如图，连接OD.∵D是BC︵的中点，∴BD︵＝DC︵，∴∠BOD＝∠BAE，∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°.∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．(2)解：如图，过点O作OF⊥AC于点F.∵AC＝10，∴AF＝CF＝12AC＝12×10＝5.∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形OFED是矩形，∴FE＝OD＝12AB＝6，∴AE＝AF＋FE＝5＋6＝11.【例2】(1)如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠BDC＋∠ODB＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠A＋∠ODB＝90°，∴∠A＝∠BDC.(2)∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM.∵∠A＝∠BDC，∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM.即∠DMN＝∠DNM.∵∠ADB＝90°，DM＝1，∴DN＝DM＝1，∴MN＝DM2＋DN2＝2.【变式训练】3．(1)证明：∵PA是⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥PA，即∠OAD＝90°.∵OC∥AP，∴∠COA＝180°－∠OAD＝180°－90°＝90°.∵CD⊥PA，∴∠CDA＝∠OAD＝∠COA＝90°，∴四边形AOCD是矩形，∴OC＝AD.(2)解：∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP＝90°.∵OC∥AP，∴∠BCO＝∠P＝50°.在Rt△OBC中，sin∠BCO＝OBOC，OB＝4，∴OC＝4sin50°≈5.22，∴矩形OADC的周长为2(OA＋OC)＝2×(4＋5.22)≈18.4.4．(1)证明：如图，连接OC.∵AB与⊙O相切于点C，∴∠ACO＝90°.∵CD︵＝CE︵，∴∠AOC＝∠BOC，∴∠A＝∠B，∴OA＝OB.(2)解：由(1)可知△OAB是等腰三角形，∴BC＝12AB＝23，∴sin∠COB＝BCOB＝32，∴∠COB＝60°，∴∠B＝30°，∴OC＝12OB＝2，∴S扇形OCE＝60π×4360＝2π3，S△OCB＝12×23×2＝23，∴S阴影＝S△OCB－S扇形OCE＝23－2π3.【例3】(1)如图，连接CO，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∵AC平分∠FAB，∴∠OAC＝∠FAC，∴∠OCA＝∠FAC，∴OC∥FD.∵CE⊥FD，∴CE⊥OC.∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．(2)如图，连接BC，在Rt△ACE中，AC＝AE2＋EC2＝5.∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠BCA＝∠CEA.∵∠CAE＝∠BAC，∴△ACE∽△ABC，∴CAAB＝AEAC，即5AB＝15，∴AB＝5，∴AO＝12AB＝2.5即⊙O的半径是2.5.【变式训练】5．(1)证明：如图，连接OE，CE.∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝∠BEC＝90°.∵D是BC的中点，∴ED＝12BC＝DC，∴∠1＝∠2.∵OE＝OC，∴∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACD.∵∠ACD＝90°，∴∠OED＝90°，即OE⊥DE.又∵E是⊙O上一点，∴DE是⊙O的切线．(2)解：由(1)知∠BEC＝90°.在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B为公共角，∴△BEC∽△BCA，∴BEBC＝BCBA，即BC2＝BE·BA.∵AE∶EB＝1∶2，设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x.又∵BC＝6，∴62＝2x·3x.∴x＝6，即AE＝6.6．证明：(1)∵ME平分∠DMN，∴∠OME＝∠DME.∵OM＝OE，∴∠OME＝∠OEM，∴∠DME＝∠OEM，∴OE∥DM.∵DM⊥DE，∴OE⊥DE.∵OE是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．(2)如图，连接EN，∵DM⊥DE，MN为⊙O的直径，∴∠MDE＝∠MEN＝90°，∵∠NME＝∠DME，∴△MDE∽△MEN，∴MEMD＝MNME，∴ME2＝MD·MN.7．(1)证明：如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°.即∠ODB＋∠BDC＝90°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.即∠ODB＋∠ADO＝90°.∴∠BDC＝∠ADO.∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A.(2)解：∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC.∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE.又∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，∴CEDE＝AECE，∴CE2＝DE·AE，即16＝2(2＋AD)．∴AD＝6.