中考压轴题中的数形结合

中考压轴题中的数形结合-1-/7中考压轴题中的数形结合一般性数学试卷的最后一题在测试学生的数学素养的基础上，本着适度区分的原则，最后一题的三个小题的坡度逐渐提升，达到分层的效果．这些试题一般性取材于课本但高于课本，强调知识的灵活运用，综合性较强，原创题较少，大多属于改编体，它们的基本图形在几何画板中加以研究，达到推陈出新的效果，绝大多数属于改编题．下面以08年静安、杨浦两区模拟考最后一题为例，进行归纳分析．它们的难度略低于中考的压轴题．例1．（08静安）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AD//BC，AB=4，BC=12，点E在边BA的延长线上，AE=2，点F在BC边上，EF与边AD相交于点G，DF⊥EF，设AG=x,DF=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2）当AD=11时，求AG的长；（3）如果半径为EG的⊙E与半径为FD的⊙F相切，求这两个圆的半径．分析：本题以直角梯形为载体，第1小题梯形结合相似形知识来研究两条线段的数量关系，探求函数关系式和定义域;第2小题在研究特殊情况下知道函数值AD=11求自变量AG的值，第三小题结合圆的内容以两圆相切（外切和内切）这一知识点来压轴．其实如果学生基础扎实，利用两圆相切关系建立等式：当⊙E与⊙F外切时，EF=EG+FD=EG+FG，当⊙E与⊙F内切时，EF=FD–EG，相关的量都用含自便量的代数式来表示，从而利用关系等式建立方程，解方程求出自便量的值，再求出两个圆的半径，考察了方程思想．略解：（1）∵AD//BC，∠B=90º，∴∠EAG=∠B=90º，∴EG=.42x∵,AEEGABFG∴FG=2242244xxAEEGAB．∵∠DFG=∠EAG=90º，∠EGA=∠DGF，∴△DFG∽△EAG．∴AGAEGFDF，∴xxy2422，∴y关于x的函数解析式为xxy244，定义域为40x（2）∵△DFG∽△EAG，∴,AGFGEGGD∴GD=xx228．当AD=11时，11282xxx，DGBCAEF中考压轴题中的数形结合-2-/738,121xx．经检验它们都是原方程的根，且符合题意，所以AG的长为1或38．（3）当⊙E与⊙F外切时，EF=EG+FD=EG+FG，∴FD=FG，∵△DFG∽△EAG，∴∠E=∠AGE=∠FGD=∠GDF．∴AG=AE=2；∴⊙E的半径EG=22，⊙F的半径FD=24．当⊙E与⊙F内切时，EF=FD–EG，∴32224444xxxx，∴1x∴⊙E的半径EG=514，⊙F的半径FD=54．所以⊙E的半径为22，⊙F的半径为42；或⊙E的半径为5，⊙F的半径为45．例2．（08杨浦）如图，Rt△ABO在直角坐标系中，∠ABO=900，点A（-25，0），∠A的正切值为34，直线AB与y轴交于点C（1）求点B的坐标；（2）将△ABO绕点O顺时针旋转，使点B落在x轴正半轴上的B/处。试在直角坐标系中画出旋转后的△A/B/O，并写出点A/的坐标；（3）在直线OA/上是否存在点D，使△COD与△AOB相似，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．分析：本题以直线(一次函数)为载体，它与坐标轴的结合镶嵌了母子直角三角形在内，结合三角比知识求点B的坐标就构成了第一小题;第二小题结合我们上海考题的一贯特色，图形三大运动之一旋转来考察学生的画图能力，直接写出坐标则秉承了上海06年中考24题的一贯分格，只不过06年的24题以二次函数为载体；第三小题则结合了相似形只是考察分类讨论的数学思想和方程思想．其实这种习题如果学生留意一下,就会成为傻瓜题,不管是否结合坐标系背景,只要是文字语言叙述的存在性问题,都会保证一个字母相同(提供一个相等的角)分两种情况；如果没有相同字母时一定会隐藏相等的叫在里面，分类讨论的方法相同,如挖掘出∠A=∠COA/当ABAOODCO或AOABODCO时,第1、2比例项不变，第3、第4比例项调换位置，最多时有三个答案．略解：（1）易得B（－16，12）（2）正确画图A/（20，15）（3）在Rt△AOC中，AO=25，tgA=34，∴OC=3100设OA/的解析式为y=kx，则15=20k，则k=43，∴y=43xAOBxyxC中考压轴题中的数形结合-3-/7∵△ABO旋转至△A/B/O，∴∠AOB=∠A/OB/，∵∠AOB+∠A=900，∠COA/+∠A/OB/=900，∴∠A=∠COA/∴在直线OA/上存在点D符合条件，设点D的坐标为（x，43x），则OD=x451)当ABAOODCO即1525453100x，也即x=16时，△COD与△AOB相似，此时D（16，12）2)当AOABODCO即2515453100x，即x=9400时△COD与△AOB相似，此时D（3100,9400）．1．对于两类压轴题的对比分析图形(1)(2)共同点代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数不同点以形为载体，研究数量关系以数为平台，研究形的特征通过设、表、列获得函数关系式通过方程思想确定点的坐标或函数关系式研究特殊情况下的函数值研究特殊图形的存在性我市今年各区最后两题均属于一道以形为载体，研究数量关系、一道以数为平台，研究形的特征，这也和最近两年中考题最后两题吻合．2．习惯于思考试题编制方法与策略要结合想考察的内容，有针对性地选好起点题，这个起点题可以是课本上的例习题，也可以是往年的中考题．只要题的基础好，有它的发展的空间，就可以将它进行拓展、引申,即变式或改编．改编的方法很多，例如，改换或置换题设与结论，强化或弱化条件；改变或转换考DGBCAEFAOBxyxCyxPODCBA中考压轴题中的数形结合-4-/7查目标与题型，纵向挖掘，横向发展，以及改换试题背景，改变命题的呈现形式（如开放、探索式），改换图形（如由等腰直角三角形改为等边三角形或直角三角形或一般等腰三角形）等．同一起点题需要进行多方面、多角度进行改编，在控制难度的前提下，达到试题需要所要发挥的功效．譬如说（08静安）就是以直角梯形作为载体,结合相似形知识编制出1、2小题，也只有结合圆的知识形成探索，利用圆与圆的位置关系这一基础知识点渗透方程和分类讨论的数学思想，其次，（08杨浦）题则以直线（一次函数）作为载体，结合相似形中的基本图形（母子三角形）或是运用三角比知识来确定点的坐标，最后一小题则是相似形知识渗透分类讨论和方程思想来确定点的坐标．其实这题还可以再添一条线，作其它变化．例3．如图，已知⊙P与x轴相切于坐标原点O，点A(0,2)是⊙P与y轴的交点，点B)0,22(,连结BP交⊙P于点C,连结AC并延长交x轴于点D．(1)求线段BC的长；(2)求直线AC的函数解析式；(3)当点B在x轴上移动时，是否存在点B，使△BOP相似于△AOD?若存在，求出符合条件点的坐标;若不存在，请说明理由．该题还可以作出其它变化，这里对它的开放性不一一列举．编制习题如改换题设,拓展知识深度和广度;改变图形，追求知识本质的理解;改换题型，增强思维的灵活性和深刻性;改换角度，理清知识之间相互联系;改编情景，训练理解能力和建模能力等．以下举例进行对比分析:例4．（1）（06松江）如图，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90º，CD=9，BC=53，5Atg．P、Q分别是边AB、CD上的动点（点P不与点A、点B重合），且有BP=2CQ．（1）求AB的长；（2）设CQ=x,四边形PADQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）若以C为圆心、CQ为半径作⊙C，以P为圆心、以PA的长为半径作⊙P．当⊙C与⊙P外切时，试判断四边形PADQ是什么四边形，并说明理由．分析：本题从载体到每个小题考察的内容都是和08静安的最后一题的编制手法类AQPDCB中考压轴题中的数形结合-5-/7似的．（2）如图，已知二次函数cbxxy2)0(c的图象经过点),2(mA)0(m，与y轴交于点B，AB∥x轴，且OBAB23．（1）求m的值；（2）求二次函数的解析式；（3）如果二次函数的图象与x轴交于C、D两点（点C在左恻）．问线段BC上是否存在点P，使△POC为等腰三角形；如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．分析：本题从载体到每个小题考察的内容都是和08杨浦的最后一题的编制手法类似的．压轴的点从06年的等腰三角形的存在性变化为08杨浦相似形的存在性，共性在于：分类讨论和方程思想的使用．下面再以一道习题感悟习题的改编的策略．例6．【起点题】如图1，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且∠1=∠2，求证：AB=AC.改编1.如图1，∠CAE是△ABC的外角，AB=AC，且∠1=∠2，求证：AD∥BC.改编2.如图2，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且∠1=∠2，AF为△ABC的中线，求证：AF⊥AD.改编3.如图3，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且∠1=∠2，过AC的中点H作AD的垂线交AE于G，求证:AG=21AB.改编4.如图4，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且∠1=∠2，过C作CG⊥AD于G，F为BC的中点，连结FG.（1）AC与FG有何数量关系？并说明理由；（2）当AC⊥FG时，△ABC应为什么三角形？DyOAOBOxC中考压轴题中的数形结合-6-/7改编5.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．这类习题只属于常规的中档题.就不在加以论述.其实，上述例题很常规，流行于外省市中考题的中档题，上海还没有改编.但是最后压轴题以几何为载体的不过是分为圆与三角形、特殊的四边形，如果是前者，最后一小题用等腰、直角、相似性存在性问题压轴；如果是后者，一般性最后一小题就是加入圆的内容，运用直线与圆相切（07上海最后一题）、圆与圆的位置关系的讨论（08上海最后一题）等.3.让试题成为教师的朋友一般性,试题的八个维度：看题，做题，选题，组题，讲题，编题，研题，评题.从题上显功夫.与试题对话.教师先要做题，知道关键所在；将题目分类，同类题中将题目分层分类理顺；观察、比较、研究题目之间的内在联系；最后总结提炼出带规律性的东西来；这时精选题目，将题目分组,回归应用；让学生经历自己相类似的发现过程再对学生进行指导促进提高他们的数学素养.譬如,去年上海数学卷24题学生的失分很多,原因在于南汇的同行们类似的习题就讲解不多,学生们读不懂该题,感觉陌生.许多同学第2小题都作不出来，导致得分率不高.如图，在直角坐标平面内，函数myx（0x，m是常xCODBAyABCDMNE中考压轴题中的数形结合-7-/7数）的图象经过(14)A，，()Bab，，其中1a．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连结AD，DC，CB．（1）若ABD△的面积为4，求点B的坐标；（2）求证：DCAB∥；（3）当ADBC时，求直线AB的函数解析式．分析：于同时具有以形为载体，研究数量关系，以数为平台，研究形的特征．略解：（1）（2）（3）方法1:DCAB∥，∴当ADBC时，有两种情况：①当ADBC∥时，四边形ADCB是平行四边形，由（2）得，1BEAEaDECE，11a，得2a．点B的坐标是（2，2）．易得直线AB的函数解析式是26yx．②当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，则BDAC，4a，点B的坐标是（4，1）．易得直线AB的函数解析式是5yx．或是方法2:当ADBC时，由两点间距离公式建立关于a的方程，用方程思想求出a的值加以求解.这里方法一就是在考察学生对平行四边形和等腰梯形的认识来压轴,或是说考察数学的本质性的东西:数与形的完美结合.著名学者笛卡尔说过：“我所解决的每一