高三第一轮复习圆的方程及求法

圆的方程及求法【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．主干知识归纳1．圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)2．圆的方程：标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心：()－D2，－E2，半径：12D2＋E2－4F方法规律总结1．待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．2．几何法求圆的方程：利用圆的有关几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”、“半径，弦心距，弦长的一半构成直角三角形”等．3．求与圆有关的轨迹问题的四种方法【指点迷津】【类型一】确定圆的方程【例1】：求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程【解析】：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意列出方程组013211222222barbarba，解之得534rba,∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.答案：(x－4)2＋(y＋3)2＝25.【例2】：已知圆心为C的圆经过点A(0，－6)，B(1，－5)，且圆心在直线l：x－y＋1＝0上，求圆的标准方程．【解析】：法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，则圆心坐标为－D2，－E2.由题意可得0205)5(106)6(222EDFEDFE,消去F得D＋E－10＝0D－E－2＝0，解得D＝6E＝4，代入求得F＝－12，所以圆的方程为x2＋y2＋6x＋4y－12＝0，标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.法二：因为A(0，－6)，B(1，－5)，所以线段AB的中点D的坐标为12，－112，直线AB的斜率kAB＝01)6(5＝1，因此线段AB的垂直平分线l的方程是y＋112＝－x－12，即x＋y＋5＝0.圆心C的坐标是方程组x＋y＋5＝0x－y＋1＝0的解，解得x＝－3y＝－2，所以圆心C的坐标是(－3，－2)．圆的半径长r＝|AC|＝22)26()30(＝5，所以，圆心为C的圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.答案：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.【类型二】与圆有关的轨迹问题【例1】：已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．【解析】：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.答案：(1)(x－1)2＋y2＝1.(2)x2＋y2－x－y－1＝0.【例2】：已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC中点M的轨迹方程．【解析】：(1)设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1.又kAC＝yx＋1，kBC＝yx－3，且kAC·kBC＝－1，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0＋32(x≠3且x≠1)，y＝y0＋02，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上运动，将x0，y0代入该方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．答案：(1)x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．(2)(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．例3．(2010·山东烟台调研)若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为()A．y2－4x＋4y＋8＝0B．y2＋2x－2y＋2＝0C．y2＋4x－4y＋8＝0D．y2－2x－y－1＝0【解析】：由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得a＝2，即点C(－2,2)，所以过点C(－2,2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理即得y2＋4x－4y＋8＝0.答案：C.【同步训练】【一级目标】基础巩固组一、选择题1.已知两点A(9，4)和B(3，6)，则以AB为直径的圆的方程为()A．(x－6)2＋(y－5)2＝10B．(x＋6)2＋(y＋5)2＝10C．(x－5)2＋(y－6)2＝10D．(x＋5)2＋(y＋6)2＝10【解析】：线段AB的中点坐标(6，5)为圆心坐标，半径=21|AB|=10答案：A.2.(2014·四川成都外国语学校)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1D．(x－2)2＋(y－2)2＝1【解析】：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)，它关于直线x－y－1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.答案：B.3.若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为()A．(－∞，－2)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(2，＋∞)【解析】：曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a)，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a＞2.答案：D.4.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是()A．a＜－2或a＞32B．－32＜a＜0C．－2＜a＜0D．－2＜a＜32【解析】：方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0转化为(x+2a)2＋(y＋a)2＝－43a2－a＋1，所以若方程表示圆，则有－43a2－a＋1＞0，∴3a2＋4a－4＜0，∴－2＜a＜32.答案：D.5.已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为()A．x±332＋y2＝43B．x±332＋y2＝13C．x2＋y±332＝43D．x2＋y±332＝13【解析】：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a)，半径为r，则rsinπ3＝1，rcosπ3＝|a|，解得r＝23，即r2＝43，|a|＝33，即a＝±33，故圆C的方程为x2＋y±332＝43.答案：C.二、填空题6.经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为________．【解析】：由x＝1，x＋y＝2，得x＝1，y＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.答案：(x－1)2＋(y－1)2＝1.7.已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．【解析】：∵圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，∴其圆心为(－1,2)，且5－a＞0，即a＜5.又圆关于直线y＝2x＋b成轴对称，∴2＝－2＋b，∴b＝4.∴a－b＝a－4＜1.答案：(－∞，1).8.圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，则圆的方程为______________．【解析】：所求圆与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，故线段AB的垂直平分线x＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x－3y－1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得为(2,1)，进一步可求得半径为2，所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2.答案：(x－2)2＋(y－1)2＝2.三、解答题9.已知圆的方程是x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0，(1)求此圆的圆心与半径；(2)求证：不论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆．【解析】：(1)配方得：(x＋m－1)2＋(y－2m)2＝9∴圆心为(1－m,2m)，半径r＝3.(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且x＝1－my＝2m，∴2x＋y＝2.∴不论m为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x＋y－2＝0上，且为等圆．答案：(1)圆心为(1－m,2m)，半径r＝3.(2)圆心在直线2x＋y－2＝0上，且为等圆．10.(2010·辽宁抚顺调研)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．【解析】：(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．∵P点在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.答案：(1)(x－1)2＋y2＝1.(2)x2＋y2－x－y－1＝0.【二级目标】能力提升题组一、选择题1.已知二元二次方程Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，则A＝C≠0，D2＋E2－4F＞0，是方程表示圆的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解析】：取A＝C＝4，D＝2，E＝2，F＝1时，满足A＝C≠0，D2＋E2－4F＞0，但是4x2＋4y2＋2x＋2y＋1＝0不表示圆；方程13x2＋13y2＋x＋y＋1＝0表示圆，其中A＝13，C＝13，D＝1，E＝1，F＝1，但不满足D2＋E2－4F＞0.综上可知，选D．答案：D.2.(2010·浙江宁波调研)若直线l：ax＋by＋4＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆C：x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则ab的最大值为()A．4B．2C．1D.14【解析】：由题意知，圆C的圆心坐标为(－4，－1)．又直线l始终平分圆C，所以直线l必过圆心，故4＝4a＋b≥24ab，故ab≤1.答案：C.二、填空题3.(2009·扬州调研)若直线ax＋by＝1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是________．【解析】：∵直线ax＋by＝1过点A(b，a)，∴ab＋ab＝1，∴ab＝12，又OA