最新-2018届高三数学第一轮复习圆的方程讲义-精品

圆的方程自主梳理1．圆的定义在平面内，到___定点_____的距离等于____定长____的点的___集合_____叫圆．2．确定一个圆最基本的要素是___.圆心_____和__半径______．3．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，其中___(a，b)_____为圆心，__r__为半径．4．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若化为标准式，即为x＋D22＋y＋E22＝D2＋E2－4F4．由于r2相当于D2＋E2－4F4．所以①当D2＋E2－4F0时，圆心为－D2，－E2，半径r＝D2＋E2－4F2．②当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点－D2，－E2．③当D2＋E2－4F0时，这样的圆不存在．5．确定圆的方程的方法和步骤（1）确定圆的方程必须有三个独立条件不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a、b、r或D、E、F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a、b、r或D、E、F的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值．（2）确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程6．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2__＝__r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2.自我检测1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是______．x2＋(y－2)2＝12．圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋3y－3＝0的距离为___1_____．3．点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是()A．x－y－3＝0B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0D．2x－y－5＝04．已知点(0,0)在圆：x2＋y2＋ax＋ay＋2a2＋a－1＝0外，则a的取值范围是_______(－1－73，－1)∪(12，－1＋73)____．5．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的切线，切点为A、B，则△APB的外接圆方程为____(x－2)2＋(y－1)2＝5____．6．已知圆的方程为08622yxyx.设该圆过点（3，5）的两条弦分别为AC和BD，且BDAC.则四边形ABCD的面积最大值为（）A．206B．306C．49D．507．已知两定点A(-2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PBPA2，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）A.B.8C.4D.98．当曲线214yx与直线240kxyk有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（）A．5(0,)12B．13(,]34C．53(,]124D．5(,)12题型一求圆的方程例1根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．(3)求经过点A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．解题导引(1)一可以利用圆的一般式方程，通过转化三个独立条件，得到有关三个待定字母的关系式求解；二可以利用圆的方程的标准形式，由条件确定圆心和半径．(2)一般地，求圆的方程时，当条件中给出的是圆上若干点的坐标，较适合用一般式，通过解三元方程组求待定系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式．解(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P、Q点的坐标分别代入得2D－4E－F＝20，3D－E＋F＝－10.①②又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，④由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.(2)方法一如图，设圆心(x0，－4x0)，依题意得4x0－23－x0＝1，∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝22，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.方法二设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，根据已知条件得y0＝－4x0，(3－x0)2＋(－2－y0)2＝r2，|x0＋y0－1|2＝r，解得x0＝1，y0＝－4，r＝22.因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.（3）解方法一设圆心为C，所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心C－D2，－E2.∴kCB＝6＋E28＋D2.由kCB·kl＝－1，∴6＋E28＋D2·－13＝－1.①又有(－2)2＋(－4)2－2D－4E＋F＝0，②又82＋62＋8D＋6E＋F＝0.③解①②③，可得D＝－11，E＝3，F＝－30.∴所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.方法二设圆的圆心为C，则CB⊥l，从而可得CB所在直线的方程为y－6＝3(x－8)，即3x－y－18＝0.①由A(－2，－4)，B(8,6)，得AB的中点坐标为(3,1)．又kAB＝6＋48＋2＝1，∴AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0.②由①②联立后，解得x＝112，y＝－32.即圆心坐标为112，－32.∴所求圆的半径r＝112－82＋－32－62＝1252.∴所求圆的方程为x－1122＋y＋322＝1252.变式训练1(1)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2(2)若圆上一点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为22，则圆的方程是___(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244_______________．题型二圆的几何性质的应用例2已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．解方法一将x＝3－2y，代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，得5y2－20y＋12＋m＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1、y2满足条件：y1＋y2＝4，y1y2＝12＋m5.∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0.而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2.∴x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2.∴9－6(y1＋y2)＋5y1y2＝0，∴9－6×4＋5×12＋m5＝0，∴m＝3，此时1＋36－3×40，圆心坐标为－12，3，半径r＝52.方法二如图所示，设弦PQ中点为M，∵O1M⊥PQ，∴kO1M＝2.又圆心坐标为－12，3，∴O1M的方程为y－3＝2x＋12，即y＝2x＋4.由方程组y＝2x＋4，x＋2y－3＝0，解得M的坐标为(－1,2)．则以PQ为直径的圆可设为(x＋1)2＋(y－2)2＝r2.∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上．∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r2，即r2＝5，MQ2＝r2.在Rt△O1MQ中，O1M2＋MQ2＝O1Q2.∴－12＋12＋(3－2)2＋5＝1＋－2－4m4.∴m＝3.∴半径为52，圆心为－12，3.方法三设过P、Q的圆系方程为x2＋y2＋x－6y＋m＋λ(x＋2y－3)＝0．由OP⊥OQ知，点O(0,0)在圆上．∴m－3λ＝0，即m＝3λ．∴圆系方程可化为x2＋y2＋x－6y＋3λ＋λx＋2λy－3λ＝0．即x2＋(1＋λ)x＋y2＋2(λ－3)y＝0．∴圆心M－1＋λ2，2(3－λ)2，又圆心在PQ上．∴－1＋λ2＋2(3－λ)－3＝0，∴λ＝1，∴m＝3．∴圆心为－12，3，半径为52．变式训练2如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M与x轴及直线y＝3x分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切且与x轴及直线y＝3x分别相切于C、D两点．(1)求圆M和圆N的方程；(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．解(1)∵M的坐标为(3，1)，∴M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，则圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝1.设圆N的半径为r，连接MA，NC，OM，则MA⊥x轴，NC⊥x轴，由题意知：M，N点都在∠COD的平分线上，∴O，M，N三点共线．由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，|OM|∶|ON|＝|MA|∶|NC|，即23＋r＝1r⇒r＝3，则OC＝33，则圆N的方程为(x－33)2＋(y－3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A点与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度，此弦的方程是y＝33(x－3)，即x－3y－3＝0，圆心N到该直线的距离d＝32，则弦长为2r2－d2＝33.题型三与圆有关的最值问题例3．已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．(1)求x＋y的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值和最小值．解(1)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t的纵截距，所以x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距．由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋－－t|2＝1，解得t＝2－1或t＝－2－1，所以x＋y的最大值为2－1，最小值为－2－1.(4分)(2)yx可视为点(x，y)与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点时斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线方程为y＝kx，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即|2k－－1＋k2＝1，解得k＝－2＋233或k＝－2－233，所以yx的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.(8分)(3)x2＋y2＋2x－4y＋5，即[x－－2＋－2，其最值可视为点(x，y)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又因为圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.探究提高与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．变式训练3①已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求n－3m＋2的最大值和最小值．(1)|MQ|max＝62，|MQ|min＝22(2)n－3m＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3②已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求y－x的最大值和最小值；(2)求x2＋y2的最大值和最小值．解题导引与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如μ＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．解(1)y－x可看作是