2.1--第2课时-数列的通项公式与递推公式--课件--(共34张PPT)

第2课时数列的通项公式与递推公式按照一定顺序排列的一列数称为数列.(数列具有有序性、可重复性、确定性)1.数列的定义：2.数列与函数的关系:数列可以看成以正整数集（或它的有限子集{1,2，…，n}）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f（x）,如果f（i）（i=1,2,3，…）有意义，那么我们可以得到一个数列f（1），f（2），f（3），…，f（n），…*Nna=f（n）1.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式;(重点）2.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式.（难点）我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项.探究点1数列的通项公式注：数列与函数的关系y=f（x）ann（正整数集N﹡或它的有限子集{1,2,3,…,n})项通项公式函数值自变量如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.n{a}3nan12nna【即时练习】写出下面数列的一个通项公式:例：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：1111123421111（），，，；（），，，；变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：；，，，）（；，，，）（0202241312111【解析】（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的一个通项公式为n+1n（-1）a=n（2）这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为【互动探究】1.根据数列的前若干项写出的通项公式的形式唯一吗？请举例说明.提示：不一定唯一..n+1na=（-1）120212sin1cos.2，n为奇数n，n为偶数nn如：例（2）中通项公式还可以写成a={，n或a=或a=n2.根据数列的前若干项一定能写出通项公式吗？请举例说明.提示：不一定能写出.如：2精确到1,0.1,0.01,0.001，的不足近似值构成的数列1,1.4,1.41,1.414，...就无法写出通项公式.注意：①一些数列的通项公式不是唯一的②不是每一个数列都能写出它的通项公式例2图中的三角形图案称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.【解析】如图，这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以,这个数列的一个通项公式是在直角坐标系中的图象如图所示..n-1na=3O369121518212427301234n-1na=3根据数列的前几项的值，写出数列一个通项公式：（1）3,5,7,9,11，….（3）0,1,0,1,0,1，….（5）7,77,777,7777，….246810（2），，，，，….31535639911111（4）-，，-，，-，.2122232425…【变式练习】【解析】n（1）a=2n+1.n22n（2）a=.（2n）-1nn1+（-1）（3）a=.2nn1（4）a=（-1）.2nnn7（5）a=（10-1）.9探究点2数列的递推公式1.观察以下数列，并写出其通项公式：思考：除用通项公式外，还有什么办法可以确定这些数列的每一项？（1）1,3,5,7,9,11，…（2）0，-2，-4，-6，-8，…（3）3,9,27,81，…nna=3na=2n-1na=-（2n-1）【解析】12132nn-1（1）a=1，a=3=1+2=a+2，a=5=a+2，...，a=a+2.1nn-1（2）a=0，...，a=a-2.1nn-1（3）a=3，...，a=3a2.观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型.模型一：自上而下…1↔4=1+3，第1层钢管数为4，即第2层钢管数为5，即第3层钢管数为6，即第4层钢管数为7，即第5层钢管数为8，即2↔5=2+3，3↔6=3+3，4↔7=4+3，5↔8=5+3，nn若用a表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且a=n+3.模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1，对于上述所求关系，若知其第n-1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要.12132nn-1即a=4，a=5=4+1=a+1，a=6=5+1=a+1，以此类推：a=a+1（2≤n≤7）n1nn-121323.如果一个数列{a}的首项a=1，从第2项起每一项等于它的前一项的2倍再加上1，即a=2a+（1n1），那么a=2a+1=3，...a=2a+1=7,nn-1像这样给出数列的方法叫做，其中a=2a+（1n1）称为.递推公式也是数列的一递推法递推公式种表示方法.在数列{an}中，已知a1=2，a2=3，an+2=3an+1-2an（n≥1）写出此数列的前六项.【解题关键】通过观察，此题的递推公式是数列中相邻三项的关系式，知道前两项就可以求出后一项.【解析】a1=2，a2=3，a3=3a2-2a1=3×3-2×2=5，a4=3a3-2a2=3×5-2×3=9，a5=3a4-2a3=3×9-2×5=17,a6=3a5-2a4=3×17-2×9=33.【即时练习】【互动探究】已知数列{an}的第一项是1，以后各项由公式an-1=2an-2给出，写出这个数列的前五项.【解题关键】可先将公式变形为an=1+an-1.根据递推公式写出数列的前几项，可由a1=1及a2=1+a1，求出a2这一步是解题的关键.【解析】∵an-1=2an-2,∴an=1+an-1.又a1=1,∴a2=a3=a4=a5=1212123,27 ,415,831.16例3设数列{an}满足写出这个数列的前5项.【解析】由题意可知12134235411a=1，a=1+=1+=2，a1113125a=1+=1+=，a=1+=1+=，a22a33138a=1+=1+=a55.1n+1nn已知a=2，a=2a，写出前5项，并猜想a观【解析】223123344545nn方法一：a=2，a=2×2=2=4，a=2×2=2=8，a=2×2=2=16，a=2×2=2=32，察猜想a=2.【变式练习】123451-1-1-1-1-22-1-2-31-11122242482816216322222....22·22222.方法二：，，，，，，，即，观察猜想所以（），所以（），又也符合上式，所以nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaanaaaaaanaa1.数列{an}中，a1=-1，an+1=an-3，则a3等于（）（A）-7（B）-4（C）-1（D）2【解析】选A.a2=a1-3=-1-3=-4,a3=a2-3=-4-3=-7.A2.数列0，2，4，6，…的递推公式可以是（）（A）an+1=an+2（B）an+1=2an（C）an+1=an,a1=0（D）an+1=an+2,a1=0【解析】选D.选项A、B中没有明确a1的大小，故选项A、B不是；选项C中，a2=0,a3=0,a4=0,则选项C不是；选项D中，a2=2,a3=4,a4=6,则选项D是正确D3.下列数列满足an+1=的是（）(A)1,1,1,1,…(B)2,2,2,2,…(C)3,1,3,1,…(D)-1,1,-1,1,…【解析】选A.因为选项A中,a1=1，an+1=则能依次求出a2=a3=a4=1.n1an1a，A圆学子梦想铸金字品牌4.(2014·全国卷Ⅱ)数列{an}满足an+1=n11a,a8=2,则a1=.【解析】由an+1=n11a,可得an=1-n+11a,又a8=2,故a7=12,……依次下去得a1=12.125.根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.*1n+1n*n1n+1n*1n+1n（1）a=0，a=a+（2n-1）（n∈N）.2a（2）a=1，a=（n∈N）.a+2（3）a=3，a=3a-2（n∈N）..【解析】123452n（1）a=0，a=1，a=4，a=9，a=16，所以a=（n-1）.12345n212212（2）a=1，a=，a==，a=，a==，3245362所以a=n+10121233445n-1n（3）a=3=1+2×3，a=7=1+2×3，a=19=1+2×3，a=55=1+2×3，a=163=1+2×3，所以a=1+2·3.2.递推公式与数列的通项公式的区别是：1.通项公式、递推公式的概念；(1)通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系.(2)对于通项公式，只要将公式中的n依次取1,2,3,4,…即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求出其他项.3.数列通项公式与递推公式的区别与联系区别联系项an及相邻项间的关系式都是数列的一种表示方法，可求出数列中任意一项通项公式递推公式区别项an是序号n的函数式an=f(n)