1第二章 模糊聚类分析

西安理工大学模糊数学多媒体教学课件模糊聚类分析第二章第二章模糊聚类分析模糊聚类分析•2.1模糊关系•2.2模糊矩阵•2.3模糊等价关系•2.4模糊聚类分析•2.5模糊聚类分析的应用2.1模糊关系•一模糊关系的概念•二模糊关系的运算•三模糊关系的性质•四模糊关系的合成1.模糊关系的定义2.几种特殊的模糊关系1.模糊关系合成的定义2.模糊关系合成的性质一模糊关系的概念离散数学中给关系下的定义：任一序偶（两个具有固定次序的客体组成一个序偶，它常常表达两客体的关系）的集合确定了一个二元关系，中任一序偶可记作或。不在中的任一序偶可记作或。RRxRyRRyx∈,yx,yx,yRx/Ryx∉,由于关系是序偶的集合，如果序偶的第一元素和第二元素分别属于不同的集合，那么关系就是两个集合直积（笛卡尔积）的子集。当时，关系是的子集，这时称为在上的二元关系。RRYX=XX×X抽象代数中给关系下的定义：BARba×⊂∈),(RRaRbBA×BA,设是集合，积集合的一个子集就称为到的一个关系.若，则称与为相关，记为。ABab通俗地说，关系是客观事物之间存在着的某种联系；关系是施加某种限制或约束的搭配。但是有些关系是非常明确的，如数学上的属于，包含，等于，大于，小于等。但有些关系的界限是不明确的，如相像关系，朋友关系，信任关系等，这些关系就需要用今天我们要学习的模糊关系加以描述。的隶属函数为,称隶属度为关于模糊关系的相关程度。如果，则称为上二元关系（模糊关系）.R),(yxR),(yxR),(yxVU=RURU所有从到的模糊关系的集，可记为。从而就表示从到的模糊关系。就表示从到的模糊关系，即表示中的二元关系。UUUUVVV)F(U×V)F(U×U)F(U×1.模糊关系的定义确定了中的元素与中的元素的关系程度，则称为从到的一个模糊关系。记为UxVyRUV定义设为论域，为直积空间上的一个模糊子集，若它的隶属函数RVU,VU×]10[VU:，→×R),(|),(yxyxRμ→记为),(yxRRUVI（1）如果给定上的模糊关系满足：则称为上的“恒等关系”。UU⎩⎨⎧≠==⇔)(0)(1),(yxyxyxIIμI（2）如果给定上的模糊关系满足：则称为上的“零关系”。VU×VU×OVUyxO×∈∀⇔),(0),(=yxOμO（3）如果给定上的模糊关系满足：则称为上的“全称关系”。VU×VU×EVUyxE×∈∀⇔),(1),(=yxEμE2.几种特殊的模糊关系2.几种特殊的模糊关系（4）设模糊关系若关系使得),(VUFR×∈⇔ΤRVUyx×∈∀),(),(),(yxRxyR=Τ则称为的“转置关系”（又称“逆关系”）。ΤRR),(UVFR×∈Τ如“信任关系”和“被信任关系”互为逆关系。),(),(xyRyxR≠若则有或若则则称为反对称的。),(),(xyRyxR=0),(=yxRyx≠R（5）设模糊关系若对),(UUFR×∈UUyx×∈∀),(),(),(yxRyxR=Τ则称是“对称关系”（也称关系具有对称性或是对称的）RRRU（6）设模糊关系若对),(UUFR×∈UUxx×∈∀),(1),(=xxR则称是上的“自反关系”。R2.几种特殊的模糊关系如：“朋友关系”、“差异关系”是对称关系，而“父子关系”、“因果关系”就不是对称关系。二模糊关系的运算1.相等：),(),(2121yxRyxRRR=⇔=VUyx×∈∀),(2.包含：VUyx×∈∀),(),(),(2121yxRyxRRR≤⇔⊆VUyx×∈∀),(),(),)((yxRyxRtTttTt∈∈∧=∩4.交：VUyx×∈∀),(),(),(),)((2121yxRyxRyxRR∧=∩3.并：VUyx×∈∀),(),(),(),)((2121yxRyxRyxRR∨=∪VUyx×∈∀),(),(),)((yxRyxRtTttTt∈∈∨=∪5.余：VUyx×∈∀),(),(1),(yxRyxRc−=由于模糊关系也是模糊集，所以模糊集的一些运算对模糊关系也一样成立。现列举如下（假设）：)(,,21VUFRRR×∈三模糊关系的性质性质1：RRcc=)(性质2：⎩⎨⎧==REREER∩∪性质3：⎩⎨⎧==OORROR∩∪性质5：若，则有SR⊇ccSR⊆ERO⊆⊆性质4：对任意关系满足R四模糊关系的合成1.模糊关系合成的定义则对的合成，就是从到的一个模糊关系，记作设有三个论域，，，且，XYZ)(2ZYFR×∈)(1YXFR×∈1R2RXZ21RR它的隶属函数是)),(),((),)((2121zyRyxRzxRRYy∧∨=∈若，记)(XXFR×∈RRR=2RRRnn1−=2.模糊关系合成的性质)()(321321RRRRRR=nmnmRRR+=性质1（结合律）性质2（分配律）)()()(3231321RRRRRRR∪∪=)()()(3121321RRRRRRR∪∪=性质3（基元律）OORRO==RIRRI==性质4（单调律）⎭⎬⎫⊆⇒⊆⊆⇒⊆21212121RRRRRRRRRRRRnnRRRR2121⊆⇒⊆2.2模糊矩阵•一模糊矩阵的概念•二模糊矩阵的运算及其性质•三模糊矩阵的合成•四模糊矩阵的转置•五模糊矩阵的截矩阵•六模糊矩阵的基本定理-λ1.模糊矩阵的定义2.几种特殊的模糊矩阵1.模糊矩阵运算的定义2.模糊矩阵中并、交、余运算的运算律3.模糊矩阵运算中相等和包含的性质1.模糊矩阵合成的定义2.模糊矩阵合成的性质1.模糊矩阵转置的定义2.模糊矩阵转置的性质1.模糊矩阵截矩阵的定义2.模糊矩阵截矩阵的性质-λ-λ一模糊矩阵的概念1.模糊矩阵的定义定义设矩阵nmijrR×=)(]1,0[∈ijr则称为模糊矩阵，为模糊矩阵的元素。ijrR}1,0{∈ijrR特别地，若满足，则称为布尔矩阵。由此可见，模糊矩阵与普通矩阵形状一样，不同的是模糊矩阵的元素都是中的数。]1,0[),(jiijyxRr=对有限论域，若元素则模糊矩阵表示从到的一个模糊关系，或者说一个模糊矩阵确定一个模糊关系。},,,{,},,,{2121nmyyyYxxxX==nmijrR×=)(XY为了方便，我们用表示阶模糊矩阵全体，若是一个阶模糊矩阵，则记为。nm×μnmR×∈μnm×nm×R在有限论域之间，普通关系与布尔矩阵之间存在着一一对应的关系，模糊关系与模糊矩阵之间存在着一一对应的关系。也就是说，有限论域上的普通关系可用布尔矩阵表示，同样，有限论域上的模糊关系可用模糊矩阵表示。于是，以后总是把相互对应的模糊关系和模糊矩阵视为等同的，而且由于模糊矩阵比较直观，又便于运算，故总是将模糊关系转化为模糊矩阵来处理。2.几种特殊的模糊矩阵2.当时，称之为单位模糊矩阵，记为。其对角线上的元素全是1，其余元素全是0。⎩⎨⎧≠===jijiyxRrjiij01),(I3.当时，称之为全称矩阵，记为。1),(==jiijyxRrE0),(==jiijyxRr),2,1;,2,1(njmi==1.当时，称之为0模糊矩阵，记为0。二模糊矩阵的运算及其性质模糊矩阵除了限制它的元素在外，它的运算与普通矩阵也有所不同。由于模糊关系是直积上的模糊集，所以模糊矩阵的运算与模糊集的运算类似，因此模糊矩阵的运算有如下定义。]1,0[定义设模糊矩阵则有,)(,)(nmijnmijbBaA××==ijijba=BA=（1）“相等”如果，则；BABAC∪=+=ijijijbac∨=（3）“并”如果，则；ijijijbac∧=BAC∩=（4）“交”如果，则；（2）“包含”如果，则；BA⊆ijijba≤nmijcaA×−=)1(（5）“余”1.模糊矩阵运算的定义2.模糊矩阵中并、交、余运算的运算律（1）交换律;,ABBAABBA∩∩∪∪==（2）结合律;)()(,)()(CBACBACBACBA∩∩∩∩∪∪∪∪==（4）幂等律;,AAAAAA==∩∪（5）吸收律;)(,)(BBBABBBA==∪∩∩∪（3）分配律,)()()(CBCACBA∩∪∩∩∪=;)()()(CBCACBA∪∩∪∪∩=（6）复原律;)(RRcc=（7）对偶律.)(,)(ccccccBABABABA∪∩∩∪==注意：模糊矩阵的并交运算不满足排中律，即例如.0,≠≠ccAAEAA∩∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡=05.08.02.01.01A3.模糊矩阵运算中相等和包含的性质设nmDCBA×∈μ,,,性质1OAOAAO==∩∪,AAEEAE==∩∪,EAO⊆⊆性质3.;,DBCADBCADCBA∩∩∪∪≤≤⇒≤≤性质2.;;ccBAABABBABA≥==⇒≤∩∪性质2.;;ccBAABABBABA≥==⇒≤∩∪证：,11,,ijijijijbabaBA−≥−≤∴≤∵;)1()1(cijijcBbaA=−≥−=∴性质3.;,DBCADBCADCBA∩∩∪∪≤≤⇒≤≤.,,,ijijijijdcbaDCBA≤≤∴≤≤∵;,DBCAdbcaijijijij∪∪≤∴∨≤∨由格的运算性质有.,DBCAdbcaijijijij∩∩≤∴∧≤∧证：三模糊矩阵的合成1.模糊矩阵合成的定义定义设模糊矩阵称模糊矩阵,)(,)(nsijsmijbBaA××==nmijcBA×=)()(1kjikskijbacBAC∧∨=⇔==AB)(1kjikskijbac∧∨==为与的合成，其中，即模糊矩阵的合成也称为模糊矩阵的乘积或简称模糊乘法。它与普通矩阵乘法的运算过程一样，只不过将实数“”改为“”（取大），实数“”改为“”（取小）。+∨⋅∧注意：合成运算不满足交换律。还应注意，同普通乘法一样，只有的列数=的行数时，合成运算才有意义。ABBA≠AB2.模糊矩阵合成的性质性质1（结合律）)()(CBACBA=性质2（分配律）)()()(CABACBA∪∪=)()()(ACABACB∪∪=∪∪TttTttBABA∈∈=)()()()(∪∪TttTttABAB∈∈=)()()()(性质3（0—1律）000==AAAIAAI==性质4lklkAAA+=nmnmAA⋅=)(性质5DBCADCBA≤⇒≤≤,性质6nnBABCACCBCABA≤≤≤⇒≤;;例子：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1.02.03.01.0A⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2.03.01.02.0B⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2.03.01.05.0C验证)()()(CBCACBA∩∩≠注意：矩阵合成关于交的分配律不成立，即)()()(CBCACBA∩∩≠四模糊矩阵的转置1.模糊矩阵转置的定义定义设模糊矩阵，则称是的转置矩阵，其中。但是如果且有则称为对称矩阵。即对称，当且仅当),2,1,,2,1(njmirrjiTij===nmijrR×=)(RRT=nnijrR×=)(RmnTijTrR×=)(RR),2,1,(njirrjiij==2.模糊矩阵转置的性质性质1RR=ΤΤ)(性质2ΤΤΤΤΤΤ==BABABABA∩∩∪∪)(;)(性质4ccAA)()(ΤΤ=性质5ΤΤ≤⇔≤BABA;)(ΤΤΤ=ABBA性质3nnAA)()(ΤΤ=五模糊矩阵的截矩阵-λ1.模糊矩阵截矩阵的定义-λ前面我们曾经指出，截集是模糊集合与普通集合相互转化的桥梁，现在我们把这个概念推广到模糊矩阵中去。-λ-λ-λ则称为的截矩阵，它所对应的关系称为的截关系。λRRR其中⎩⎨⎧≥=λλλijijijrrr01)(定义给定模糊矩阵，对任意，若有矩阵nmijrR×=)(]1,0[∈λnmijrR×=)()(λλ若记nmijrR×=)()(λλ其中⎩⎨⎧≤=λλλijijijrrr01)(则称为的强截矩阵。RλRλ-λ-λ由于截矩阵中的元素只能取0或1，因此，截矩阵必是布尔矩阵。2.模糊矩阵截矩阵的性质-λ性质1λλBABA≤⇔≤性质2λλλλλλBABABABA∩∩∪∪==)(;)(λλλBABA=)(性质3性质4ΤΤ=)()(λλRR六模糊矩阵的基本定理定义1若模糊矩阵满足（的主对角线元素），则称为自反矩阵。nnijaA×=)(IA≥A1=iiaA定义2若模糊矩阵满足则称为对称矩阵。nnaAij×=)()(jiijaaAA=⇔=ΤA定义3若模糊矩阵满足则称为模糊传递矩阵