复旦版工程数学之概率统计课件第12讲

连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.1.实例:(见教材例1)上海年降雨量的分布由实例启发我们如何描述连续型随机变量.上海99年年降雨量的数据已知根据这些数据作频率直方图对频率直方图进行考察请看演示:怎样画直方图直方图与密度badxxfbXaP)()(,使得对任意,有ba),(对于随机变量X,如果存在非负可积函数f(x),x则称X为连续型r.v,称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度或密度.2.连续型r.v及其密度函数的定义3.概率密度函数的性质1o0)(xf2o1)(dxxf这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某r.vX的概率密度函数的充要条件.f(x)xo面积为1故X的密度f(x)在x这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.x],(xxx若x是f(x)的连续点，则：xxxXxPx)(lim0x)(lim0xxxxdttf=f(x)4.对f(x)的进一步理解:要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xo若不计高阶无穷小，有：xxfxxXxP)(}{它表示随机变量X取值于的概率近似等于.],(xxxxxf)(xxf)(在连续型r.v理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型r.v理论中所起的作用相类似.连续型r.v取任一指定值的概率为0.即：,0)(aXPa为任一指定值这是因为)(lim)(0xaXaPaXPxxaaxdxxf)(lim00需要指出的是:由此得，)()(bXaPbXaP)(bXaP1)对连续型r.vX,有)(bXaP2)由P(X=a)=0可推知1)()()(aXPdxxfaRXP而{X=a}并非不可能事件并非必然事件}}{{aRX称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.可见，由P(A)=0,不能推出A由P(B)=1,不能推出B=S下面给出几个r.v的例子.由于连续型r.v唯一被它的密度函数所确定.所以，若已知密度函数，该连续型r.v的概率规律就得到了全面描述.f(x)xo（1）若r.vX的概率密度为：则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：X～U(a,b)它的实际背景是：r.vX取值在区间(a,b)上，并且取值在(a,b)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比.则X具有(a,b)上的均匀分布.)(xfab其它,0,1)(bxaabxf公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差；例1某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30,7:45等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解：依题意，X～U(0,30)以7:00为起点0，以分为单位其它,0300,301)(xxf为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7:10到7:15之间，或在7:25到7:30之间到达车站.所求概率为：从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，}3025{}1510{XPXP其它,0300,301)(xxf3130130130251510dxdx即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.区间(0,1)上的均匀分布U(0,1)在计算机模拟中起着重要的作用.实用中，用计算机程序可以在短时间内产生大量服从(0,1)上均匀分布的随机数.它是由一种迭代过程产生的.严格地说，计算机中产生的U(0,1)随机数并非完全随机，但很接近随机，故常称为伪随机数.如取n足够大，独立产生n个U(0,1)随机数，则从用这n个数字画出的频率直方图就可看出，它很接近于(0,1)上的均匀分布U(0,1).则称X服从参数为的指数分布.指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.（2）若r.vX具有概率密度000)(xxexfx0常简记为X~E().至此，我们已初步介绍了两类重要的随机变量:离散型r.v和连续型r.v能不能对它们给出一种统一的描述方法？这就是下一讲要介绍的分布函数.f(x)xoxP(x)o对它们分别用概率函数和密度函数描述.