复旦版工程数学之概率统计课件第15讲

例1设生男孩的概率为p,生女孩的概率为q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.贝努里概型和二项分布一、我们来求X的概率分布.4,3,2,1,0,)1(}{44kppCkXPkkkX的概率函数是：男女X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为p.X=0X=1X=2X=3X=4X可取值0,1,2,3,4.例2将一枚均匀骰子抛掷3次，令X表示3次中出现“4”点的次数3,2,1,0,)65()61(}{33kCkXPkkkX的概率函数是：不难求得，掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”一般地，设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果：A或，或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”.A新生儿：“是男孩”，“是女孩”抽验产品：“是正品”，“是次品”这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验，简称贝努里试验或贝努里概型.再设我们重复地进行n次独立试验(“重复”是指这次试验中各次试验条件相同)，每次试验成功的概率都是p，失败的概率都是q=1-p.用X表示n重贝努里试验中事件A（成功）出现的次数，则nkppCkXPknkkn,,1,0,)1()(1)(0nkkXP（2）不难验证：0)(kXP（1）称r.vX服从参数为n和p的二项分布，记作X~B(n,p)当n=1时，P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1称X服从0-1分布007125.0)95.0()05.0()2(223CXP例3已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.解:因为这是有放回地取3次，因此这3次试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验.依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设X为所取的3个中的次品数，于是，所求概率为：则X~B(3,0.05)，注：若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么各次试验条件就不同了，不是贝努里概型，此时，只能用古典概型求解.古典概型与贝努里概型不同，有何区别？00618.0)2(310025195CCCXP请思考：贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功”次数X的概率分布.（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或，A且P(A)=p，；pAP1)(（3）各次试验相互独立.可以简单地说，例4某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.解:设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数.X~B(3,0.8)，把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验,“使用到1000小时已坏”视为“成功”.每次试验,“成功”的概率为0.8P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104,)2.0()8.0()(33kkkCkXP3,2,1,0k对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.二项分布的图形特点：X~B(n,p)当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=[(n+1)p]达到最大值；([x]表示不超过x的最大整数)...n=10,p=0.7nPk0对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.二项分布的图形特点：X~B(n,p)当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1处达到最大值.课下请自行证明上述结论.n=13,p=0.5Pkn....0想观看二项分布的图形随参数n,p的具体变化，请看演示二项分布二、二项分布的泊松近似当试验次数n很大时，计算二项概率变得很麻烦，如教材例4中，要计算我们先来介绍二项分布的泊松近似，后面第十七讲中，我们将介绍二项分布的正态近似.kkkkkCkXPXP500050006500050006)1000999()10001()()5(或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法.证明见教材.定理的条件意味着当n很大时，pn必定很小.因此，泊松定理表明，当n很大，p很小时有以下近似式：!)1(keppCkknkkn泊松定理设是一个正整数，，则有npn,2,1,0,!)1(limkkeppCkknnknknnλ其中npn100,np10时近似效果就很好请看演示二项分布的泊松近似实际计算中，!)1(keppCkknkkn其中np此例说明，当p不是很小，而是很大(接近于1)，可将问题略为转换一下，仍然可以应用泊松近似.当n很大时，p不是很小，而是很大(接近于1)时，能否应用二项分布的泊松近似？请看教材例5.下面我们看一个应用例子.例5为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员.设共有300台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理.问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?我们先对题目进行分析：300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设X为300台设备同时发生故障的台数，300台设备，独立工作，每台出故障概率p=0.01.可看作n=300的贝努里概型.X~B(n,p)，n=300,p=0.01可见，300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设X为300台设备同时发生故障的台数，X~B(n,p)，n=300,p=0.01设需配备N个维修人员，所求的是满足P(XN)0.01或P(XN)0.99的最小的N.解：设X为300台设备同时发生故障的台数，X~B(n,p)，n=300,p=0.01设需配备N个维修人员，所求的是满足P(XN)0.01的最小的N.P(XN)kkNkkC3003001300)99.0()01.0(30013!3Nkkken大,p小,np=3,用=np=3的泊松近似λ下面给出正式求解过程：13!3Nkkke即至少需配备8个维修人员.查书末的泊松分布表得N+19,即N8我们求满足1301.0!3Nkkke的最小的N.,0038.0!393kkke,012.0!383kkke这一讲，我们介绍了二项分布.二项分布是实际中最常见的离散型分布之一.二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功”次数X的概率分布.我们介绍了二项分布的泊松近似，使用时应注意条件.在解应用题时需要注意判断问题是否为贝努里概型，可否用二项分布求解.