复旦版工程数学之概率统计课件第20讲

在第一章中，我们介绍了条件概率的概念.)()()|(BPABPBAP在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率推广到随机变量设有两个r.vX,Y，在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.这个分布就是条件分布.例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y表示其体重和身高.则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布.体重X身高Y体重X的分布身高Y的分布现在若限制1.7Y1.8(米),在这个条件下去求X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布.容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样.例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著增加.一、离散型r.v的条件分布实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种形式下的重复.定义1设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P(Y=yj)0，则称为在Y=yj条件下随机变量X的条件概率函数.P(X=xi|Y=yj)=)(),(jjiyYPyYxXPjjipp，i=1,2,…类似定义在X=xi条件下随机变量Y的条件概率函数.作为条件的那个r.v,认为取值是给定的，在此条件下求另一r.v的概率分布.条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质.正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质.,0)|(jiyYxXP例如：1)|(1ijiyYxXPi=1,2,…例1一射手进行射击，击中目标的概率为p，(0p1)，射击进行到击中目标两次为止.以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数.试求X和Y的联合分布及条件分布.解：依题意，{Y=n}表示在第n次射击时击中目标,且在前n-1次射击中有一次击中目标.{X=m}表示首次击中目标时射击了m次n次射击击中2nn-11……………….m击中22)1(),(nppnYmXPn=2,3,…;m=1,2,…,n-1由此得X和Y的联合概率函数为不论m(mn)是多少，P(X=m,Y=n)都应等于22)1(),(nppnYmXPn次射击击中2nn-11……………….m击中每次击中目标的概率为pP(X=m,Y=n)=？为求条件分布，先求边缘分布.X的边缘概率函数是：1),(}{mnnYmXPmXPm=1,2,…122)1(mnnpp122)1(mnnpp)1(1)1(212pppm1)1(mppY的边缘概率函数是：11),(}{nmnYmXPnYPn=2,3,…1122)1(nmnpp22)1()1(nppn于是可求得：)|(nYmXP2222)1()1()1(nnppnpp,11n当n=2,3,…时，m=1,2,…,n-1}{},{nYPnYmXP联合分布边缘分布n=m+1,m+2,…当m=1,2,…时，}{},{mXPnYmXP122)1()1(mnpppp,)1(1mnpp)|(mXnYP二、连续型r.v的条件分布设(X,Y)是二维连续型r.v，由于对任意x,y,P(X=x)=0,P(Y=y)=0，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，下面我们直接给出条件概率密度的定义.)(),()|(|xfyxfxyfXXY定义2设X和Y的联合概率密度为f(x,y),边缘概率密度为，则对一切使)(),(yfxfYX0)(xfX的x,定义已知X=x下，Y的条件密度函数为同样，对一切使的y,定义)(),()|(|yfyxfyxfYYX0)(yfY为已知Y=y下，X的条件密度函数.我们来解释一下定义的含义：将上式左边乘以dx,右边乘以(dxdy)/dy即得dyyfdxdyyxfdxyxfYYX)(),()|(|}{},{dyyYyPdyyYydxxXxP}|{dyyYydxxXxP)(),()|(|yfyxfyxfYYX以为例dxyxfYX)|(|}|{dyyYydxxXxP换句话说，对很小的dx和dy，表示已知Y取值于y和y+dy之间的条件下，X取值于x和x+dx之间的条件概率.dxyxfYX)|(|运用条件概率密度，我们可以在已知某一随机变量值的条件下，定义与另一随机变量有关的事件的条件概率.dxyxfyYAXPAYX)|()|(|定义在已知Y=y下，X的条件分布函数为)|()|(|yYuXPyuFYX特别，取),,(uAdxyxfuYX)|(|即:若(X,Y)是连续型r.v,则对任一集合A，求P(X1|Y=y)例2设(X,Y)的概率密度是其它,00,0,),(yxyeeyxfyyx解:1|)|(dxyxfYXP(X1|Y=y)为此,需求出)|(|yxfYX由于于是对y0,)(),()|(|yfyxfyxfYYXdxyxfyfY),()(0dxyeeyyx0][yxyyeye,yey0,yeyx0x故对y0,P(X1|Y=y)1dxyeyx1yxeye1例3设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为其它,01,1),(22yxyxf)|(|xyfXY求1||,01||,12),()(2xxxdyyxfxfX解：X的边缘密度为当|x|1时,有)(),()|(|xfyxfxyfXXY21)2(1x,1212x2211xyx)|(|xyfXY取其它值yxyxx,011,121222即当|x|1时,有X作为已知变量这里是y的取值范围X已知下Y的条件密度请看演示条件分布前面，我们已经知道，二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布.可以证明，对二维正态分布，已知X=x下，Y的条件分布，或者已知Y=y下，X的条件分布都仍是正态分布.留作练习.二维正态分布再看例4设数X在区间(0,1)均匀分布，当观察到X=x(0x1)时，数Y在区间(x,1)上随机地取值.求Y的概率密度.解：依题意，X具有概率密度其它,010,1)(xxfX对于任意给定的值x(0x1)，在X=x的条件下，Y的条件概率密度为其它,01,11)|(|yxxxyfXYX和Y的联合密度为)|()(),(|xyfxfyxfXYX其它,010,11yxx于是得Y的概率密度为dxyxfyfY),()(其它,010),1ln(110yyydxx已知边缘密度、条件密度，求联合密度我们已经知道，设(X,Y)是连续型r.v，若对任意的x,y,有)()(),(yfxfyxfYX则称X,Y相互独立.由条件密度的定义：可知，当X与Y相互独立时，),()|(|yfxyfYXY也可用此条件判别二维连续型r.v(X,Y)的两个分量X与Y是否相互独立.)(),()|(|xfyxfxyfXXY)(),()|(|yfyxfyxfYYX)()|(|xfyxfXYX对离散型r.v有类似的结论，请同学们自行给出.这一讲，我们介绍了条件分布的概念和计算，并举例说明对离散型和连续型随机变量如何计算条件分布.请课下通过练习进一步掌握.下一讲我们将介绍随机向量函数的分布，请事先预习.