复旦版工程数学之概率统计课件第28讲

一个统计问题总有它明确的研究对象.1.总体…研究某批灯泡的质量研究对象的全体称为总体(母体)，总体中每个成员称为个体.总体一、总体和样本然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况.这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.某批灯泡的寿命该批灯泡寿命的全体就是总体国产轿车每公里的耗油量国产轿车每公里耗油量的全体就是总体由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性.从而可以把这种数量指标看作一个随机变量，因此随机变量的分布就是该数量指标在总体中的分布.这样，总体就可以用一个随机变量及其分布来描述.而概率分布正是刻划这种集体性质的适当工具.因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来.从另一方面看统计的任务,是根据从总体中抽取的样本，去推断总体的性质.由于我们关心的是总体中的个体的某项指标(如人的身高、体重，灯泡的寿命,汽车的耗油量…)，所谓总体的性质，无非就是这些指标值的集体的性质.例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示，或用其分布函数F(x)表示.某批灯泡的寿命总体寿命X可用一概率分布来刻划鉴于此，常用随机变量的记号或用其分布函数表示总体.如说总体X或总体F(x).F(x)类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用X和Y分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数F(x,y)来表示.统计中，总体这个概念的要旨是：总体就是一个概率分布.为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为“抽样”，所抽取的部分个体称为样本.样本中所包含的个体数目称为样本容量.2.样本从国产轿车中抽5辆进行耗油量试验样本容量为5但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数(X1,X2,…,Xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值.样本是随机变量.抽到哪5辆是随机的容量为n的样本可以看作n维随机变量.2.独立性：X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法.最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，它要求抽取的样本满足下面两点:1.代表性：X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有相同的分布.由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机变量X1,X2,…,Xn表示.简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.若总体的分布函数为F(x)，则其简单随机样本的联合分布函数为F(x1)F(x2)…F(xn)事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值.如我们从某班大学生中抽取10人测量身高，得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本.我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.3.总体、样本、样本值的关系总体（理论分布）？样本样本值统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总体的情况---总体分布F(x)的性质.总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体.样本是联系二者的桥梁由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.二、统计量和抽样分布1.统计量这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量.它是完全由样本决定的量.几个常见统计量样本均值样本方差niiXnX11niiXXnS122)(11它反映了总体均值的信息它反映了总体方差的信息样本k阶原点矩样本k阶中心矩nikikXnA11nikikXXnB1)(1k=1,2,…它反映了总体k阶矩的信息它反映了总体k阶中心矩的信息2.经验分布函数请看演示经验分布函数3.抽样分布统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的“抽样分布”.抽样分布就是通常的随机变量函数的分布.只是强调这一分布是由一个统计量所产生的.研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质.抽样分布精确抽样分布渐近分布（小样本问题中使用）（大样本问题中使用)三.统计三大分布)(~22n记为2分布1、定义:设相互独立,都服从正态分布N(0,1),则称随机变量：所服从的分布为自由度为n的分布.nXXX,,,21222212nXXX22分布是由正态分布派生出来的一种分布.2分布的密度函数为000)2(21);(2122xxexnnxfxnn来定义.其中伽玛函数通过积分0,)(01xdttexxt)(x请看演示2分布2由分布的定义，不难得到：),,(2N1.设相互独立,都服从正态分布nXXX,,,21则)(~)(121222nXnii)(~21221nnXX),(~),(~222121nXnX2.设且X1,X2相互独立，则这个性质叫分布的可加性.2应用中心极限定理可得，若，则当n充分大时，)(~2nX若nnX2的分布近似正态分布N(0,1).则可以求得，E(X)=n,D(X)=2n),(~2nX若T的密度函数为：212)1()2(]2)1[();(nnxnnnnxf记为T～t(n).定义:设X～N(0,1),Y～,且X与Y相互独立，则称变量nYXT所服从的分布为自由度为n的t分布.)(2n2、t分布具有自由度为n的t分布的随机变量T的数学期望和方差为:E(T)=0;D(T)=n/(n-2),对n2当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形.0);(nxfLimxt分布的密度函数关于x=0对称，且不难看到，当n充分大时，t分布近似N(0,1)分布.但对于较小的n，t分布与N(0,1)分布相差很大.请看演示t分布由定义可见，3、F分布),(~),(~2212nYnX定义:设X与Y相互独立，则称统计量服从自由度为n1及n2的F分布，n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作F~F(n1,n2).21nYnXF121nXnYF~F(n2,n1)即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.0001))(()()()(),;(222221212112121212121xxxxnnxfnnnnnnnnnnnnnX的数学期望为:2)(22nnXE若n22若X~F(n1,n2)，X的概率密度为请看演示F分布统计三大分布的定义、基本性质在后面的学习中经常用到，要牢记！！教材180页给出了概率分布的上侧分位数（分位点）的定义.它在计算概率查表时经常使用.这里请看演示.分位数当总体为正态分布时，教材上给出了几个重要的抽样分布定理.这里我们不加证明地叙述.除定理2外，其它几个定理的证明都可以在教材上找到.四、几个重要的抽样分布定理定理1(样本均值的分布)设X1,X2,…,Xn是取自正态总体),(2N的样本，则有),(~2nNX)1,0(~NnXn取不同值时样本均值的分布X定理2(样本方差的分布))1(~)1()1(222nSn设X1,X2,…,Xn是取自正态总体),(2N的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差,则有.)(相互独立和22SXn取不同值时的分布22)1(Sn定理3设X1,X2,…,Xn是取自正态总体),(2N的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差,则有)1(~ntnSX定理4(两总体样本均值差的分布))2(~112)1()1()(21212122221121nntnnnnSnSnYX，，设),(~),(~2221NYNXYX和分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,1nX是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值,2221SS和则有Y1,Y2,…,2nY是样本定理5(两总体样本方差比的分布))1,1(~2122222121nnFSS，设),(~),,(~222211NYNXYX和分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,1nX是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值，2221SS和则有Y1,Y2,…,2nY是样本上述5个抽样分布定理很重要，要牢固掌握.