共点力作用下物体的平衡典型例题

共点力作用下物体的平衡典型例题[例1]质量为m的物体，用水平细绳AB拉住，静止在倾角为θ的固定斜面上，求物体对斜面压力的大小，如图1（甲）。[分析]本题主要考察，物体受力分析与平衡条件，物体在斜面上受力如图1乙，以作用点为原点建立直角坐标系，据平衡条件∑F＝0，即找准边角关系，列方程求解。[解]解法一：以物体m为研究对象建立图1乙所示坐标系，由平衡条件得：Tcosθ-mgsinθ＝0（1）N-Tsinθ-mgcooθ＝0（2）联立式（1）（2）解得N＝mg／cosθ据牛顿第三定律可知，物体对斜面压力的大小为N′＝mg／cosθ解法二：以物体为研究对象，建立如图2所示坐标系，据物体受共点力的平衡条件知：Ncosθ-mg=0∴N＝mg／cocθ同理N′=mg／cosθ[说明]（1）由上面解法可知：虽然两种情况下建立坐标系的方法不同，但结果相同，因此，如何建立坐标系与解答的结果无关，从两种解法繁简不同，可以得到启示：处理物体受力，巧建坐标系可简化运算，而巧建坐标系的原则是在坐标系上分解的力越少越佳。（2）用正交分解法解共点力平衡时解题步骤：选好研究对象→正确受力分析→合理巧建坐标系→根据平衡条件（3）不管用哪种解法，找准力线之间的角度关系是正确解题的前提，角度一错全盘皆错，这是非常可惜的。（4）由本题我们还可得到共点力作用平衡时的力图特点，题目中物体受重力G，斜面支持N，水平细绳拉力T三个共点力作用而平衡，这三个力必然构成如图3所示的封闭三角形力图。这一点在解物理题时有时很方便。［例2]如图1所示，挡板AB和竖直墙之间夹有小球，球的质量为m，问当挡板与竖直墙壁之间夹角θ缓慢增加时，AB板及墙对球压力如何变化。[分析]本题考察当θ角连续变化时，小球平衡问题，此题可以用正交分解法。选定某特定状态，然后，通过θ角变化情况，分析压力变化，我们用上题中第四条结论解答此题。[解]由图2知，G，N2（挡板对球作用力），N1墙壁对球作用力，构成一个封闭三角形，且θ↑封闭三角形在变化，当增加到θ’时，由三角形边角关系知N1↓，N2↓。[说明]封闭三角形解法对平面共点三力平衡的定性讨论，简捷直观。本题是一种动态变化题目，这种题目在求解时，还可用一种极限法判断，如把AB板与竖直墙壁夹角θ增到90°时，可知N1=0，过程中N1一直减小，N2=mg，N2也一直在减小。[例3]如图1所示，用一个三角支架悬挂重物，已知AB杆所受的最大压力为2000N，AC绳所受最大拉力为1000N，∠α=30°，为不使支架断裂，求悬挂物的重力应满足的条件？[分析]悬绳A点受到竖直向下的拉力F＝G，这个拉力将压紧水平杆AB并拉引绳索AC，所以应把拉力F沿AB、CA两方向分解，设两分力为F1、F2，画出的平行四边形如图2所示。[解]由图2可知：因为AB、AC能承受的最大作用力之比为当悬挂物重力增加时，对AC绳的拉力将先达到最大值，所以为不使三角架断裂，计算中应以AC绳中拉力达最大值为依据，即取F2=F2m=1000N，于是得悬挂物的重力应满足的条件为Gm≤F2sin30°＝500N，[说明]也可取A点为研究对象，由A点受力，用共点平衡条件求解。A点受三个力：悬挂物的拉力F=G，杆的推力FB，绳的拉力FC，如图4所示。根据共点力平衡条件，由FCsinα=G，FCcosα=FB，即得共点力平衡条件可以适用于多个力同时作用的情况，具有更普遍的意义。[例4]如图1所示，细绳CO与竖直方向成30°角，A、B两物体用跨过滑轮的细绳相连，已知物体B所受到的重力为100N，地面对物体B的支持力为80N，试求（1）物体A所受到的重力；（2）物体B与地面间的摩擦力；（3）细绳CO受到的拉力。[分析]此题是在共点力作用下的物体平衡问题，据平衡条件∑Fx=0，∑Fy=0，分别取物体B和定滑轮为研究对象，进行受力情况分析，建立方程。[解]如图2所示，选取直角坐标系。据平衡条件得f-T1sinα=0，N＋T1cosα-mBg=0。对于定滑轮的轴心O点有T1sinα-T2sin30°=0，T2cos30°-T1cosα-mAg=0。因为T1=mAg，得α=60°，解方程组得（1）T1=40N，物体A所受到的重力为40N；（2）物体B与地面间的摩擦力f＝T1sinα=40sin60°≈34.6N；（3）细绳CO受到的拉力[说明]在本题中，我们选取定滑轮的轴心为研究对象，并认定T1与mAg作用在这点上，即构成共点力，使问题得以简化。例5]如图1所示，在质量为1kg的重物上系着一条长30cm的细绳，细绳的另一端连着圆环，圆环套在水平的棒上可以滑动，环与棒间的静摩擦因数为0.75，另有一条细绳，在其一端跨过定滑轮，定滑轮固定在距离圆环0.5m的地方。当细绳的端点挂上重物G，而圆环将要开始滑动时，试问（1）长为30cm的细绳的张力是多少？（2）圆环将要开始滑动时，重物G的质量是多少？（3）角φ多大？[分析]选取圆环作为研究对象，分析圆环的受力情况：圆环受到重力、细绳的张力T、杆对圆环的支持力N、摩擦力f的作用。[解]因为圆环将要开始滑动，所以，可以判定本题是在共点力作用下物体的平衡问题。由牛顿第二定律给出的平衡条件∑Fx=0，∑Fy=0，建立方程有μN-Tcosθ=0，N-Tsinθ＝0。设想：过O作OA的垂线与杆交于B′点，由AO=30cm，tgθ=，得B′O的长为40cm。在直角三角形中，由三角形的边长条件得AB′=50cm，但据题述条件AB=50cm，故B′点与滑轮的固定处B点重合，即得φ=90°。（1）如图2所示选取坐标轴，根据平衡条件有Gcosθ+Tsinθ-mg=0，Tcosθ-Gsinθ=0。解得T≈8N，（2）圆环将要滑动时，得mGg＝Tctgθ，mG=0.6kg。（3）前已证明φ为直角。例6]如图1所示，质量为m＝5kg的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数求当物体做匀速直线运动时，牵引力F的最小值和方向角θ。[分析]本题考察物体受力分析：由于求摩擦力f时，N受F制约，而求F最小值，即转化为在物理问题中应用数学方法解决的实际问题。我们可以先通过物体受力分析。据平衡条件，找出F与θ关系。进一步应用数学知识求解极值。[解]作出物体m受力分析如图2，由平衡条件。∑Fx=Fcosθ-μN=0（1）∑Fy=Fsinθ+N-G=0（2）由cos（θ-Ф）=1即θ—Ф=0时∴Ф=30°，θ=30°[说明]本题中我们应用了数学上极值方法，来求解物理实际问题，这是在高考中考察的一项重要能力。在以后解题中我们还会遇到用如：几何法、三角形法等数学方法解物理问题，所以，在我们学习物理时，逐步渗透数学思想，对解决物理问题是很方便的。但要注意，求解结果和物理事实的统一性。[例7]如图1，A、B两物体质量相等，B用细绳拉着，绳与倾角θ的斜面平行。A与B，A与斜面间的动摩擦因数相同，若A沿斜面匀速下滑，求动摩擦因数的值。[分析]本题主要考察受力分析及物体平衡条件。选择A为研究对象，分析物体A受力，应用正交分解法。据平衡条件求解。[解]取A为研究对象，画出A受力如图2，建立如图所示坐标系。据物体平衡条件∑Fx=mgsinθ-f1-f2=0（1）∑Fy＝N1-NB-mgcosθ=0（2）其中f1=μN1（3）f2=μNB（4）由B受力知NB＝mgcosθ（5）联立上面式（1）（2）（3）（4）（5）得[说明]（1）本题在进行受力分析时，要注意A与斜面C的接触力N1和f1，A与物体B的接触力N2和f2，一定注意，N1和N2的取值。（2）本题可以变化为若A沿斜面加速下滑，或沿斜面减速下滑。μ应满足关系？则加速时mgsinθ＞μN1+μNB（3）摩擦力公式f＝μN，有时因物体只受水平作用力，f=μN=μmg，但当物体受力变化以后，N就不一定等于mg了，如图3的两个情形。所以切记：公式一定要写成μN。对N求解不要想当然，应据题设进行实际分析而得。【例8】如图1所示，支杆BC一端用铰链固定于B，另一端连接滑轮C，重物P上系一轻绳经C固定于墙上A点。若杆BC、滑轮C及绳子的质量、摩擦均不计，将绳端A点沿墙稍向下移，再使之平衡时，绳的拉力和BC杆受到的压力如何变化？[误解一]滑轮C点受杆BC的支持力F、绳AC的拉力T和绳CP的拉力Q（其中Q大小等于G），如图2所示。由平衡条件可得F＝G·sinα，T＝G·cosα当绳的A点下移后，α增大，所以F增大，而T减小。[误解二]滑轮C点受到杆BC支持力F，绳AC的拉力T和绳CP的拉力Q（其中Q的大小等于G），如图3，T与F的合力与Q等值反向。当A点下移后，T与竖直方向的夹角要增大，滑轮C也要下降，使BC与墙间的夹角θ增大，但因这两力的合力始终与Q等值反向，所以这两个分力均要增大。[正确解答]滑轮C点受到F、T、Q三力作用而平衡，三力组成封闭三角形，如图4，注意到同一条绳上各处张力都相同，则有T=Q=G，以杆受到压力增大，而绳子拉力仍不变，大小为G。[错因分析与解题指导]当不计绳子的质量时，绳子各处张力都相等，两个[误解]都未认识这个事实。另外，[误解一]自设T与F垂直作为讨论依据并将它扩展到一般情况，是毫无道理的。[误解二]则臆断A点下移时，滑轮C也要下降，BC与墙间的夹角θ增大，与事实不符。值得一提的是：本题BC杆对滑轮C点的作用力是沿着杆子的，而这是有条件的，仅当BC杆重力不计且只受两个力作用而平衡时，上述结论才成立。1．明确研究对象，对它进行受力分析，画出受力图；2．根据平衡条件列方程；3．统一单位，代入数字、解方程、求答案。由题讲话由题讲话，促使学生积极思维，获得更加全面的知识，加深对物理现象和规律的理解。现举一、二例加以说明。如图1，OA是一根横梁，一端安在轴O上，另一端用钢索AB拉着，在B处安装一小滑轮，可以改变钢索的长度，OB＝OA，在A端挂一重物G。（横梁重不计）试求钢索BA的拉力？学生不感到困难。根据∑M=0，解得：这时教师向学生发问：若将钢索BA加长（即缓慢下放），钢索的拉力F如何变化？学生根据上面的结果自然会想到，θ角将逐渐变小，力F必将逐渐增大。当θ角趋近于零时，F将变得无限大！？F逐渐变大，与感性认识不太相符；无限大，显然不符合实际情况，感到疑惑不解。毛病出在哪里呢？让学生去思索结症在哪里。教师可以启发学生，在缓慢下放的过程中，θ角变小，但F的力臂也随着变小，（注意表达式Lsinθ不变），尤其G的力臂也在变小，不再是OA的长，显然图1不能反映一般的情况，应该重新作图分析，如图2。为说明解题的方法是多种的，可以用共点力平衡法去解。根据正弦定理：可见，下放时，θ角逐渐变小，力F1逐渐变大。这个结果与上面的“一致”。应该指出表达式（2）在形式上与表达式（1）显然不同，但（2）却包括了（1）式的结果。再看，若θ角趋近零时，力F1又如何？学生自然会得出，F1趋近2G？！又会感到不解。在学生的思维里，应为F1=G或F1=G/2才有理。这时教师可以让学生求一下F2=？计算结果F2=G。又看到在下放的过程中F2却始终不变，也是出乎意料。这两个意外的结果有助于揭开谜底。这时应指出在这个三角架装置中，OA必须是杆，不能用绳来代替，它起着支撑的作用。通过计算已知，在下放的过程中，OA杆的支撑力始终不变，为G。所以当θ角趋近于零时，力F1将趋近G＋G=2G。必须指出θ趋近于零，并不是等于零。若等于零后，那么钢索的拉力F1就是不定的了，已经越过本题所讨论的范围。还可以让学生研究一下逐渐上拉时的变化情况化？此题属共点力平衡问题，一般可采用正交分解法，三角形法则，或是作图法求解，过程并非简单．若换用转动平衡条件∑M=0，只要支点选得适当，会使问题一目了然．先考查BC绳的张力F1，以A为支点，将绳AB与小球视为一刚体，平衡时应有：MF1-MG=0即MF1=MG．由于θ角保持不变，则重力的力矩MG将保持恒定，因而F1的大小变化主要依赖它对A点的力臂的变化，当BC垂直于AB时，F1的力臂等于绳长AB，其它位置的力臂均小于AB，故由此可知在C点上移的过程中，BC绳的张力F1先变小后变大．再考虑AB