13.2一致收敛函数列与函数项级数级数的性质

13.2一致收敛函数列与函数项级数级数的性质一一致收敛函数列的性质二函数项级数的性质问题的提出有限个连续函数的和仍是连续函数，有限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的导数及积分的和．对于无限个函数的和是否具有这些性质呢？问题:函数项级数（或函数序列）的基本问题1.极限运算与无限求和运算交换次序问题1)(lim0nnxxxu?1)(lim0nnxxxu而言，应为对函数序列注：)}({xSn)(limlim0xSnnxx?)(limlim0xSnxxn1)(nnxudxd?1)(nnxudxd而言，应为对函数序列注：)}({xSn)(limxSdxdnn?)(limxSdxdnn2.求导运算与无限求和运算交换次序问题dxxubann1)(?1)(nbandxxu而言，应为对函数序列注：)}({xSnbanndxxS)(lim?dxxSnban)(lim3.极限运算与无限求和运算交换次序问题定理13.8设函数列{fn}在(a,x0)∪(x0,b)上一致收敛于f，且,,2,1)(lim0naxfnnxx则.lim)(lim0nnxxaxf即.)(limlim)(limlim00xfxfnxxnnnxx一、一致收敛函数列的性质这表明在一致收敛的条件下，极限可以交换顺序．证先证数列{an}收敛．因为{fn}一致收敛，故对任给的ε0,存在N0,当nN时，对任何正整数p，对一切x∈(a,x0)∪(x0,b)有|fn(x)–fn+p(x)|ε从而,|)()(|lim0xfxfpnnxx即.||pnnaa由柯西准则知数列{an}收敛．设,limAann下面证明：.)(lim0Axfxx因为{fn}一致收敛于f，数列{an}收敛于A，因此对任给的ε0,存在N0,当nN时，对任何x∈(a,x0)∪(x0,b)有|fn(x)–f(x)|ε/3和|an–A|ε/3同时成立．特别取n=N+1，有|fN+1(x)–f(x)|ε/3和|aN+1–A|ε/3又,)(lim110NNxxaxf所以存在δ0,当0|x–x0|δ时，|fN+1(x)–aN+1|ε/3这样当0|x–x0|δ时，|)(|Axf|||)(||)()(|1111AaaxfxfxfNNNN,333所以.)(lim0Axfxx利用两个极限交换定理可以得到下列判别法内不一致收敛在则不存在，；右连续；在点上有定义，并满足在设函数列),()}({)(lim)()()(lim),,()()(,)(),[)}({baxfafiiixfxfbaxiiaxfnibaxfnnnnnnn定理13.9（连续性）设函数列{fn}在区间I上一致收敛于f，且fn(n=1,2,...)在I上连续，则f在I上也连续．证要证：对任何x0∈I,.)()(lim00xfxfxx)(lim0xfxx由定理13.8，)(limlim0xfnnxx)(limlim0xfnxxn)(lim0xfnn.)(0xf注：若各项为连续函数的函数列在区间I上极限函数不连续，则此函数列在区间I上不一致收敛nx]1,1(例如：函数列的各项在上都是连续的,但其极限函数1,1,11,0)(xxxf1xnx]1,1(在时不连续，从而推得在上不一致收敛定理13.10（可积性）设函数列{fn}在[a,b]上一致收敛于f，且fn(n=1,2,...)在[a,b]上连续，则f在[a,b]上可积，且.d)(limd)(limd)(bannbannbaxxfxxfxxf证由定理13.9，f在[a,b]上连续，从而f在[a,b]上可积．|d)(d)(|babanxxfxxf|d)]()([|banxxfxfbanxxfxfd|)()(|因为函数列{fn}在[a,b]上一致收敛于f，所以对任给的ε0,存在N0,当nN时，对一切x∈[a,b]，都有|fn(x)－f(x)|ε于是当nN时有|d)(d)(|babanxxfxxfbanxxfxfd|)()(|baxd.)(ab证毕．注1：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序例1.定义在]1,0[上的函数列12,0211()22,210,1nnnnnxxnfxnxxnnxn1,2,n注2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如下面的故在]1,0(上有0)(lim)(xfxfnn.于是函数列在]1,0[上的极限函数0)(xf，又由于[0,1]sup()()nnxfxfx所以，所给函数列在[0,1]上一致收敛0()nn当10x时，只要xn1，就有0)(xfn，由于(0)0nf，故0)0(lim)0(nnff.1,.nnfxfx这样当时,虽然不一致收敛于但可积性定理的结论仍成立1100,,10.2nnnnfxfxfxfx但当时不一致收敛于且也不收敛于1100100,20lim02nnnnnfxdxfxdxnfxdxn由于因此注3)(],[)}({)()(lim],[)()()(lim],[)(,],[)}({xfbaxfdxxfdxxfbaxfxfxfbaxfnbaxfnbabannnnnn上不一致收敛于在则上不可积，或者在但，上可积，在上，若对任何定义在设函数列]1,0[,)(2xnxexfnxn例设定理13.11（可微性）设x0∈[a,b]为{fn}的收敛点，且fn(n=1,2,...)在[a,b]上有连续的导数，{fn'}在[a,b]上一致收敛，则.)(lim))(lim(xfdxdxfdxdnnnn证设,)(lim0Axfnn.)()(limxgxfnn由题设及定理13.9知，g在[a,b]连续．先证：{fn}在[a,b]收敛．对任何x∈[a,b]，由牛顿-莱布尼兹公式，总有.d)()()(00xxnnnttfxfxf因为fn'(x)在[a,b]上连续，由定理13.10，得)(limxfnnxxnnnnttfxf0d)(lim)(lim0xxnnttfA0d)(lim.d)(0xxttgA所以极限)(limxfnn存在，设.)()(limxfxfnn于是.d)()(d)()(000xxxxttgxfttgAxf由于g在[a,b]上连续，再由微积分基本定理，得)(xfdxdxxdttgdxd0)()(xg.)(limxfdxdnn即.)(lim))(lim(xfdxdxfdxdnnnn证毕．)(xfn],[ba注1：在该定理的条件下可以证明在区间上一致收敛；注2：在导函数一致收敛的条件下，求导运算与极限运算可以交换顺序；注3：导函数一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件)1ln(21)(22xnnxfn,2,1n,2,1,1)(22nxnnxxfn例2设函数列Dini定理)(],[)()()3(],[)()2(],[),2,1)(()1()(],[)(xSbaxSnxSbaxSbanxSxSbaxSnnnn上一致收敛于在则单调；关于上连续；在上连续；在上收敛在设函数序列练习设有函数列]1,0[,1)()2(]1,0[,2)()1(22222xxnnxxfxxenxfnxnn证明：这两个函数在[0,1]上都不一致收敛；逐项可积性对(1)不成立，但对(2)成立二函数项级数的性质1.逐项求极限定理01,limnnnnxxuxUxnuxa在内一致收敛011limnnxxnnuxa2.连续性定理定理13.12如果级数1)(nnxu的各项)(xun在区间[ba,]上都连续,且1)(nnxu在区间[ba,]上一致收敛于)(xs,则)(xs在[ba,]上也连续.证设xx,0为ba,上任意点．由)()()(),()()(000xrxsxsxrxsxsnnnn)()()()(00xrxrxsxsnnnn(1))()()()()()(000xrxrxsxsxsxsnnnn级数1)(nnxu一致收敛于)(xs，对0，必自然数)(NN，使得当Nn时,对ba,上的一切x都有3)(xrn(2).3)(0xrn同样有故)(xsn(Nn)在点0x连续，(3)0当0xx时总有3)()(0xsxsnn由(1)、(2)、(3)可见,对任给0，必有0，当0xx时，有.)()(0xsxs　)(xsn是有限项连续函数之和，所以)(xs在点0x处连续，　　　　　　　　　　　而0x在[ba,]上是任意的，因此)(xs在[ba,]上连续．定理13.13如果级数1)(nnxu的各项)(xun在区间[ba,]上都连续,且1)(nnxu在区间[ba,]上一致收敛于)(xs,则)(xs在[ba,]上可以逐项积分,即xxxxxxdxxudxxudxxs000)()()(21xxndxxu0)(其中bxxa0,并且上式右端的级数在[ba,]上也一致收敛.(4)3.逐项求积定理证级数1)(nnxu在[ba,]一致收敛于)(xs,由定理13.12,)(xs，)(xrn都在[ba,]上连续，所以积分xxdxxs0)(，xxndxxr0)(存在,从而有xxnxxdxxsdxxs00)()(xxndxxr0)(.)(0xxndxxr又由级数的一致收敛性,对任给正数必有)(NN使得当Nn时,对[ba,]上的一切x,都有.)(abxrnxxnxxdxxsdxxs00)()(xxndxxr0)(0().xxba根据极限定义，有nixxnnxxnnxxdxxudxxsdxxs1000)(lim)(lim)(即100)()(ixxixxdxxudxxs由于N只依赖于而于xx,0无关，所以级数10)(ixxidxxu在[ba,]上一致收敛.于是，当Nn时有定理13.14如果级数1)(nnxu在区间[ba,]上收敛于和)(xs，它的各项)(xun都具有连续导数)(xun，并且级数1)(nnxu在[ba,]上一致收敛，则级数1)(nnxu在[ba,]上也一致收敛，且可逐项求导，即)()()()(21xuxuxuxsn(5)4.逐项求导定理注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数22222sin22sin1sinnxnxx在任何区间],[ba上都是一致收敛的.逐项求导后得级数,cos2coscos22xnxx.,发散的都是所以对于任意值因其一般项不趋于零x所以原级数不可以逐项求导．例3设.,2,1,)1ln(1)(223nxnnxun证明函数项级数∑un(x)[0,1]上一致收敛，并讨论其和函数在[0,1]上的连续性，可积性与可微性．证明：对每一个n，易见)(xun]1,0[为上增函数，故有),1ln(1)1()(23nnuxunn.,2,1n1t,)1ln(2tt又当时，有不等式所以,1)1ln(1)(223nnnxun1)(nnxu[0,1]上一致收敛)(xun]1,0[由于每一个在上连续,根据定理13